ПЕРЕПИСАТЬ ДАННЫЙ МАТЕРИАЛ В ЛЕКЦИИ!!!
Df 6. Бесконечное числовое множество называется счетным, если , т.е. существует биекция на .
Существует биекция , т.е. X – счетно. Если множество X счетно, то все элементы можно расположить в некотором порядке , , соответственно .
Любое непустое подмножество счетного множества либо конечно, либо счетно
Док-во:
Пусть - счетно (т.е. ), тогда его элементы можно расположить в последовательность, т.е.
………………………………….(1)
И пусть , , - первый элемент последовательности (1), является элементом B, так, что . Пусть - второй такой элемент последовательности (1) так что и и т.д.
Возможны 2 варианта:
1) «пройдем» по всем элементам множества А и на конечном шаге оборвем этот процесс, в этом случае множество В – конечно.
2) Когда процесс выбора бесконечен получаем бесконечную последовательность ; , при , состоящую из всех элементов множества И. положим . Отображение есть биекция на В, поэтому (равномощно), т.е. в случае 2) множество В – счетно.
Следствие.Любое бесконечное подмножество счетного множества счетно.
Df 7.Множество называется не более чем счетным, если оно конечно или счетно.
Объединение счетного числа счетных множеств есть множество счетное.
Док-во:
Пусть , ( ) – семейство счетных множеств и . Расположим каждое множество в последовательность
………………………………………..
Th 2. Множество всех целых или рациональных чисел – счетное.
Док-во:
1) надо найти биекцию из в , получаем:
Геометрически:
|
|
Следовательно, - счетно.
2) Рассмотрим . поскольку . Рассмотрим множество , где В – множество всевозможных упорядоченных пар . Очевидно по Df.
Докажем счетность множества В, для чего построим таблицу:
…………………………………………………………
В этой таблице содержатся все элементы множества В и каждый элемент из В входит в таблицу только один раз. Пронумеровав таблицу согласно стрелкам, получим биекцию на В.
Итак, В – счетно, следовательно , тоже счетно.
Th. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.
Th 3.Множество на несчетно.
Док-во (от противного)
Пусть и предположим, что - счетное, тогда
Разделим на три части:
Тогда найдется отрезок, который не содержит и , - делим на 3 части, и выбираем ту из них, которая не содержит , т.е. и , но тогда .
Поступаем аналогично с
Обозначим через , ту из равных частей отрезка на которой не лежит точка . На n-ом шаге получаем, что и .
Рассмотрим . Согласно th о вложенных отрезках множество , т.е. , что принадлежит всем отрезкам , , . Итак, на , который не совпадает ни с одним , .
Получили противоречие, т.к. по предположению , т.е. все состоит из этих точек. Следовательно, предположение не верно.
Th.Множество всех действительных чисел несчетно.
Th.Множество всех многочленов с рациональными коэффициентами счетно.
Глава II