Динамика теории относительности.

 

Согласно теории относительности все законы природы должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца. Законы классической механики не инвариантны относительно этих преобразований. Например, второй закон Ньютона имеет вид:

(1)

В механике Ньютона масса m считается постоянной величиной. Эйнштейн показал, что для того, чтобы уравнения (1) были инвариантны относительно преобразований Лоренца, необходимо считать, что масса зависит от скорости и эта зависимость имеет вид:

(2)

Здесь mo – значение массы, измеренное в неподвижной системе (масса покоя), m – значение той же массы, измеренное в системе, движущейся относительно первой с постоянной скоростью u, .

С учетом (2) уравнения (1) будут верны и в теории относительности, в явном же виде их можно записать так:

(3)

Аналогично и импульс тела в теории относительности будет иметь вид:

(4)

Исключительно важным следствием теории относительности является связь между массой и энергией. Выведем это соотношение.

Изменение кинетической энергии тела равно работе сил, приложенных к этому телу.

(5)

(6)

Учитывая, что масса является переменной величиной, преобразуем формулу (5).

(7)

(8)

Преобразуем формулу (8), выразив из нее u2.

(9)

Возьмем дифференциал от (9).

(10)

Подставим (9) и (10) в (7).

, (11)

Проинтегрируем формулу (11):

, (12)

Эйнштейн осмыслил эту формулу следующим образом.

- кинетическая энергия тела,

- полная энергия (13)

- энергия покоя (14)

Формула (13) выражает один из важнейших законов природы – закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии. Согласно этому закону всякая частица (или область поля), имеющие энергию W, обладают массой . И наоборот, всякой массе m присуща энергия .

Из этой же формулы вытекает, что изменение массы ведет к эквивалентному изменению энергии и наоборот:

(15)

При обычных изменениях энергии Dm мало и не может быть замечено. Например:

Заметным этот эффект становится лишь при ядерных превращениях и в астрономических явлениях. Оценим, например, насколько уменьшается масса Солнца за счет его излучения.

Энергия солнечного излучения, попадающего на 1 м2 поверхности Земли в 1 с, составляет к=1,4.103Дж/м2с (солнечная постоянная). Умножив эту величину на площадь поверхности сферы с радиусом R, равным расстоянию от Солнца до Земли, найдем суммарную энергию DW, теряемую Солнцем за 1 с за счет излучения:

R=1,5.1011м, DW=к.4pR2=1,4.103.4.3,14.2,25.1022=4.1026Дж/c

Соответственно этому уменьшению энергии масса Солнца за 1с уменьшается на величину равную

Как видно, изменение массы составляет очень большую величину. Однако, учитывая большую массу Солнца (М=1,984.1030кг) относительное уменьшение массы Солнца за 1с оказывается ничтожно малым:

Формула (12) представляет собой выражение для кинетической энергии в теории относительности. Оно совершенно непохоже на формулу кинетической энергии в классической механике. Но при малых скоростях (u<<c) релятивистские формулы должны переходить в обычные классические формулы. Покажем, что и формула (12) при u<<c переходит в обычную формулу кинетической энергии.

По правилам приближенных вычислений при можно записать:

Тогда:

То есть получается обычная формула для кинетической энергии.

При сближении нейтронов и протонов для образования ядра атома их энергия уменьшается на некоторую величину Eсв, которая называется энергией связи. Таким образом, энергия ядра Eя оказывается меньше, чем суммарная энергия образующих это ядро свободных протонов и нейтронов E: Eя = E - Eсв . В свою очередь, это приводит к тому, что масса ядра Mя становится меньше суммарной массы составляющих это ядро частиц M на величину D = Eсв/c2, которая в ядерной физике называется дефектом массы ядра.

Зависимость удельной энергии связи Eсв/А от А, где А – число протонов и нейтронов в ядре (массовое число), приведена на рис. 4.11.

Рис. 4.11. Зависимость удельной энергии связи от массового числа

 

 

 

Элементы механики жидкостей*