Определители второго и третьего порядков

Определителем квадратной матрицы второго порядка

называется число, равное произведению элементов на главной диагонали матрицы минус произведение элементов на побочной диагонали, т.е.

(3.1)

Например, .

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

называется число

(3.2)

Запомнить формулу (3.2) легко в виде так называемого правила треугольников. В соответствии с ним со знаком "плюс" берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Члены со знаком "минус" определяются аналогично, но относительно побочной диагонали.

Пример. Вычислить определитель матрицы 3-го порядка

Определители n-го порядка

Перейдем к выяснению понятия определителя любого порядка n, где n³3.

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка

.

Минором М_ij элемента а_ij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием i-й строки и j- го столбца (строки и столбца, в которых стоит элемент).

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij называется число, равное , т.е.

(3.3)

где i - номер строки, в которой стоит элемент а_ij,

j - номер столбца.

Из формулы (3.3) следует, что алгебраическое дополнение А_ij отличается от отвечающего ему минора М_ij только знаком, т.е. А_ij = M_ij или А_ij =-M_ij в зависимости от четности или нечетности суммы индексов (i+j).

Пример. Пусть . Найти М₂₁, А₂₁, М₃₃, А₃₃.

Решение.

.

Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов первой строки определителя на их алгебраические дополнения

(3.4)

Такое представление определителя называют разложением определителя по первой строке. Оказывается, разлагать определитель можно не только по первой, но и по любой другой строке, а также по любому столбцу определителя:

(3.5)

где i - любое из чисел 1,2,…,n,

j - любое из чисел 1,2,…,n.

Операция разложения определителя n- го порядка по строке (столбцу) позволяет свести его значение к вычислению n определителей, но уже меньшего (n-1)-го порядка.

Пример. Вычислить определитель матрицы

Решение.

Вычислим определитель, разложив его по четвертой строке

Наличие одного нуля в строке, по которой производилось разложение, избавило нас от необходимости вычислять один определитель третьего порядка. Поэтому, если бы в определителе можно было получать нули, не изменяя значение определителя, число необходимых вычислений значительно бы сократилось. Возможность тех или иных преобразований элементов определителя зависит от свойств определителей.

Свойства определителей.

Приводимые ниже свойства справедливы для определителей любого порядка. Доказательство свойств будем проводить на примере определителей третьего порядка.

Свойство 1. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется, т.е. .

Доказательство. Вычисляя и по правилу треугольников получаем:

Поскольку правые части обоих выражений совпадают, то .

Свойство 2. При перестановке двух строк (двух столбцов) определитель меняет знак.

Например, .

Доказательство свойства 2 предлагается провести самостоятельно по аналогии с доказательством свойства 1.

Свойство 3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Доказательство. Пусть - некоторый определитель с двумя одинаковыми строками. Поменяем в определителе местами одинаковые строки. Получим новый определитель ₁. В силу свойства 2 ₁= - . Но, с другой стороны, ₁= , поскольку переставлены одинаковые строки. Значит - = , откуда = 0.

Свойство 4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя:

.

Доказательство

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Для доказательства свойства 5 достаточно осуществить разложение определителя по строке (столбцу) с нулевыми элементами.

Свойство 6. Определитель, элементы двух строк (двух столбцов) которого пропорциональны, равен нулю.

Мы последовательно воспользовались свойствами 4 и 3.

Свойство 7. Если в определителе все элементы некоторой строки (некоторого столбца) представляют сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей: у одного элементами соответствующей строки являются первые слагаемые, у второго – вторые, а остальные строки во всех трех определителях одинаковые:

Доказательство свойства 7 предлагается провести самостоятельно через разложение определителя в левой части равенства по первой строке с последующей перегруппировкой членов.

Свойство 8. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель α, то величина определителя не изменится, т.е.

Доказательство. Докажем первое равенство в приведенной записи.

Пусть , а определитель получен из него прибавлением ко второй строке первой, умноженной предварительно на некоторое число α. Покажем, что .

Первый определитель в последнем выражении равен , а второй – нулю в силу свойства 6 (как определитель с пропорциональными первой и второй строками).

Свойство 8 является основным свойством, используемым для преобразования элементов определителя без изменения его величины и, в частности, для получения нулей в строке или столбце определителя.

Замечание. Значение определителя изменится, если строку (столбец) умножить на произвольный множитель α и прибавить к ней другую строку (столбец).

Свойство 9. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

Свойство 10. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Данное свойство не будем доказывать и лишь иллюстрируем его примером.

Пусть

Составим теперь сумму произведений элементов первой строки этого же определителя на алгебраические дополнения элементов второй строки:

Свойство 11. Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей этих матриц, т.е. .

Решение типовых задач

1. Вычислить определитель второго порядка .

Решение. .

2. Вычислить определитель третьего порядка .

Решение:

Вычислим этот же определитель, используя разложение определителя по элементам какой-либо строки или столбца. Так как раскладывать определитель можно по элементам любой строки или столбца, то целесообразно выбрать строку или столбец, содержащих больше нулей. А для этого преобразуем наш определитель так, чтобы в некоторой строке (столбце) часть элементов обратилась в нуль. Пусть мы хотим получить нули в первом столбце. Для этого выберем строку, которая в первом столбце имеет 1 или -1 и перепишем ее без изменения. Итак, оставим без изменения, например, первую строку (т.е. выберем ее в качестве рабочей). Умножив все ее элементы на (-2) и прибавив их к соответствующим элементам второй строки, получим ноль на месте элемента . Аналогично, сложив первую строку с третьей, получим ноль на месте элемента :

Замечание. Если нули хотят получить в столбце, то в качестве рабочей должна выступать некоторая строка, если же нули получают в какой-либо строке, то в качестве рабочего должен выступать некоторый столбец.

3. Вычислить определитель четвертого порядка

.

Решение. Разложим определитель по элементам второй строки.

4. Вычислить определитель четвертого порядка

.

Решение. Оставим без изменения первую строку и получим нули в первом столбце. Для этого сложим первую строку с третьей. Затем умножим ее на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и четвертой строками. Потом разложим определитель по элементам первого столбца.

Задачи для практических занятий
и самостоятельной работы

Вычислить определители:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Ответы:

1. 3

2. -21

3. 125

4. -102

5. -21

6. 13

7. 8

Обратная матрица

Пусть А – квадратная матрица порядка , Е - единичная матрица того же порядка :

, .

Обратной для матрицы А называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая равенствам . Из определения следует, что обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы и обе матрицы имеют один и тот же порядок.

Не всякая квадратная матрица имеет обратную . Для ее существования необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от нуля.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной в противном случае.

Таким образом, обратная матрица существует только для невырожденной матрицы А.

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

1.

2.

3. .

Теорема. Матрица ,

где - алгебраические дополнения элементов невырожденной матрицы А, является обратной для А .

Вычисление обратной матрицы

1. Находим определитель . Если , то обратная матрица не существует. Вычисления завершаются. Если же , то продолжаем нахождение обратной матрицы.

2. Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А.

3. Составляем из алгебраических дополнений присоединенную матрицу :

4. Транспонируем матрицу :

5. Формируем обратную матрицу :

.

Пример. Найти матрицу , обратную матрице .

1.

2.

3.

4.

5. .

Проверка:

Ранг матрицы

Пусть дана матрица размером

.

Выберем в ней произвольно строк и столбцов, . Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, составляют квадратную матрицу -го порядка, определитель которой называют минором -го порядка и обозначают .

Миноры одного или разных порядков представляют собой различные числа. Среди них, возможно, будут нули. Дальше нас будут интересовать порядки тех миноров матрицы , которые отличны от нуля, а именно наивысший среди этих порядков.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называют рангом этой матрицы. Ранг матрицы будем обозначать буквой . Если -ранг матрицы, то миноры порядка - не все равны нулю, поэтому миноры более низких порядков , , …, также не все равны нулю. Миноры же более высоких порядков , и т.д. все равны нулю.

Примеры.

1. Дана матрица . Найти ранг.

Матрица содержит 4 строки и 3 столбца. Высший порядок миноров равен трем. Составляем миноры третьего порядка: выбираем три произвольные строки, например, первую, вторую и третью и из их элементов составляем определитель третьего порядка и вычисляем его:

Так как , то ранг и другие миноры третьего порядка вычислять уже не требуется.

2. Дана матрица . Найти ранг.

Матрица содержит 3 строки и 4 столбца. Высший порядок миноров равен 3. Составляем миноры 3-го порядка: выбираем 3 произвольных столбца, например, 1, 2 и 3-й и из их элементов составляем определитель 3-го порядка и вычисляем его:

.

Так как определитель равен нулю, составим другой минор 3-го порядка, взяв элементы столбцов 1, 2 и 4-го:

.

Он тоже равен нулю. Составляем следующий минор 3-го порядка из элементов столбцов 1, 3 и 4-го:

.

И опять определитель равен нулю. Составляем последний минор 3-го порядка из элементов 2, 3 и 4-го столбцов:

.

Снова получили нуль. Следовательно, ранг матрицы не равен трем. Переходим к вычислению миноров 2-го порядка. Выбираем для этого две произвольные строки, например, 1-ю и 2-ю и два произвольных столбца, например, 1-й и 2-й и из общих элементов составляем определитель 2-го порядка:

.

Он не равен нулю, ранг . Вычисление других миноров 2-го порядка уже не требуется.

Вычисление ранга путем подсчета всех миноров матрицы является долгим процессом. Некоторые преобразования матриц эту задачу облегчают.

Элементарными преобразованиями матриц называют следующие преобразования:

1. перестановка двух строк (двух столбцов) матрицы;

2. умножение всех элементов одной строки (столбца), на число отличное от нуля;

3. умножение всех элементов какой-нибудь строки (столбца) на число и сложение с соответствующими элементами другой строки (столбца);

Две матрицы называются эквивалентными (их обозначение ), если одна из них получена из другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Можно доказать, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Это следует, например, из определения ранга матрицы и свойств определителей. С помощью элементарных преобразований матрицу А можно привести к ступенчатому виду, и ранг матрицы А будет равен числу ненулевых строк ступенчатой матрицы, полученной из А с помощью элементарных преобразований над строками.

Рассмотрим как приводить матрицу к ступенчатому виду.

Примеры.

1. Дана матрица . Найти ранг.

Умножим первую строку на (-2), (-3) и сложим соответственно со второй и третьей:

.

Умножим вторую строку на (-1) и прибавим к третьей:

.

В последней матрице одна строка нулевая и две ненулевые. Следовательно, ранг матрицы равен 2 ( ).

2. Дана матрица . Найти ранг.

Умножим поочередно первую строку на (-3), (-4), (-7) и прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой:

Умножим все элементы второй строки на , а четвертой – на :

Умножим вторую строку на (-5), (-1) и прибавим соответственно к третьей и четвертой:

Умножим третью строку на , а четвертую на :

Умножим третью строку на (-1) и сложим с четвертой:

Получили ступенчатую матрицу, которая имеет три строки, не содержащих одни нули. Ее ранг равен рангу данной матрицы и равен 3 .

3. Дана матрица . Найти ранг.

Умножим первую строку на (-2), 2, (-3) и сложим соответственно со второй, третьей и четвертой:

Умножим вторую строку на (-3), (-2) и прибавим соответственно к третьей и четвертой:

Умножим третью строку на (-1) и прибавим к четвертой:

Получили ступенчатую матрицу, ее ранг равен 4.

Задачи для практических занятий
и самостоятельной работы.

Найти ранги следующих матриц.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ответы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

• ⇐ Назад
• 1
• 234
• 5
• Далее ⇒