ГАЗ ГАРМОНИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
Идеальный газ состоит из двухатомных молекул, являющихся линейными гармоническими осцилляторами, колеблющимися с частотой w. Найдем статистическую сумму и среднюю энергию одной частицы при температуре T , и теплоемкость колебательного движения.
Для линейного гармонического осциллятора используем
, 
, 
Подстановка в статистическую сумму частицы (3.15)
дает
,
где относительная температура
;
эффективная температура колебаний
.
Чем меньше масса атомов, тем выше частота их колебаний и больше эффективная температура
, 
, 
.
По формуле геометрической прогрессии
, 
,
,
получаем
, (П.9.1)
Вероятность состояния n находим из (3.14)
.
Используем (П.9.1) и
,
,
получаем
.
Вероятность состояния экспоненциально убывает с увеличением номера состояния n.
Средняя энергия осциллятора следует из (3.17б)
.
Используем
, 
,
,
С учетом
,
,
,
получаем
. (П.9.2)
Средний номер активизированного состояния при температуре T. Усредняем
,
находим
,
,
Подставляем (П.9.2)
,
получаем средний номер активизированного состояния
. (П.9.2а)
Уровни эквидистантные с шагом 
, уровню n соответствует n квантов энергии , поэтому 
есть среднее число квантов энергии в одном состоянии при температуре Т.
При низкой температуре 
, где 
, получаем
,
при высокой температуре 
.
Колебательная теплоемкость молекулы
.
Используем (П.9.2)
,
получаем
. (П.9.2б)
При высокой температуре , где , в (П.9.2)
экспоненту разлагаем в ряд и оставляем первые три слагаемые
,
тогда
.
При высокой температуре колебательная теплоемкость частицы
не зависит от температуры и квантовая статистика переходит в классическую, что подтверждает условие (3.2) применимости классического описания.
При низкой температуре , 
в (П.9.2б)
пренебрегаем единицей в знаменателе и получаем
.
При 
находим 
, и выполняется третье начало термодинамики – теплоемкость обращается в нуль при . Это противоречит теореме классической физики о равном распределении энергии по степеням свободы.
ГАЗ ЧАСТИЦ С МАГНИТНЫМИ МОМЕНТАМИ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Идеальный газ N электронов со спином 
и магнитным моментом 
находится в объеме V при температуре T в магнитном поле В. Проекции спина S и магнитного момента
на направление поля квантуются. Энергия магнитного момента в магнитном поле
получает значения
, 
.
Учтем распределение частиц по уровням энергии.
Статистическую сумму для магнитных состояний частицы находим из (3.15)
.
Вырождение отсутствует , тогда
, (П.9.11)
где относительная магнитная энергия
.
Вероятности состояний (3.14а)
равны
, 
.
Средняя энергия электрона
. (П.9.12)
Намагниченность системы. Средняя проекция магнитного момента электрона
. (П.9.13)
В сильном поле 
, 
, 
,
,
возникает насыщение – все магнитные моменты выстраиваются по полю.
В слабом поле 
, 
,
.
Магнитный момент системы N частиц
.
Система частиц со спином 1/2 проявляет парамагнитные свойства – установил В. Паули в 1926 г. Полученные результаты
, 
являются следствием 
– вероятность основного состояния больше вероятности возбужденного состояния.
В классическом пределе при 
получаем 
, что соответствует теореме Бора–Ван-Левен – классическая система не проявляет магнитных свойств.
Магнитный момент единицы объема, т. е. намагниченность системы во внешнем поле согласно (П.9.13) равна
, (П.9.13а)
где 
– концентрация электронов.
Магнитная восприимчивость
.
С учетом
, 
получаем
.
Магнитная восприимчивость увеличивается при понижении температуры и при увеличении концентрации частиц.
Классическому пределу соответствует
,
что согласуется с теоремой Бора–Ван-Левен.
Магнитное охлаждение. Если поле изменяется адиабатически, то есть настолько быстро, что теплообмена с окружающей средой не происходит, то сохраняются заселенность уровней и средняя проекция магнитного момента (П.9.13)
.
Следовательно, изменяется температура магнетика
. (П.9.13б)
Адиабатическое уменьшение магнитного поля охлаждает систему. Это объясняется тем, что снижение магнитного поля увеличивает среднюю магнитную энергию частицы (П.9.12)
.
Поскольку теплообмена с окружением не происходит, то это оттягивает часть тепловой энергии системы к магнитным моментам, в результате тепловое движение ослабевает.
Метод магнитного охлаждения на основе парамагнитных солей (сульфат гадолиния, хромокалиевые квасцы) предложили Петер Дебай и Уильям Джиок в 1926 г. Метод применяется для получения температур от 0,3 К до 5×10–3 К. При меньшей температуре становится существенным взаимодействие между магнитными моментами, выстраивающее их параллельно друг другу, и они становятся зависимыми.
Самопроизвольная намагниченность. У намагниченной системы магнитные моменты выстроены параллельно и создают магнитное поле
.
Система может увеличивать это поле самопроизвольно. Борис Львович Розинг в 1892 г. и Пьер Вейсс в 1907 г. предложили в выражении для магнитного момента единицы объема (П.9.13а)
добавить собственное поле к внешнему намагничивающему полю 
, тогда намагниченность системы
.
При отсутствии внешнего поля 
получаем для M нелинейное уравнение
.
Замена 
дает
, (П.9.14)
где
(П.9.15)
– критическая температура Кюри.
При 
функция 
растет медленнее x, поэтому при температуре выше критической 
равенство (П.9.14) не выполняется. Остается лишь решение 
. Следовательно, при достаточно высокой температуре спонтанная намагниченность отсутствует.
При температуре ниже критической 
уравнение (П.9.14) имеет не равные нулю решения и система самопроизвольно намагничивается. Происходит фазовый переход второго рода – изменяется внутренняя симметрия системы, появляется ферромагнитное состояние в виде спонтанно намагниченных областей – доменов или полей Вейсса. При малых x используем 
и (П.9.14) получает вид
,
откуда
.
С учетом
находим спонтанную намагниченность
. (П.9.16)
Она достигает максимума при
.
Сравнение (П.9.15) и (П.9.16) с экспериментом, дает 
. Магнитное поле не может создать столь сильного взаимодействия магнитных моментов. Яков Ильич Френкель и независимо Вернер Гейзенберг показали в 1928 г., что электростатическое взаимодействие между электронами атомов сопровождается квантовым обменным взаимодействием, существенно превышающим магнитное взаимодействие, и этим объясняется спонтанная намагниченность ферромагнетика.