Расширение понятия о числе
Задание 1.Вместо многоточия поставьте нужные слова: «Обыкновенной дробью называется … , … в виде 
, где р – числитель дроби, п – ее знаменатель»
1. пара чисел (р; п), записанных;
2. два натуральных числа р и п, записанных;
3. упорядоченная пара натуральных чисел, записанная;
4. любые два числа, записанные.
Задание 2.Как от меры перейти к отрезкам?
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Задание 3.Какой закон сложения положительных рациональных чисел позволяет опускать равные слагаемые в неравенствах?
1. коммутативный; 2. ассоциативный; 3. сократимость; 4. монотонность.
Задание 4.Какое арифметическое действие разрешимо на множестве Q+, а на множестве N выполнимо не всегда?
1. вычитание; 2. деление; 3. сложение; 4. умножение.
Задание 5.Вместо многоточия поставьте нужный знак: 
1. >; 2. =; 3. <; 4. 
Задание 6.Как называется обыкновенная дробь, знаменатель которой является степенью числа 10 с натуральным показателем?
1. десятичной; 2. неправильной; 3. правильной; 4. сократимой.
Задание 7.Как называют замену обыкновенных дробей равносильными им дробями с одинаковыми знаменателями?
1. сокращением дробей;
2. умножением дробей;
3. приведением к общему знаменателю;
4. у этой операции нет названия.
Задание 8.Дано высказывание: 
. Как называется этот закон?
1. коммуникативный закон сложения;
2. ассоциативный закон сложения;
3. рефлексивность сложения;
4. коммутативный закон сложения.
Задание 9.Чему равна следующая разность 
?
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
Задание 10.Найдите значение частного: 
.
1. 64; 2. 
; 3. 8; 4. 
.
Задание 11. Как записать определение равных положительных рациональных чисел математическими символами?
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Задание 12.Какая операция неразрешима на множестве положительных рациональных чисел?
1. деление; 2. сложение; 3. вычитание; 4. умножение.
Задание 13.Как называются числа, которые можно записать бесконечной десятичной дробью?
1. натуральными; 2. положительными рациональными;
3. положительными иррациональными; 4. положительными действительными.
Задание 14.Закончите правило: «Чтобы произведение разделить на число, достаточно один из множителей разделить на это число и полученное частное …»
1. разделить на другой множитель;
2. умножить на второй множитель;
3. умножить на другой множитель;
4. разделить на первый множитель.
Задание 15.Закончите правило вычитания числа из суммы: 
1. 
, если 
; 2. 
, если 
;
3. 
; 4. 
.
Задание 16.На чем основано приведение дробей к общему знаменателю?
1. определение обыкновенной дроби;
2. основное свойство дроби;
3. критерий равносильности дробей
4. на правиле сложения обыкновенных дробей.
Задание 17.Какое множество является расширением множества положительных рациональных чисел?
1. множество натуральных чисел;
2. множество целых чисел;
3. множество положительных иррациональных чисел;
4. множество положительных действительных чисел.
Задание 18. Какие из следующих записей не являются обыкновенными дробями: 
(считая слева направо)?
1. вторая, третья и четвертая;
2. четвертая;
3. первая;
4. вторая и третья.
Задание 19. Какая из следующих десятичных дробей равносильна дроби 
?
1. 1,4(16); 2. 1,041(6); 3. 1,41(6); 4. 1,401(16)
Задание 20. Определите вид десятичной дроби, которая равносильна дроби 
1. конечная; 2. чисто периодическая; 3. смешанно периодическая; 4. правильная.
Задание 21.Представьте число в виде несократимой обыкновенной дроби: 7,2(3).
1. 
; 2. 
; 3. 
; 4. 
.
Задание 22. Значение выражения 
является:
1. обыкновенной дробью;
2. неотрицательным целым числом;
3. положительным иррациональным числом;
4. отрицательным целым числом.
Задание 23.Сколько цифр содержит предпериод десятичной дроби, равносильной обыкновенной дроби 
?
1. 3;
2. 2;
3. 1;
4. это чисто периодическая дробь, у нее нет предпериода.
Задание 24.Выберите из следующих дробей наименьшую: 
; 2,0(6); 2,0(06); 2,(006); 2,00(6).
1. ; 2. 2,0(6); 3. 2,(006); 4. 2,0(06).
Задание 25.Какие из данных чисел равны?
1. 7,34 и 
; 2. 
и 2,(571428); 3. 3,272727… и 3,2772772…; 4. 0,857143… и 
.
Задание 26. Длину прямоугольника уменьшили на 40%, а ширину увеличили на 40%. Установите, как при этом изменилась площадь этого прямоугольника?
1. увеличилась на 84%; 2. уменьшилась на 16%; 3. не изменилась; 4. увеличилась на 16 %
Программа зачета
3 курс (VI семестр)
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.
Проверяется знание студентом основных определений, формулировок теорем, свойств отношений раздела «Расширение понятия о числе» в соответствии со следующим списком тем:
1. Задачи и принципы расширения числовых множеств.
2. Требования к построению множества положительных рациональных чисел.
3. Вывод понятия обыкновенной дроби. Равенство дробей.
4. Теорема о том, что длину одного и того же отрезка можно выразить различными обыкновенными дробями. Основное свойство дроби. Применение основного свойства в математике.
5. Отношение равносильности обыкновенных дробей, его свойства и вид.
6. Доказательство критерия равносильности обыкновенных дробей.
7. Понятие положительного рационального числа.
8. Выполнимость отношения: N 
Q+.
9. Теорема о том, что любые два положительных рациональных числа можно представить обыкновенными дробями с одинаковыми знаменателями.
10. Правило сложения обыкновенных дробей. Алгоритм сложения ПРЧ.
11. Существование и единственность суммы положительных рациональных чисел.
12. Законы сложения во множестве Q+. Доказательство коммутативности и ассоциативности.
13. Правило вычитания обыкновенных дробей. Алгоритм вычитания ПРЧ.
14. Существование и единственность разности положительных рациональных чисел.
15. Законы вычитания во множестве Q+. Доказательство правил вычитания числа из суммы и суммы из числа.
16. Правило умножения обыкновенных дробей. Алгоритм умножения ПРЧ.
17. Существование и единственность произведения положительных рациональных чисел.
18. Законы умножения во множестве Q+. Доказательство ассоциативности и дистрибутивности умножения относительно сложения или вычитания.
19. Правило деления обыкновенных дробей. Алгоритм деления ПРЧ.
20.Существование и единственность частного положительных рациональных чисел.
21.Законы деления во множестве Q+. Доказательство дистрибутивности деления относительно сложения, а также правил деления числа на произведение и произведения на число.
22. Отношение «больше (меньше)» во множестве Q+, его свойства и вид.
23. Свойства множества Q+. Доказательство упорядоченности, отсутствия наибольшего (наименьшего) положительного рационального числа, плотности.
24. Теорема о существовании несоизмеримых отрезков. Понятие положительного иррационального числа.
25. Понятие положительного действительного числа. Множество R+.
26. Приближения по недостатку и по избытку положительного действительного числа. Действия над положительными действительными числами.
27. Отношение порядка во множестве положительных действительных чисел. Свойства множества R+. Геометрическая интерпретация множества R+.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ (примерные задания для решения на зачете)
1). Докажите, что:
- разность квадратов двух последовательных четных натуральных чисел делится на 4;
- если натуральные числа a и b при делении на 7 дают один и тот же остаток, то разность квадратов этих чисел делится на 7;
- разность квадратов двух последовательных натуральных чисел есть число нечетное;
- произведение двух последовательных четных натуральных чисел кратно 8;
- если одно из натуральных чисел при делении на 5 дает остаток 3, а другое – остаток 1, то сумма их квадратов делится на 5.
2). Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа n истинно следующее утверждение:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
3). Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 1035 и 851; б) 1295 и 2035; в) 1242 и 1248; г) 2035 и 925.
4). Является ли число 221 (191, 199, 203, 227) простым?
5). Не находя значения выражения, установите, верно ли что:
а) (28242 + 52020 + 54) 
18; б) (321 . 102 . 35) 45; в) (46 3 – 46 2) 45;
г) (123 . 702 . 25) 45; д) (27 9 + 27 10) 28 ?
6). Представив числа в каноническом виде, найдите их НОД и НОК:
а) 600 и 630; б) 600 и 1050; в) 1050 и 2205;
г) 2600 и 1820; д) 2205 и 1350.
7). Сократите дроби: 
; 
; 
; 
. Выберите, какие из этих дробей удобнее сократить по алгоритму Евклида, какие – по каноническому виду числа.
8). Найдите дробь, равносильную дроби 
и имеющую знаменатель 111111.
9). Докажите, что при любом натуральном значении а следующие дроби несократимы:
а) 
; б) 
.
10). Сумму чисел 
и 
уменьшите на 
. Найдите три способа выполнения этого задания. Каким законом вычитания пользовались?
11). Какое из чисел ближе к единице: 
или 
?
12). Решите уравнение, используя зависимости между компонентами и результатами действий:
а) 
б) 
.
13). Какие цифры можно поставить вместо *, чтобы получилась правильная несократимая дробь: а) 
; б) 
?
14). Решите задачу алгебраическим методом: «Числитель данной дроби на 4 больше знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 4, а знаменатель умножить на 2, то получится дробь меньше первой на 1. Найдите первоначальную дробь».
15). Найдите рациональный способ вычисления значения выражения: 
16). Найдите и обоснуйте наиболее рациональный способ нахождения значения выражения:
1) 8,3 + 3,85 +9,7 + 5,15 + 2,25 + 0,125; 2) 
.
17). Запишите в виде обыкновенной дроби: 0,(301); 
; 
; 5,7(27); 6,31(8); 15,43(29).
18). Докажите, что 0,27(9) = 0,28(0).
19). Сравните выражения:
а) 
и 
; б) 
и 
; в) 
и 
20). Определите вид десятичной дроби, соответствующей данной обыкновенной:
а) 
; б) 
; в) 
.
21). Расположите дроби в порядке возрастания, используя прием поразрядного сравнения: 
; 0,3(88); 0,(38); 0,(388); 0,388.
22).Решите задачи, не применяя уравнений:
- Группа туристов наметила пройти путь от турбазы до озера за четыре дня. В первый день она наметила пройти 
всего пути, во второй день - 
оставшегося, а в третий и четвертый проходить по 12 км. Какова длина всего пути?
- В колхозном саду сливовые деревья составляют 1/6 всего количества плодовых деревьев, яблони 8/15, а остальные 360 деревьев грушевые. Сколько плодовых деревьев в колхозном саду?
- Из двух пунктов, расстояние между которыми 340 км, вышли одновременно навстречу друг другу два электропоезда. Скорость одного из них была на 5 км/ч больше скорости другого. С какой скоростью шли поезда, если известно, что через 2 часа после начала движения им оставалось пройти до встречи 30 км?
- Расстояние между совхозом и городом, равное 170 км, мотоциклист приехал за 5 часов. Первые два часа он ехал со скоростью, на 10 км/ч большей, чем на остальной части пути. Какой была скорость мотоциклиста на первой и на второй частях пути?
17. Выполните действия: ((0,(06) + 1/3) : 0,25) : (0,12(3) : 0,0925) + 12,5 . 0,64.
18. Повторите упражнения, которые были решены во время шестого семестра.
ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА
3 курс (VI семестр)
1. Задачи и принципы расширения числовых множеств.
2. Требования к построению множества положительных рациональных чисел.
3. Вывод понятия обыкновенной дроби. Равенство дробей.
4. Теорема о том, что длину одного и того же отрезка можно выразить различными обыкновенными дробями. Основное свойство дроби. Применение основного свойства в математике.
5. Отношение равносильности обыкновенных дробей, его свойства и вид.
6. Доказательство критерия равносильности обыкновенных дробей.
7. Понятие положительного рационального числа.
8. Выполнимость отношения: N Q+.
9. Теорема о том, что любые два положительных рациональных числа можно представить обыкновенными дробями с одинаковыми знаменателями.
10. Правило сложения обыкновенных дробей. Алгоритм сложения ПРЧ.
11. Существование и единственность суммы положительных рациональных чисел.
12. Законы сложения во множестве Q+. Доказательство коммутативности и ассоциативности.
13. Правило вычитания обыкновенных дробей. Алгоритм вычитания ПРЧ.
14. Существование и единственность разности положительных рациональных чисел.
15. Законы вычитания во множестве Q+. Доказательство правил вычитания числа из суммы и суммы из числа.
16. Правило умножения обыкновенных дробей. Алгоритм умножения ПРЧ.
17. Существование и единственность произведения положительных рациональных чисел.
18. Законы умножения во множестве Q+. Доказательство ассоциативности и дистрибутивности умножения относительно сложения или вычитания.
19. Правило деления обыкновенных дробей. Алгоритм деления ПРЧ.
20.Существование и единственность частного положительных рациональных чисел.
21.Законы деления во множестве Q+. Доказательство дистрибутивности деления относительно сложения, а также правил деления числа на произведение и произведения на число.
22. Отношение «больше (меньше)» во множестве Q+, его свойства и вид.
23. Свойства множества Q+. Доказательство упорядоченности, отсутствия наибольшего (наименьшего) положительного рационального числа, плотности.
24. Теорема о существовании несоизмеримых отрезков. Понятие положительного иррационального числа.
25. Понятие положительного действительного числа. Множество R+.
26. Приближения по недостатку и по избытку положительного действительного числа. Действия над положительными действительными числами.
27. Отношение порядка во множестве положительных действительных чисел. Свойства множества R+. Геометрическая интерпретация множества R+.
28. Числовая функция, ее область определения и множество значений. Способы задания функции. График функции.
29. Прямая пропорциональность, линейная зависимость, их свойства и график.
30. Обратная пропорциональность, ее свойства и график.
31. Квадратичная функция, ее свойства и график.
32. Числовое выражение и его значение. Правила выполнения действий в числовом выражении.
33. Числовые равенства и неравенства и их свойства (с доказательством).
34. Выражение с переменной, его область определения. Тождественные преобразования выражений. Тождество.
35. Уравнения с одной переменной, его область определения, решение.
36. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений (с доказательством).
37. Неравенство с одной переменной, его область определения и решение.
38. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств (с доказательством).
39. Уравнение линии. Уравнение окружности.
40. Система уравнений с двумя переменными. Графическое решение системы уравнений.