Числовые последовательности.
§2.1. Предел последовательности
Рассмотрим функцию, у которой на аргумент наложены ограничения, те.е. аргумент принимает значения натурального ряда
,
Df 1. Числовой последовательностью называется отображение из в :
Множество - не обязательно бесконечно, но всегда счетно. Оно может состоять из одного элемента.
- постоянная последовательность
,
Последовательность элементов будем обозначать через , а также будем говорить, что задана последовательность ,
Df 2. Элемент называется общим членом последовательности , а называются членами последовательности .
Df 3. Две последовательности и элементов из называются равными, если для .
Df 4.Последовательность элементов множества, определенная равенством , , называется последовательностью последовательности или частичной последовательностью.
Члены числовой последовательности могут быть изображены в виде точек числовой оси.
Пример.
§2.2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
Df 1. Пусть называется ограниченной сверху (справа), если существует такое число , что для всех элементов последовательности выполняется неравенство .
Df 2.Числовая последовательность называется ограниченной снизу (слева), если для всех элементов последовательности выполняется соотношение , т.е. имеет место неравенство .
Df 3.Числовая последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для всех членов последовательности выполняется соотношение , .
Пример.
Df 4.Числовая последовательность называется ограниченной, если , существует хотя бы один элемент последовательности удовлетворяющий неравенству: .
Пример.
Замечание. Если ограничена, то ограничена и сверху и снизу, т.е. .
§2.3. Предел последовательности.
Рассмотрим числовую прямую и в дальнейшем будем считать
Df. Окрестностью (или , или ) точки называется любой интервал , содержащий точку , т.е. .
Центрированной или «сферической» (с радиусом ) окрестностью точки называется множество .
Заметим, любые окрестности и такие, что .
(На самом деле достаточно взять и , .)
Df .Если - окрестность точки , то проколотой окрестностью точки называется множество .
В частности, .
Df.Действительное число называется пределом числовой последовательности , если , можно указать такой номер зависящий от , что выполняется неравенство , и обозначается: или при .
Запишем это определение в логической символике:
Неравенство , распишем следующим образом