Нақта сандыр. Функция. Элементар функциялар.
Нәрселерді санау қажетінен тұған 1,2,3… натурал сандар ерте заманнан белгілі. Натурал сандар жиынын әдетте N әріпімен белгілейді.
Анықтама. Функция деп кез келген х элементіне, бірінші элементі осы х болатындай, біреуден артық емес (x,y) пары сәйкес келетін (x,y) парларының f жиынын атайды. Y=f(x). Парлардың бірінші элементтер (x) жиыны анықталу облысы деп, ал екінші элементтер жиыны (y) мәндер облысы деп аталады. Х аргумент деп аталады.
Анықтама. Егер кез келген х 
мәніне сәйкес f(-x)= f(x) теңдігі орындалса, онда оны жұп функция деп атайды. Егер f(-x)= - f(x) болса, огда оны тақ функция деп атайды.
Мысалы, f(x)= 
. 
R (кез келген х) үшін
f(-x)= 
= = f(x) орындалады. F функциясы жұп болады.
f(x)= 
. R (кез келген х) үшін
f(-x)= 
= 
= -f(x) орындалады. F функциясы тақ болады.
Енді Y=f(x) функция үшін әр түрлі жағдайларды қарастырамыз.
1. f (x) орнегін алу үшін х аргументі мен тұрақты сандарға саны шектеулі алгебралық амалдар (қосу, алу, көбейту, бөлу, түбір табу) қолданылатын болса, онда өрнекті алгебралық өрнек деп атайды.
Мысалы у= 
формуласымен берілген функция алгебралық функция болады.
Алгебралық f(x) өрнегін құру үшін түбір табу амалы қолданылмаса, оны рационал өрнек деп атайды
Мысалы, у= 
рационал функция болады.
1. Тұрақты функция. Бұл функция f(x)=C формуламен береді. Бұл функциянын анықталу облысы бүкіл сандық өс (R жиыны), ал өзгеру облысы тек бір ғана тұрақты С санынан тұрады. Графиктері:
2. Дәрежелік функция. Бүтін қөрсеткіш функция деп f(x)=хn функциясының атайды. Графиктері:
3. Көрсеткіш функция. Көрсеткіш функция деп у=ax функциясын атайды. Анықталу облысы бүкіл сандық өс (R жиыны). Ал мәндер облысы нақты оң сандар жиыны болады. Графиктері:
4. Логарифмдік функция. Негізгі а (a 
) болатын логарифмдік функция деп көрсеткіш функцияға кері функцияны атайды және оны былай белгілейді y=logax Графиктері
5. Тригонометриялық функциялары. Y=cosx, y=sinx, y=tgx,y=ctgx. Графиктері
6. Кері тригонометриялық функциялары. y=arccosx, y=arcsinx, y=arctgx, y=arcctgx. Графиктері
Анықтама. Нақты санның модулі мына формуламен енгізіледі
1-Анықтама. Тізбек деп барлық оң бүтін сандар жиынында анықталған f функциясын айтады. f функциясының оң бүтін санына сәйкес мәнін 
деп белгілейді, яғни 
.
2-Анықтама. 
тізбегі берілсін. Егер кез келген 
оң саны арқылы барлық 
үшін 
теңсіздігін қанағаттандыратын 
саны табылса, онда тізбегінің нақты мәнді шегі бар және ол а санына тең деп атап, оны былай белгілейді: 
немесе 
(1)
Осы жағдайда тізбегін «а санына жинақталатын тізбек», «а санына ұмтылатын тізбек» деп те атайды.
Енді тізбектің қасиеттерін қарастырамыз.
1-Теорема. Жинақталатын тізбектің тек бір ғана шегі бола алады, яғни 
болса, онда 
.
2-Теорема. Егер 
болса, онда әрбір оң бүтін m үшін 
.
3-Теорема. болса, онда 
.
4-Теорема. Шегі нөл емес нақты сан болатын тізбектің мүшелері белгілі бір нөмірден бастап шегінің таңбасын сақтайды.
5-Теорема. және 
тізбектерінің шектері бар болсын. Егер белгілі бір к нөмірінен бастап барлық n-дер үшін 
теңсіздігі орындалса, онда сол теңсіздік шектер үшін де сақталады, яғни 
6-Теорема. 
тізбектері үшін келесі шарттар орындалса; 1) әрбір оң бүтін n үшін, 
; 2) 
; Онда тізбегінің де шегі бар және а-ға тең.