Числовые (точечные) характеристики
Вероятностные характеристики результатов измерений являются наиболее полными, но не всегда удобны, а также не всегда достижимы, т.к. для их получения необходимо большое число экспериментальных данных. Поэтому чаще используют числовые характеристики через начальные и центральные моменты.
Начальные моменты получают усреднением значений относительно начала координат по правилу:
= 
, (3.7)
где r – номер (порядок) момента;
х – случайная величина (результат измерений).
Первый начальный момент характеризует математическое ожидание отсчета при бесконечном повторении процедуры сравнения (измерения):
М(х)= 
(3.8)
Для дискретных результатов измерений:
М(х) » 
= 
(3.9)
где - среднее арифметическое значение;
хί - ί-й результат измерений;
Pί - вероятность появления ί-го результата;
n - число результатов измерений;
Pί= 
(3.10)
где mί - абсолютная частота ί-го результата.
Тогда
(3.11)
М(х) так же как характеризует центр группирования результатов многократных измерений.
Центральные моменты получают усреднением значений относительно центра распределения, т.е. относительно математического ожидания или среднего арифметического значения, по правилу:
(3.12)
Второй центральный момент называется дисперсией D(х) и характеризует разброс экспериментальных данных относительно центра распределения.
D(x)= 
(3.13)
Для дискретных величин
D(x)= 
(3.14)
Часто в качестве характеристики разброса результатов измерений используется среднее квадратическое отклонение (СКО)- 
:
(3.15)
-является смещенной оценкой СКО.
Если из общего числа данных при усреднении исключается одно значение, совпадающее с центром распределения, то такая оценка СКО является несмещенной:
(3.16)
Если каждый из результатов измерений встречается не более одного раза, то соответственно числовые характеристики определяются по формулам:
- среднее арифметическое значение:
; (3.17)
- СКО:
(3.18)
Упрощенный расчет дисперсии можно выполнить по свойству дисперсии:
D(x)=M(x2)-M2(x) (3.19)
Третий центральный момент 
используется для характеристики асимметричности кривой распределения плотности вероятности. Асимметрия определяется по формуле:
m= 
(3.20)
Четвертый центральный момент 
используется для расчета эксцесса, характеризующего заостренность кривой распределения плотности вероятности:
ν 
(3.21)
Характеристики с использованием центральных моментов приведены на рисунке 3.4.
К числовым характеристикам также относятся мода и медиана. Модой Мо называется наиболее вероятное значение результата измерений. Мода соответствует абсциссе точки максимума кривой распределения плотности вероятности, как показано на рисунке 3.5.
Медиана Мl –это значение результата измерений, относительно которого равновероятно, что результат измерений окажется меньше или больше медианы:
Р(х < Мl)=Р(х > Мl)=0,5 (3.22)
На рисунке 3.5 медианой является значение абсциссы перпендикуляра к оси абсцисс, относительно которого площадь под кривой распределения плотности вероятности делится пополам.
Для симметричных распределений все три характеристики – математическое ожидание, мода и медиана - совпадают.
Рисунок 3.4 - Числовые характеристики результатов измерений
а).СКО и эксцесс; б).асимметрия
Рисунок 3.5 – Математическое ожидание, мода, медиана