Производная от функции в данной точке
Рассмотрим две задачи, приводящие к понятию производной.
1. Задача о нахождении скорости движения материальной точки.
Пусть материальная точка при переменном движении в момент времени t1, находится в положении М1, а в момент времени t2 - в положении М2. Наша задача определить скорость υ1 в точке М1. М1 М2 = ∆S - путь, пройденный точкой за время ∆t = t2 –t1 тогда средняя скорость на этом участке пути:
Она будет тем ближе к υ, чем меньшее расстояние мы будем рассматривать, то если, М2 → М1, a ∆t → 0, значит υср → υ1 т.е. υ 1 = lim ∆t→0∆S/∆t
2. Задача о нахождении угла наклона касательной, проведенной к графику функции f(x) в данной точке.
Пусть на графике функции у = f(x) даны две точки М1(х1 ;у1 ) и М2(х2;у2). Требуется определить tgα1, где α1 - угол наклона касательной, проведенной в точке М1. Проведем секущую М1М2, ее угол наклона определяется из соотношения:
tgα2 = ∆y/∆x
Если точка М2 → М1, то ∆х → 0, a tgα2 → tgα1, тогда:
tgα1 =lim∆x→0∆y/∆x
Таким образом, физическая и геометрическая задача приводят к нахождению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю - это и есть производная.
Производной от функции в некоторой точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю.
Обозначается производная: f1х (х) = у1х = lim∆x→0 ∆y/∆x
Процесс нахождения производной функции, называется дифференцированием. Общий метод нахождения производной согласно определения.
Пример :у = х2-1
1. Если аргумент получил приращение ∆х, то функция получит приращение ∆у:
у + ∆у = (х + ∆х)2-1
2. Находим приращение ∆у:
у + ∆у = х2+2х∆х +∆х2-1
-
у = x2 – 1
------------------------------
0 + ∆у = 0 + 2х∆х + ∆х2-0
∆у = 2х∆х + ∆х2
3. Находим по определению производную функции.
y1x = lim∆x→0 ∆y/∆x = lim∆x→0 (2x∆x + ∆x2)/∆x = lim∆x→0 (2x + ∆x) = 2x
На практике такой метод не применяется, т.к. требует громоздких вычислений. По общему правилу нахождения производных были найдены производные простейших функций, табличные значения которых приведены ниже:
1. Производная постоянного числа равна нулю.
у = const. ух' = 0. Пример: у = 2, ух' = 0.
2. Производная степенной функции.
у = хn, ух' = nхn-1. Пример: у = х3, ух' = Зх3-1 = Зх2.
3. Производная от аргумента равна единице.
у = х, у = х1, ух'=1х1-1; ух'=1х°=1.
4. Производная показательной функции,
у = аx; ух' = ах In a.
5. Производная экспоненциальной функции.
у = еx; ух' = еx
6. Производная логарифмической функции.
1) у = logax; у`х = 1/(x ina), 2) у = In х; у`х = 1/x
7. Производные тригонометрических функций.
у = sinx, у`х = cosxy = cosx, у`х = -sinх
y = tgx, y`x = 1/(cos2x)y = ctgx, у`х = -1/sin2x
Некоторые правила нахождения производных
1. Постоянная величина выносится за знак производной.
y = Cf(x), y'x= C[f(x)]' y = 2/5x5, y'x=2/5[x5] = 2/55x4 =2 x4
2. Производная суммы или разности функций равна сумме или разности производных.
y = u ± v, y'x =u`х ± v'x , y = 3x2 + lnx, y'x = 3 * 2x + 1/x = 6x + 1/x
3. Производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй.
y = uv, yx =u'xv + v'xu , y = xsinx,
у`х =l sinx + x cosx = sin x+x cosx
4. Производная дроби равна также дроби, числитель которой есть разность произведения знаменателя на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.
y = u/v, y`x = (vu`x – uv`x)/v2
y = (3x-1)/x, y`x = (x(3x – 1) - (3x – 1)x`)/x2 = (3x – 3x + 1)/x2 = 1/x2
5. Производная сложной функции.
Пусть у есть функция от аргумента Z, у = f(Z), а аргумент Z есть функция от аргумента X, Z = f(X). Тогда функция у = f[f(x)] называется сложной функцией.
Производная cложной функции по независимому переменному X равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу Z на производную промежуточного аргумента по независимой переменной X.
у'х =y'z * Z`x
y=sinx2, z = x2, y = sinz, y`z =cosz, z`x =2x
yx =y`z * z`x = 2x cosz = 2x cosx2 .