Порівняння декількох середніх методом дисперсійного аналізу
Треба перевірити при заданому рівні значущості нульову гіпотезу про рівність декількох 
середніх нормальних сукупностей з невідомими, але однаковими дисперсіями. Покажемо, що розв’язок цієї задачі зводиться до порівняння факторної і залишкової дисперсій по критерію Фишера – Снедекора.
1. Нехай нульова гіпотеза про рівність декількох середніх (надалі називатимемо їх груповими) правильна. В цьому випадку факторна і залишкова дисперсії є незміщеними оцінками невідомої генеральної дисперсії і, отже, розрізняються незначущо. Якщо порівняти ці оцінки по критерію 
, то очевидно, критерій вкаже, що нульову гіпотезу про рівність факторної і залишкової дисперсій слід прийняти.
Таким чином, якщо гіпотеза про рівність групових середніх правильна, то вірна і гіпотеза про рівність факторної і залишкової дисперсій.
2. Нехай нульова гіпотеза про рівність групових середніх помилкова. В цьому випадку із зростанням расхождения між груповими середніми збільшується факторна дисперсія, а разом з нею і відношення 
. У результаті 
виявиться більше 
і, отже, гіпотеза про рівність дисперсій буде знехтувана.
Таким чином, якщо гіпотеза про рівність групових середніх помилкова, то помилкова і гіпотеза про рівність факторної і залишкової дисперсій.
Легко довести від протилежного справедливість зворотних тверджень: з правильності (помилковості) гіпотези про дисперсії слідує правильність (помилковість) гіпотези про середні.
Отже, для того, щоб перевірити нульову гіпотезу про рівність групових середніх нормальних совокупностей з однаковими дисперсіями, достатньо перевірити по критерію нульову гіпотезу про рівність факторної ізалишкової дисперсій. В цьому і полягає метод дисперсійного аналізу.
Зауваження 1. Якщо факторна дисперсія виявиться менше залишкової, то вже звідси слідує справедливість гіпотези про рівність групових середніх і, значить, немає потреби вдаватися до критерію .
Зауваження 2. Якщо немає впевненості в справедливості предположення про рівність дисперсій розглядаваних 
сукупностей, то це припущення слід перевірити заздалегідь, наприклад по критерію Кочрена.
Приклад. Проведено по 
випробування на кожних з трьох рівнів. Результати випробувань приведені в таблиці. Методом дисперсійного аналізу при рівні значущості 
перевірити нульову гіпотезу про рівність группорых середніх. Передбачається, що вибірки витягнуті з нормальних
| Номер випробування | Рівні фактора 
| ||
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
|
| 
| 
|
| 
|
| 
|
|
| 
| 
|
|
|
| 
| 
|
совокупностей з однаковими дисперсіями.
Розв’язання. Для спрощення розрахунку віднімемо 
з кожного спостережуваного значення: 
. Складемо розрахункову таблицю.
Користуючись таблицею і враховуючи, що число рівнів фактора 
, число випробувань на кожному рівні 
, знайдемо загальну і факторну суми квадратів відхилень:
;
.
Знайдемо залишкову суму квадратів відхилень:
.
Знайдемо факторну і залишкову дисперсії:
;
| Номер випробування | Рівні фактора
| Підсумковий стовпець | |||||
|
|
|
|
| ||||
| 
| 
| 
| 
| 
| ||
|
| 
|
| 
|
| 
| 
| |
|
|
|
|
|
| 
| 
| |
|
|
| 
|
|
| 
|
| |
|
| 
| 
| 
| 
|
|
| |
|
|
| 
| 
| |||
| 
| 
| 
| 
| |||
|
| 
| 
| 
|
.
Порівняємо факторну і залишкову дисперсії по критерію 
, для чого знайдемо спостережуване значення критерію:
.
Враховуючи, що число ступенів свободи чисельника 
, а знаменника 
і рівень значущості 
, по таблиці знаходимо критичну точку:
.
Оскільки 
– нулевую гіпотезу про рівність групових середніх відкидаємо. Іншими словами, групові середні «в цілому» розрізняються значущо. Якщо вимагається порівняти середні попарно, то слід скористатися критерієм Стьюдента.
Зауваження 3. Якщо спостережувані значення 
– десяткові дроби з одним знаком після коми, то доцільно перейти до чисел 
, де 
– приблизно середнє значення чисел 
. В підсумку отримаємо порівняно невеликі цілі числа. Хоча при цьому факторна і залишкова дисперсія збільшуються в 
разів, їх відношення не зміниться. Наприклад; якщо 
, 
, 
, то, прийнявши 
, отримаємо: 
, 
, 
.
Аналогічно поступають, якщо після коми є 
знаків:
.