Тема 12. Основи фінансово-економічних розрахунків
Суттю фінансово-економічних розрахунків (називаних у спеціальній літературі також вищими фінансовими обчисленнями або фінансовою математикою) є застосування методів кількісного фінансового аналізу для оцінки умов і результатів фінансових операцій.
Для оволодіння методикою фінансово-економічних розрахунків студентові необхідно розібратися в основних поняттях, прийнятих у фінансових обчисленнях.
Гроші в борг можуть бути надані в різних формах: грошова позичка, продаж товару в кредит, розміщення на депозитному рахунку, придбання векселя, ощадного сертифіката, облігації і т.д.
Будь-яка фінансова угода, крім визначення таких кількісних характеристик як сума угоди, величина доходу або розмір процентних ставок, повинна обов'язково враховувати фактор часу. Необхідність врахування часових параметрів обумовлена принципом нерівноцінності грошей, що відносяться до різних моментів часу. Зміна вартості грошей у часі пов’язана з інфляцією, ризиками, можливістю їхнього інвестування на різних умовах і т.д. Врахування фактора часу у фінансовій сфері здійснюється за допомогою відсотків.
Потрібно розуміти різницю між відсотками (або процентними грішми, тобто абсолютною сумою доходу від надання грошей у борг) і процентними ставками (тобто відносною величиною доходу за фіксований проміжок часу до суми боргу).
Відсотки за весь термін позички можуть бути нараховані як однократно, так і багаторазово. Фіксований період часу, за який нараховуються відсотки, називають періодом нарахування.
Процес приєднання відсотків до початкової суми боргу називають нарощенням, ростом, або капіталізацією суми боргу. Визначення нарощеної суми здійснюється за принципом «від сьогодення до майбутнього», тобто нарахування здійснюється на початкову суму, тому застосовувані при цьому ставки називають ставками нарощення або просто процентними. Визначення початкової суми по відомій нарощеній сумі називають дисконтуванням. Воно може здійснюватися як розв’язанням задачі, оберненої до нарощення, за допомогою процентних ставок (математичне дисконтування), так і шляхом розрахунку процентних грошей за принципом «від майбутнього до сьогодення», тобто відносно нарощеної суми. В другому випадку відносна величина доходу називається обліковою (дисконтною) ставкою, а сама процедура – банківським або комерційним обліком (врахуванням векселів).
Якщо при нарахуванні відсотків постійно використовують ту саму початкову суму, то такі ставки називають простими, якщо ж суму з раніше нарахованими відсотками (нарощену) – те застосовувані ставки називають складними.
Розмір ставки може бути постійним протягом усього терміну дії угоди (фіксовані ставки) або змінюватися в часі (плаваючі ставки). В другому випадку розмір ставки складається з базової ставки, щозмінюється в часі, і надбавки до неї - маржі.
Розрахункові формули, що використовуються при нарахуванні відсотків, традиційно прийнято записувати в уніфікованому вигляді:
PV=FV (. . .), або FV=PV (. . .),
| де | PV | – | початкова сума (сучасна вартість); |
| FV | – | нарощена сума (майбутня вартість); | |
| (. . .) | – | у залежності від розв'язуваної задачі множник нарощення або дисконтний множник. |
Це пояснюється тим, що на практиці необхідна сума визначається множенням початкової або нарощеної суми на відповідні множники, розраховані значення яких наводяться в довідкових таблицях у спеціальній літературі.
Величина доходу визначається як різниця (FV – PV), причому у випадку застосування процентних ставок ця різниця характеризує суму нарахованих відсотків (І), а у випадку застосування дисконтних ставок – величину дисконту (D). Очевидно, що I=PV * ni, а D=FVnd.
Для зручності студентів основні формули, застосовувані при нарахуванні відсотків, узагальнені в наведених далі таблицях.
Таблиця 12.1. Розрахунки з застосуванням простих відсотків
| Ставка | Пряма задача | Обернена задача | |||
| вид | розрахункова формула | зміст | розрахункова формула | зміст | розрахункова формула |
| процент-на | 
| нарощення | FV=PV(1+ni) | матема- тичне дисконту- вання | 
|
| облікова | 
| Банків- ський облік (врахування векселів) | PV=FV(1-nd) | наро- щення | 
|
Таблиця 12.2. Розрахунки з застосуванням складних відсотків
(нарахування один раз на рік)
| Ставка | Пряма задача | Обернена задача | |||
| вид | розрахункова формула | зміст | розрахункова формула | зміст | розрахункова формула |
| процент-на |
| нарощення | FV=PV(1+i)n | матема- тичне дисконту- вання | 
|
| облікова |
| банківсь- кий облік (врахування векселів) | PV=FV(1-d)n | наро- щення | 
|
Умовні позначення:
| i | – | процентна ставка (у вигляді десяткового дробу); |
| d | – | дисконтна ставка (у вигляді десяткового дробу); |
| n | – | період нарахування (у роках). |
Так як ставка встановлюється, виходячи з річних відсотків, то при розрахунку прибутковості короткострокових фінансових операцій терміном менш року відсотки визначаються пропорційно тривалості позики в році, тобто виходячи з того, що 
, де t – число днів позики, k – число днів у році.
Якщо число днів у році при розрахунку приймається точним, тобто 365 (366) днів, то й обчислені відсотки називають точними, якщо ж вважають рік рівним 360 дням, то відсотки називають звичайними, або комерційними. Число днів позики також може бути точним або наближеним (кожен місяць приймається рівним 30 дням). При будь-якому способі розрахунку день видачі і день погашення позики вважається за один день.
Таблиця 12.3. Варіанти нарахування відсотків
| Число днів у року (к) | Число днів позики (t) | |||
| точне | наближене | |||
| вид застосовуваних відсотків | позначення у комерційних документах | вид застосовуваних відсотків | позначення у комерційних документах | |
| (366) | точні відсотки з точним числом днів позики («англійська практика») | 365/365 або АСТ/АСТ | не застосову- ється | - |
| звичайні відсотки з точним числом днів позики («французька практика») | 365/360 або АСТ/360 | звичайні відсотки з наближеним числом днів позики («німецька практика») | 360/360 |
У сучасних умовах відсотки капіталізуються, як правило, не один, а кілька разів у році – по півріччях, кварталах, місяцях або днях. Студентові при розрахунках варто звернути увагу, що в контрактах при цьому фіксується не ставка за період нарахування, а річна ставка з одночасним зазначенням періоду нарахування, наприклад «20 % річних із щоквартальним нарахуванням». У такому випадку річна ставка 20 % називається номінальною, а реальний рівень прибутковості, тобто відношення сукупного доходу за рік, отриманого внаслідок m-разового нарахування по номінальній ставці, до суми боргу, називають ефективною, або дійсною ставкою відсотка. Формули нарахування складних відсотків при цьому видозмінюються.
Таблиця 12.4. Розрахунки з застосуванням складних відсотків
(нарахування m раз у році)
| Ставка | Пряма задача | Обернена задача | |||
| вид | розрахункова формула | зміст | розрахункова формула | зміст | розрахункова формула |
| процентна | 
| нарощення | 
| математи- чне дисконту- вання | 
|
| облікова | 
| банковсь- кий облік (врахування векселів) | 
| нарощення | 
|
Умовні позначення:
| m | – | Число періодів нарахування в році; |
| j | – | номінальна процентна ставка; |
| f | – | номінальна дисконтна ставка. |
Учасників фінансових угод цікавлять не види ставок, зафіксованих у контрактах, а кінцева ефективність фінансових операцій. Якщо різні види ставок в однотипних фінансових операціях у конкретних умовах угод приведуть до одного і того ж фінансового результату, то такі ставки називають еквівалентними.
Співвідношення еквівалентності можна визначити для будь-якої пари ставок, прирівнявши попарно множники нарощення або дисконтування. Так, еквівалентність номінальної й ефективної ставок полягає в тому, що однократне нарахування по річній ставці і дає той же фінансовий результат, що і нарахування по ставці j m раз у році, а саме співвідношення одержуємо, прирівнявши:
(1+і)n=(1+ 
,
звідки 
.
Результати аналогічних перетворень для зручності узагальнимо в таблиці.
Таблиця 12.5. Формули еквівалентності ставок
| Порівнювані ставки | Розрахункова формула |
| Проста процентна (is) і проста облікова (ds) | 
|
| Складна процентна (i) і складна облікова (d) | 
|
| Проста процентна (is) і складна процентна (i) | 
|
| Проста облікова (ds) і складна облікова (d) | 
|
| Номінальна (j) і ефективна (i) процентна |  )
|
| Номінальна (f) і ефективна (d) облікова |  )
|
В умовах нестійкого кредитно-грошового ринку часто відбуваються зміни рівня процентних ставок. У такому випадку множник нарощення при використанні простих відсотків визначається як алгебраїчна сума:
FV=PV(1+n1i1+n2i2+ . . .nkik),
а при використанні складних відсотків – як добуток часткових множників:
FV=PV(1+i1)n1 * (1+i2)n2 . . . (1+Ik) 
Якщо у фінансових операціях розмір процентної ставки змінюється в часі, то всі значення ставки можна узагальнити за допомогою середньої ставки. Заміна всіх значень ставок середньою ставкою не повинна змінювати результатів нарощення або дисконтування, тому розрахункові формули, як і у випадку еквівалентності ставок, виводять шляхом порівняння множників нарощення або дисконтування. Так, для випадку простих процентних ставок одержимо:
звідки 
,
де N - загальний термін нарахування відсотків (N= 
).
Аналогічні розрахунки для простої дисконтної ставки теж приводять до формули середньої арифметичної 
, а розрахунки для складних ставок – до середньої геометричної
.
Якщо змінюється у часі сума, на яку нараховуються відсотки (внаслідок внесення грошей на рахунок або зняття їх з рахунку), то традиційна формула простих відсотків (I=PVni) набуває вигляду:
,
| де | PVj | - | залишок коштів на рахунку в момент після чергового надходження або списання коштів; |
| nj | - | період збереження грошей (у роках) до нової зміни залишку коштів на рахунку (  )
|
Приклади типових рішень
Завдання 1
Позичка в розмірі 25 тис.грош.од. видана 25 січня з погашенням її 28 вересня цього ж року (рік невисокосний) під 22 % річних, відсотки прості. Визначте суму, що підлягає поверненню, застосувавши різні способи нарахування відсотків.
Розв’язання:
З умови випливає, що нарахування здійснюється за формулою простих відсотків, вирішується задача нарощення, термін позички менше року. Отже, розрахунок нарощеної суми здійснюється за формулою: 
. Зробимо розрахунки відповідно до варіантів, наведених в таблиці 12.3:
а) точні відсотки з точним числом днів позики. Точне число днів позики можна визначити безпосередньо по календарю, але більш розповсюдженою є практика його визначення як різниці між порядковими номерами дня погашення і дня видачі позички (додаток А). У нашому прикладі tточн.=271-25=246 днів.
Розрахунки при цьому проводяться точно, без проміжних округлень, отримана наприкінці сума округляється до реальних грошових одиниць (наприклад, до копійок).
б) звичайні відсотки з точним числом днів позики:
в) звичайні відсотки з наближеним числом днів позики. Наближене число днів позики визначається, виходячи з припущення, що кожен місяць триває 30 днів. Розрахунок зручніше проводити в такий спосіб:
| - | дата погашення | = | - | 28.09 | ||
| дата видачі | 25.01 | |||||
| 3 дні+8 міс.*30 днів=3+240=243 дні | ||||||
FV=25000(1+ 
З розрахунку випливає: а) звичайні відсотки більші точних; б) наближене число днів позики, як правило, менше точного, тому що середня тривалість місяця дорівнює 
.
Завдання 2
Вексель виданий на суму 80 тис.грош.од. з погашенням його 15 жовтня 2006 року. Його власник врахував вексель у банку 5 вересня 2006 р. за простою дисконтною ставкою 24 % (АСТ/360). Визначте суму, отриману власником векселя і дисконт на користь банку.
Рішення:
Процедура врахування векселя полягає в тому, що банк або інша фінансова установа до настання терміну платежу за векселем викуповує його у власника за ціною, меншою, ніж зазначена у векселі, тобто купує (враховує) його з дисконтом. Банк, дочекавшись терміну погашення, отримає за векселем зазначену в ньому суму. Власник векселя одержує від банку гроші раніше обговореного терміну, але меншу суму. Дохід банку визначається як різниця між сумами погашення векселя і його викупу (дисконт). При дисконтуванні векселя відсотки нараховуються на суму, що підлягає сплаті наприкінці терміну його дії.
Таким чином, вирішується задача врахування векселя, тобто пряма задача з використанням простої облікової ставки. Так як дана фінансова операція носить короткостроковий характер, то формула, що міститься в таблиці 12.1, перетворюється до виду: 
.
Точне число днів позички (2006 рік невисокосний) визначаємо по таблиці порядкових номерів днів у році:
t=288-248=40 днів.
Таким чином, власникові векселя 5 вересня буде видано 78044,44 грош.од., а банк одержить за векселем 15 жовтня зазначені в ньому 80 тис. Дисконт на користь банку складе 80000-78044,44=1955,56 грош.од. З розрахункової формули випливає, що при 
> 
величина PV стає негативною і фінансова операція втрачає економічний сенс (у нашому прикладі 
року). Тому операція врахування векселів застосовується переважно в короткострокових угодах.
Завдання 3
Рахунок відкритий 25 лютого 2006 р. із внесенням на нього початкової суми 12 тис.грош.од. 30-го березня на рахунок внесено 8 тис.грош.од., а 15-го травня з рахунку знято 6 тис.грош.од. 25-го липня 2006 р. рахунок закритий. Визначте суму на рахунку на момент його закриття, якщо на залишок вкладу банк нараховує дохід з розрахунку 10 % річних.
Розв’язання:
На рахунок «до запитання» нарахування проводиться за ставкою простих відсотків, виходячи з точного числа днів позички і точного числа днів у році. У такому випадку сума нарахованих відсотків обчислюється за формулою:
.
Сума PVj змінюється в міру внесення на рахунок або зняття з рахунку коштів. У нашому прикладі вона в період з 25.02.2006 р. по 30.03.2006 р. (протягом 33 днів) складала 12 тис.грош.од., з 30.03.2006 р. по 15.05.2006 р. (46 днів) – 20 тис.грош.од., а з 15.05.2006 р. по 25.07.2006 р. (71 день) – 14 тис.грош.од. Отже, величина нарахованих відсотків складе
На момент закриття рахунку, таким чином, залишок коштів складе 14000+627,40=14627,40 грош.од..
Завдання 4
Визначте, як вигідніше розмістити капітал:
а) під просту процентну ставку 12,5% річних;
б) під складну процентну ставку 12,0% річних із щоквартальним нарахуванням відсотків;
в) під складну процентну ставку 11,8% річних із щомісячним нарахуванням відсотків.
Розв’язання:
Для порівняння прибутковості різних видів інвестицій проводять перерахунок прибутковості в ефективну ставку відсотків. Для випадку простих відсотків ефективна ставка відсотків дорівнює номінальній, тобто 12,5%. Для випадку складних відсотків розрахунок здійснюється за формулою еквівалентності номінальної й ефективної ставок (таблиця 12.5):
варіант а): i= j =0,125;
варіант б): 
);
варіант в): 
.
Отже, найбільш вигідним вкладенням коштів із запропонованих варіантів є розміщення під 12% річних з поквартальним нарахуванням відсотків.
Завдання 5
Визначте величину простої процентної ставки, еквівалентної річній простій дисконтній ставці 15%, якщо термін нарахування складає 135 днів для випадку АСТ/АСТ.
Розв’язання:
З таблиці 12.5 вибираємо необхідне рівняння еквівалентності:
.
Облік за ставкою 15% при заданому терміні дає той же фінансовий результат, що і нарощення за ставкою 15,88%.