Матрицы. Основные определения.
Введение
В методических указаниях излагаются основные сведения из теории по линейной алгебре, приведено большое количество примеров и задач с подробными решениями. Задачи для практических занятий и самостоятельной работы снабжены ответами.
Предназначены для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину "Элементы высшей математики".
Матрицы. Основные определения.
Совокупность 
чисел (действительных или комплексных), расположенных в виде таблицы, содержащей 
строк и 
столбцов, называют матрицей размерности . Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы принято обозначать прописными буквами А,В, С,…одним из следующих способов:
(1.1)
Коротко обозначают так: 
,
где 
- элемент матрицы, индексы i,j определяют положение элемента в матрице. Первый индекс i определяет номер строки, второй j - номер столбца. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой. Такая матрица имеет вид
Матрица, имеющая лишь один столбец, называется вектор-столбцом
.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается
.
Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. любое число можно рассмотреть как матрицу размерности 
, т.е. имеющую одну строку и один столбец.
Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов 
, т. е. матрица вида
(1.2)
В противном случае матрица называется прямоугольной.
Порядком квадратной матрицы называется число ее строк (или столбцов).
Главной диагональю квадратной матрицы (1.2) называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний. На главной диагонали стоят элементы 
, т.е. элементы, у которых номер строки равен номеру столбца 
.
Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний. На ней стоят элементы 
.
Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называется диагональной.
Если все элементы диагональной матрицы равны единице, то такая матрица называется единичной и обозначается
.
Треугольной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Различают соответственно верхнюю и нижнюю треугольные матрицы:
, 
Ненулевая матрица называется ступенчатой, если выполняются следующие условия:
а) первая строка матрицы имеет хотя бы один ненулевой элемент;
б) первый ненулевой элемент любой последующей строки матрицы располагается правее первого ненулевого элемента предыдущей строки;
в) любая строка, состоящая только из нулей, находится ниже всех ненулевых строк.
Две матрицы А=(аij) и В=(bij) одной размерности называется равными, если для любых i,j выполняются условие: аij=bij.
Операции над матрицами