Гармонические колебания. Динамика колебательного движения
Движения, обладающие той или иной степенью повторяемости, называются колебаниями.
Если значения физических величин, изменяющихся в процессе движения, повторяются через равные промежутки времени, то такое движение называется периодическим. В зависимости от физической природы колебательного процесса различают механические и электромагнитные колебания. По способу возбуждения колебания делят на: свободные(собственные), происходящие в представленной самой себе системе около положения равновесия после какого-либо первоначального воздействия; вынужденные – происходящие при периодическом внешнем воздействии.
На рисунках а—е представлены графики зависимости смещения x от времени t (коротко говоря, графики смещения) для некоторых видов колебаний:
а) синусоидальные (гармонические) колебания,
б) прямоугольные колебания,
в) пилообразные колебания,
г) пример колебаний сложного вида,
д) затухающие колебания,
е) нарастающие колебания.
Условия возникновения свободных колебаний: а) при выведении тела из положения равновесия в системе должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия; б) силы трения в системе должны быть достаточно малы.
Амплитуда А – модуль максимального отклонения колеблющейся точки от положения равновесия.
Колебания точки, происходящие с постоянной амплитудой, называютнезатухающими,а колебания с постепенно уменьшающейся амплитудой – затухающими.
Время, в течение которого совершается полное колебание, называютпериодом(Т).
Частотой 
периодических колебаний называют число полных колебаний, совершаемых за единицу времени:
Единица частоты колебаний — герц (Гц). Герц – это частота колебаний, период которых равен 1 с: 1 Гц = 1 с –1.
Циклической иликруговой частотой периодических колебаний называется число полных колебаний, совершаемых за время 2p с:
.[ 
]=рад/с.
Гармонические – это такие колебания, которые описываются периодическим законом:
или 
(1)
где 
– периодически изменяющаяся величина (смещение, скорость, сила и т. д.), А – амплитуда.
Система, закон движения которой имеет вид (1), называется гармоническим осциллятором. Аргумент синуса или косинуса 
называется фазой колебаний. Фаза колебания определяет смещение в момент времени t. Начальная фаза 
определяет смещение тела в момент начала отсчета времени.
Рассмотрим смещение x колеблющегося тела относительно положения равновесия. Уравнение гармонического колебания:
.
Первая производная от 
по времени дает выражение для скорости движения тела:
; (2)
Скорость достигает своего максимального значения в момент времени, когда 
=1, соответственно 
‑ является амплитудой скорости. Смещение же точки в этот момент рано нулю 
= 0.
Ускорение изменяется со временем также по гармоническому закону:
, (3)
где 
– максимальное значение ускорения. Знак минус означает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению, т. е. ускорение и смещение изменяются в противофазе. Видно, что скорость достигает максимального значения, когда колеблющаяся точка проходит положение равновесия. В этот момент смещение и ускорение равны нулю.
Для того чтобы тело совершало гармоническое колебательное движение, на него должна действовать сила, всегда направленная к положению равновесия, а по величине – прямо пропорциональная смещению от этого положения. Силы, направленные к положению равновесия, называются возвращающими.
Рассмотрим свободные колебания, происходящие в системе с одной степенью свободы. Пусть тело массой т укреплено на пружине, упругость которой k. В отсутствие сил трения на тело, выведенное из положения равновесия, действует упругая сила пружины 
. Тогда по второму закону динамики 
имеем:
или 
.
Если ввести обозначение 
, то уравнение можно переписать в следующем виде:
Это и есть дифференциальное уравнение свободных колебаний с одной степенью свободы. Его решением является функция вида 
или . Величина является циклической частотой Период колебаний пружинного маятника:
. (3).
Математический маятник ‑это модель, в которой вся масса сосредоточена в материальной точке, колеблющейся на невесомой и недеформируемой нити. При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол a, такой, чтобы выполнялось условие 
, на тело будет действовать возвращающая сила 
. Знак минус указывает, что сила направлена в сторону, противоположную смещению. Так как 
, то сила равна 
. Сила пропорциональна смещению, следовательно, под действием этой силы материальная точка будет совершать гармонические колебания. Обозначим 
, где 
, имеем: 
или 
. Отсюда период колебаний математического маятника: 
.
Физическим маятником может служить любое тело, которое колеблется относительно оси, не проходящей через центр тяжести. Расстояние между осью колебаний и центром тяжести а. Уравнение движения в этом случае запишется 
, или для малых значений угла φ: 
. В итоге имеем уравнение гармонических колебаний с частотой 
и периодом 
. В последнем равенстве ввели приведенную длину физического маятника 
, чтобы сделать формулы для физического и математического маятников идентичными.
В лабораторных исследованиях часто используется крутильный маятник, позволяющий измерять момент инерции твердых тел с высокой точностью. Для таких колебаний момент в довольно широких пределах пропорционален углу закручивания φ:
,
где 
‑ модуль кручения. Это уравнение тождественно уравнению, полученному для физического маятника. Значит, тело будет совершать гармонические крутильные колебания с периодом
.
Для колебаний можно использовать несколько способов описания колебательного процесса.
1. Описание колебаний через явное задание функции x(t) называется аналитическим. Например, аналитическое выражение x(t)=Acos(ωt +φ0) описывает гармоническое колебание.
2. Другой способ описания колебания – экспоненциальный, в котором колебательный процесс задается с помощью комплексной функции вида
,
величина A, стоящая перед экспонентой, будет постоянной и вещественной, то вещественная часть Z и мнимая часть Z будут описывать некоторые гармонические колебания 
и 
. В общем случае величина A может быть функцией времени и колебания окажутся не гармоническими.
3. Третий способ описания колебаний – с помощью уравнения фазовой траектории; он связан с изображением колебательных процессов на фазовой плоскости.
Каждому способу описания колебательного процесса соответствует свой способ изображений колебаний.
1) С помощью x(t)-диаграммы– кривой, изображающей процесс на координатной плоскости;
2) С помощью векторных диаграмм. Колебания представляют собой проекции вращающегося с угловой скоростью ω вектора 
:
;
,
В общем случае вектор может сам быть функцией времени.
