Числові характеристики: генеральна середня і вибіркова середня
Лекція № 13
Тема: Числові характеристики: вибіркова середня, дисперсія вибірки, середньоквадратичне відхилення, мода й медіана для дискретних та інтервальних статистичних розподілів вибірки.
Питання лекції:
1.Числові характеристики: генеральна середня і вибіркова середня.
2.Числові характеристики: генеральна дисперсія і вибіркова дисперсія.
3.Групова, внутрігрупова, міжгрупова і загальна дисперсія. Складання дисперсій. Оцінка генеральної дисперсії по полагодженій вибірковій.
4.Мода і медіана для дискретних та інтервальних статистичних розподілів вибірки.
Числові характеристики: генеральна середня і вибіркова середня
Для того, щоб статистичні оцінки давали "добрі" наближення до оцінюваних параметрів, вони повинні задовольняти певним вимогам.
Незміщеною називають статистичну оцінку 
, математичне сподівання якої дорівнює оцінюваному параметру 
при любім об’ємі вибірки, т.т.
.
Зміщеною називають оцінку, математичне сподівання якої не дорівнює оцінюваному параметру.
Ефективною називають статистичну оцінку, яка (при заданім об’ємі вибірки 
) має найменшу можливу дисперсію.
Становищною називають статистичну оцінку, яка при 
прямує по ймовірності до оцінюваного параметру.
Нехай вивчається дискретна генеральна сукупність відносно кількісної ознаки 
.
Генеральною середньою 
називають середнє арифметичне значення ознаки генеральної сукупності.
Якщо всі значення 
ознаки генеральної сукупності об’єму 
різні, то
.
Якщо ж значення ознаки мають відповідні частоти 
, при цьому 
, то
,
Тобто генеральна середня є середня зважувана значень ознаки, з вагою дорівнюючою відповідним частотам.
Нехай для вивчення генеральної сукупності відносно кількісної ознаки взято вибірку об’єму .
Виборчою середньою 
називають середнє арифметичне значення ознаки виборчої сукупності.
Якщо всі значення 
ознаки вибірки об’єму різні, то
.
Якщо ж значення ознаки 
мають відповідні частоти 
, при цьому 
, то
або 
, (1)
т.ч. виборча середня є середня зважувана значень ознаки, з вагою рівною відповідним частотам.
Середнє арифметичне для вибірки прийнято брати за наближене значення математичного сподівання генеральної сукупності випадкової величини . При необмеженому зростанні величина (1) прямує до математичного сподівання 
генеральної сукупності .
Зауваження. Якщо значення випадкової величини 
і її відповідні частоти великі числа, то середня арифметична вибірки обчислюється за формулою
, (2)
де 
нові значення випадкової величини вже є невеликими цілими числами, а 
і 
– деякі числа.
Якщо ряд дискретний, то за число беруть значення випадкової величини, яке знаходиться посередині варіаційного ряду, або значення випадкової величини, яке має найбільшу частоту. Число дорівнює найбільшому загальному дільнику випадкових величин 
. Якщо ряд інтервальний, то його замінюють дискретним і тоді число дорівнює центру інтервалу, який знаходиться посередині, а за число беруть довжину інтервалу.