Каноническое распределение
КВАНТОВАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Квантовая статистическая физика изучает системы из большого числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики:
электронный газ металла;
электроны и дырки в полупроводнике;
электромагнитное тепловое излучение в полости;
фононы в кристалле;
газ атомов при низкой температуре.
Учитываются квантовые свойства:
дискретность спектра энергии пространственно ограниченной
системы;
вырождение состояний по энергии;
тождественность микрочастиц;
принцип запрета Паули для фермионов.
Рассматриваются системы из множества частиц одинаковой природы, образующих идеальный газ:
объем, занятый системой, гораздо больше объема частиц;
частицы двигаются независимо друг от друга;
частицы не взаимодействуют между собой на расстоянии.
Физические свойства многочастичной системы определяются ее энергетическим спектром и распределением частиц по уровням энергии.
Плотность состояний
Энергетический спектр системы зависит от природы частиц и области пространства, занятой частицами. Чем больше объем пространства, тем меньше расстояние между уровнями энергии. При макроскопическом объеме системы ее спектр квазинепрерывный. Энергетический спектр характеризуется плотностью состояний – числом состояний в единичном интервале энергии
. (3.3)
Число состояний с энергией в интервале 
(3.3а)
получим, используя объем фазового пространства системы и объем, занимаемый одним состоянием, с учетом вырождения состояний по энергии.
Число частиц в интервале энергии равно произведению числа состояний 
на среднее число частиц 
в одном состоянии
. (3.10)
Кратность вырождения. Одним из квантовых чисел частицы является проекция спина S, число разных проекций 2S + 1. При отсутствии магнитного поля эти состояния имеют одинаковую энергию, тогда кратность вырождения
.
Для электрона 
и 
. Для фотонного газа , несмотря на спин 
. Теория относительности запрещает для фотона, движущегося со скоростью света, направление спина перпендикулярное к скорости, тогда остаются проекции по- и против скорости.
Плотность состояний. Условие квантования Бора–Зоммерфельда дает наименьший объем фазового пространства одномерного движения, занимаемый одним состоянием:
.
Бесспиновое состояние с одной степенью свободы занимает фазовый объем, равный постоянной Планкаh. Состояние частицы с f степенями свободы занимает объем 
, тогда в элементе фазового объема 
находится число состояний
. (3.4)
Из (3.3) 
получаем плотность состояний
, (3.5)
где 
– приращение объема фазового пространства при увеличении энергии на единицу. Величина
является объемом фазового пространства, ограниченным гиперповерхностью с полной энергией ε. Для вычисления 
используем связь полной энергии частицы с импульсами и координатами.
Если отсутствует внешняя сила, действующая на частицу, то ее энергия ε не зависит от положения частицы в объеме 
, занятым системой. Интегрируем по координатам, и получаем
,
тогда
. (3.5а)
Для вычисления объема импульсного пространства 
, ограниченного гиперповерхностью с полной энергией ε, требуется знать соотношение между энергией и импульсом частицы.
Квадратичная зависимость энергии от импульса для f-мерного движения
, (3.6)
где U не зависит от координат 
. Согласно (3.6) все координаты импульсного пространства 
, где 
, равноправные. Состояние с полной энергией e находится в импульсном пространстве на f-мерной сфере радиусом
.
Объем f-мерного шара находим из (П.2.1)
.
Подставляем в (3.5а)
и получаем
. (3.7)
Плотность состояний определяется кинетической энергией частицы 
.
Трехмерный газ. При 
из (3.7) находим
, (3.8)
где
.
В интервале энергии находится число состояний
. (3.9)
Для классического идеального трехмерного газа 
, 
и из (3.8) получаем известную ранее формулу
. (3.8а)
Двухмерный газ в слое. Полупроводниковая гетероструктура содержит слой 
толщиной 
с запрещенной зоной шириной 
. Снаружи находятся слои 
с запрещенной зоной 
. В зоне проводимости образуется потенциальная яма глубиной до 0,4 эВ с энергетическими уровнями, или зонами 
. Электроны этих зон движутся свободно в плоскости 
слоя , образуя двухмерный газ. Ось z перпендикулярна слою.
Энергию частицы в слое отсчитываем от дна потенциальной ямы
,
где 
и 
– любые, 
– квантуется. Для бесконечно глубокой ямы шириной L волновая функция равна нулю на стенках слоя. В яме укладывается целое число n полуволн де Бройля
.
В результате квантуются проекция импульса на ось z и энергия частицы
,
,
. (П.8.3)
Сравниваем (П.8.3) с (3.6)
,
находим
, 
.
Используем (3.7)
,
учитываем , 
и получаем плотность состояний на уровне энергии n
. (П.8.4)
Уровень, который может занять частица, называется активизированным. В двухмерной системе плотность состояний активизированного уровня не зависит от его энергии. Число уровней 
, активизированных до энергии 
, находим из (П.8.3)
.
В плотность состояний частиц с энергией в интервале от 0 до ε вносят вклад все активизированные уровни. В результате плотность состояний электронного газа с энергией ε
, (П.8.4а)
где Н – функция Хевисайда. На рисунке пунктирная кривая – 
. С ростом энергии плотность состояний увеличивается скачком на величину g1 каждый раз, когда энергия частицы достигает разрешенного уровня, и частицы начинают его заполнять, увеличивая продольный импульс. В точке перехода на очередной уровень продольный импульс 
обращается в нуль, поперечный импульс скачком увеличивается на 
.
Плотность состояний в слое
Активизированные уровни ( 
).
Тонирована область импульсного пространства, занятого частицами.
Одномерный газ в нити. Ось z направляем вдоль нити. Поперечный импульс частицы квантуется, импульс продольного движения может быть любым. Энергия
, (П.8.5)
где 
– уровни энергии поперечного движения с квантовыми числами 
Сравниваем (П.8.5) с (3.6)
,
находим
, 
.
Используем (3.7)
,
учитываем , 
, и получаем плотность состояний активизированного уровня
.
В плотности состояний с энергией от 0 до ε суммируются вклады всех активизированных уровней. Для энергии ε получаем
. (П.8.6)
Неоднородность поперечного сечения нити приводит к уширению уровней энергии и к конечным значениям плотности состояний при 
, как показано точечной кривой на рисунке.
Нульмерный газ в квантовой точке(КТ). КТ является полупроводниковым нанокристаллом с поперечником L ~ (1 – 100) нм во внешней среде с близким значением постоянной решетки и бóльшей шириной запрещенной зоны. КТ является потенциальной ямой с энергетическим спектром 
, с числом уровней ~ (2 – 3). Расстояние между уровнями
относительно велико за счет малости L. При нормальной температуре тепловая энергия относительно мала
и электроны занимают низшие состояния. Это обеспечивает температурную стабильность КТ. Расстояние между КТ ~ 100 нм. Электроемкость КТ мала
,
поэтому добавление электрона 
существенно изменяет потенциал 
и коэффициент прохождения через КТ. Второй электрон не может попасть в КТ благодаря кулоновскому отталкиванию, возникает кулоновская блокада. Электрон может двигаться через КТ за счет туннельного эффекта.
При увеличении энергии электрона, когда она переходит через очередной уровень 
, число состояний N(e) возрастает на величину, равную кратности вырождения 
уровня, тогда
.
Используя (3.3)
,
,
находим плотность состояний в КТ:
. (П.8.7)
Неоднородность микроскопического поперечного сечения КТ приводит к уширению уровней энергии и к конечным значениям плотности состояний при .
Фотонный газ в полости. Имеется замкнутая полость объемом V, наполненная множеством квантов электромагнитных волн, созданных тепловым движением микрочастиц стенок полости.
Теория относительности допускает у кванта со спином 
, движущегося со скоростью света, две проекции спина – по и против скорости. Поэтому электромагнитная волна поперечная, имеет две независимые поляризации,
, .
Излучение в полости распределено равномерно по ее объему V и по направлениям движения в пределах полного телесного угла 
. Элемент фазового объема кванта в сферических координатах по импульсу
.
Интегрируем по объему полости и по направлениям вектора импульса. Получаем фазовый объем, занятый фотоном с модулем импульса в интервале 
:
.
Модуль импульса выражаем через энергию, используя закон дисперсии релятивистской частицы:
,
получаем фазовый объем, занятый фотоном с энергией в интервале 
:
.
Находим число состояний (3.4)
в интервале энергии
,
где плотность состояний
. (П.8.9)
Замена 
дает
,
. (П.8.9а)
Фононный газ атомного кристалла в модели Дебая. Фононы – кванты упругих волн в кристалле. Существует три типа поляризации акустической волны в кристалле – два поперечных и один продольный. Волне в кристалле с частотой ω соответствует квант энергии
.
Связь импульса фонона с энергией зависит от типа кристалла и интервала частот. Для низких частот используется модельДебая, описывающая акустическую ветвь спектра упругих колебаний, где импульс фонона линейно зависит от частоты аналогично импульсу фотона
,
где i = 1, 2, 3 – тип поляризации волны; 
– скорость волны. Для продольных волн 
аналогично фотонному газу находим
, ,
.
Для числа состояний и плотности состояний получаем
,
.
Аналогичные выражения имеем для поперечных волн 
. Состояния независимые, поэтому результирующая плотность состояний
.
Вводим среднюю скорость звука v
,
и получаем
, (П.8.10)
. (П.8.11)
Каноническое распределение