Д) Логические контрапримеры против эвристических
Альфа. Мне нравится Правило 5 Дзеты[144] так же, как и Правило 4 Омеги[145]. Мне нравился метод Омеги за то, что он искал локальные, а не глобальные контрапримеры, как раз те самые, которые первоначальными тремя правилами Ламбды[146] игнорировались как логически безобидные и, следовательно, эвристически неинтересные. Омега был ими побужден к изобретению новых мысленных экспериментов: реальный прогресс в нашем знании!
Теперь Дзета вдохновляется контрапримерами, которые одновременно являются и локальными, и глобальными – прекрасными подтверждениями с логической, но не с эвристической точки зрения; хотя они и подтверждения, но все же призывают к действию. Дзета предлагает распространить, сделать усложненным наш первоначальный мысленный эксперимент, превратить логические подтверждения в эвристические, логически удовлетворительные примеры в такие, которые будут удовлетворительными и с логической, и с эвристической точки зрения.
И Омега, и Дзета стоят за новые идеи, тогда как Ламбда, и особенно Гамма, заняты лишь лингвистическими трюками с их неуместными глобальными, но не локальными контрапримерами – единственными существенными с их причудливой точки зрения.
Тета. Так что же, логическая точка зрения будет «причуднической»?
Альфа. Если это ваша логическая точка зрения, то да. Но я хочу сделать еще одно замечание. Увеличивает ли дедукция содержание или нет – заметьте, что она, конечно, это делает – она, по-видимому, наверняка гарантирует непрерывный рост знания. Мы начинаем с одной вершины и заставляем знание расти насильственно и гармонически для выяснения соотношения между числами вершин, ребер и граней какого угодно многогранника: чистый недраматический рост без опровержений!
Тета. (Каппе). Разве Альфа потерял способность суждений? Начинают с задачи, а не с вершины[147]!
Альфа. Эта постепенная, но неодолимо победоносная кампания приведет нас к теоремам, которые «не являются сами по себе очевидными, но только выведены из истинных и известных принципов при помощи постоянного и непрерывающегося действия ума, который отчетливо видит каждый шаг процесса»[148]. Эти теоремы никак не могут быть получены «беспристрастным» наблюдением и внезапной вспышкой интуиции.
Тета. В этой окончательной победе я все же сомневаюсь. Такого рода рост никогда не приведет нас к цилиндру – так как (1) начинает с вершины, а у цилиндра их нет. Также, может быть, мы никогда не достигнем односторонних многогранников или многогранников с большим числом измерений.
Это постепенное непрерывное распространение вполне может остановиться на какой-нибудь точке и вам придется ждать нового революционного толчка. И даже такая «мирная непрерывность» полна опровержений и критики! Что заставляет нас идти от (4) к (5), от (5) к (6) и от (6) к (7), как не постоянное давление контрапримеров, являющихся и глобальными, и локальными? В качестве подлинных контрапримеров Ламбда принимал только такие, которые являются глобальными, но не локальными: они обнаруживают ложность теоремы. Правильно оцененным Альфой было нововведение Омеги – в качестве подлинных контрапримеров рассматривать и такие, которые являются локальными, но не глобальными: они обнаруживают, что теорема бедна истиной. Теперь Дзета советует нам считать подлинными и такие контрапримеры, которые являются и глобальными, и локальными: они тоже обнаруживают у теоремы бедность истиной. Например, картинные рамы для теоремы Коши будут и глобальными, и локальными контрапримерами: они, конечно, будут подтверждениями, если рассматривать одну только истину, но опровержениями, если рассматривать содержание. Мы можем первые (глобальные, но не локальные) контрапримеры назвать логическими, а остальные – эвристическими контрапримерами. Но чем больше мы признаем опровержений – логических или эвристических – тем быстрее растет знание. Логические контрапримеры Альфа считает неуместными, а эвристические контрапримеры вообще отказывается называть контрапримерами и все по причине его одержимости идеей, что рост математического знания непрерывен и критика не играет никакой роли.
Альфа. Понятие об опровержении и понятие о критике вы искусственно распространяете только для того, чтобы оправдать вашу критическую теорию роста знания. Разве лингвистические хитрости могут быть орудиями философов?
Пи. Я думаю, что обсуждение образования понятий поможет нам выяснить исход спора.
Гамма. Мы все навострили уши.
Образование понятий