Геометрическое сложение трех векторов
Понятие суммы векторов, введенное для двух слагаемых векторов, можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.
Пусть, например, заданы три вектора 
, 
, 
(рис. 9.10, а).
Выберем на плоскости точку 
, затем параллельным переносом вектора перенесем его так, чтобы точка О стала началом этого вектора. Построим вначале сумму векторов 
. Для этого параллельным переносом вектор перенесем так, чтобы его начало совпало с концом вектора (на рис. 9.10, б это точка А).
Тогда, если
,
то
.
Прибавив к полученной сумме вектор , получим вектор 
. Имеем
(рис. 9.10, в):
;
.
Порядок геометрического сложения векторов может быть произвольным. Из рис. 9.9, г видно, что тот же вектор 
можно получить, если вначале сложить векторы 
, затем к полученной сумме геометрически прибавить вектор . Таким образом,
,
т. е. сумма векторов обладает сочетательным свойством. Поэтому сумму трех векторов , , записывают просто:
.
Пример 9.6. Вычислить сумму трех векторов 
, 
, 
, приложенных в точку О, если 
, 
, 
. Направления векторов показаны на рис. 9.11, а.
Решение. Из произвольной точки О проводим прямую, параллельную линии действия вектора , и откладываем отрезок вдоль этой линии, равный модулю первого вектора 
Далее, через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора (угол между линиями действия векторов и равен 
), и откладываем отрезок, равный модулю второго вектора 
; через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора (угол между линиями действия векторов и равен 
), и откладываем 
отрезок, равный модулю третьего вектора . Вектор , равный сумме векторов 
+ + , соединяет точку О (точка приложения первого вектора) с концом вектора (рис. 9.11, б). Измеряем линейкой модуль вектора .
Совместим начало декартовой системы координат 
с точкой , ось 
совместим с линией действия вектора (рис. 9.11, в), измерим транспортиром угол между положительным направлением оси 
и вектором .
В результате измерений получим величину модуля вектора и его направление относительно горизонтальной оси
Пример 9.7. Вычислить сумму трех векторов , , , если 
, 
. Направления векторов показаны на рис. 9.12, а.
Решение. Выберем декартову систему координат . Из точки О проводим прямую, параллельную линии действия вектора , и откладываем отрезок вдоль этой линии, равный 
(параллельный перенос). Далее, через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора (угол между линиями действия векторов и равен ), и откладываем отрезок, равный 
; через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора (угол между линиями действия векторов и равен ), и откладываем отрезок, равный 
. Вектор , равный сумме векторов + + , соединяет точку О (точка приложения первого вектора) с концом вектора (рис. 2.12, б). Измеряем линейкой модуль вектора : 
.
Измерим транспортиром угол между положительным направлением оси и вектором : 
.
В результате измерений получим величину модуля вектора и его направление относительно горизонтальной оси
Пример 9.8.Вычислить сумму трех векторов , , , если 
, 
. Направления векторов показаны на рис. 9.13, а.
Решение.Совместим начало системы координат с началом вектора , рис. 9.13, б. Откладываем по оси отрезок, равный 
(модуль первой силы),
рис. 9.13, б. Далее, через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора (угол между линиями действия векторов и равен 
), откладываем отрезок, равный 1 (модуль второй силы). Через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора (угол между линиями действия векторов и равен 
), откладываем отрезок, равный 2 (модуль третьей силы).
Получили, что конец вектора совпал с началом вектора , следовательно, сумма векторов + + 
. В этом случае векторный треугольник называется замкнутым (рис. 9.13, б).
Проверим полученный результат, используя теорему синусов:
.