МІНІСТЕРСТВО освіти і науки УКРАЇНИ Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна
 |
Кафедра «Теплотехніка»
ПЛАНУВАННЯ ТЕПЛОТЕХНІЧНОГО ЕКСПЕРИМЕНТУ
Методичні вказівки до рішення задач на практичних заняттях
Укладач В. О. Іщенко
для студентів V курсу денної форми навчання та VI курсу центру дистанційної освіти спеціальності 7(8).05060101 «Теплоенергетика»
Дніпропетровськ – 2013
УДК 519.24.001
Укладач
Іщенко Володимир Олексійович
Рецензенти:
канд. фіз.-мат. наук, доц. В. Л. Борщ (ДНУ ім. О. Гончара)
канд. техн. наук, доц. В. М. Горячкін (ДІІТ)
Планування теплотехнічного експерименту [Текст] : методичні вказівки до рішення задач на практичних заняттях / уклад. В. О. Іщенко; Дніпропетр. нац. ун-т залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна. – Д. : Вид-во Дніпропетр. нац. ун-ту залізн. трансп. ім. акад. В. Лазаряна, 2013, 20 с.
Методичні вказівки містять практичні завдання з дисципліни “Планування теплотехнічного експерименту” та рекомендації щодо їх виконання. Призначені для студентів денної та заочної форми навчання, можуть бути використані під час виконання дипломних проектів та магістерських робіт.
Табл. 9. Бібліогр.: 3 назв.
| Ó | Іщенко В. О., укладання, 2013 |
1. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
Найважливішим завданням математичної статистики є статистична обробка випадкових величин, яка полягає у встановленні закону розподілу ймовірностей та визначенні основних статистичних характеристик – середнього значення, середньоквадратичного відхилення та надійних інтервалів.
Перелік теоретичних законів розподілу ймовірностей, які найчастіше використовуються, наведено в [1]. Для перевірки відповідності емпіричного розподілу ймовірностей теоретичному застосовується 
критерій Пірсона [2]. В загальному випадку пошук теоретичного закону пов’язаний із значним обсягом обчислень, які можуть бути виконані в середовищі Exel, MathCAD, MathLab, STATISTICA та ін. В цих методичних вказівках для практичних завдань використовуються вибірки, які заздалегідь відповідають нормальному закону.
1.1. Попередня статистична оцінка
У загальному випадку попередня статистична обробка випадкових величин, які представлені вибіркою xi, i=1,…,n,складається з таких етапів:
1) знаходять мінімальний та максимальний елементи вибірки 
та 
;
вибіркове середнє
не зсунену вибіркову дисперсію
не зсунене середньоквадратичне відхилення
кількість інтервалів гістограми
, [z] ціла частка від z;
розмах вибірки
крок гістограми
2) будують гістограму: для цього по осі х відрізок від до 
розбивають на k інтервалів із кроком 
, підраховують емпіричні частоти, 
тобто кількість елементів вибірки, що потрапили в кожний із інтервалів, та наносять на графік.
В загальному випадку проводять аналіз результатів попередньої статистичної обробки й на його основі підбирають один або кілька теоретичних законів розподілу випадкових величин. При цьому беруть до уваги величину розмаху вибірки, гістограму та інші неформальні міркування.
1.2. Розрахунок параметрів нормального розподілу
Щільність розподілу за нормальним законом 
має такий математичний вигляд
, (1.1)
де 
математичне сподівання випадкової величини;
середньоквадратичне відхилення.
Надійний інтервал для математичного сподівання розраховується за формулою [2]
(1.2)
де 
ймовірність того, що 
знаходиться в надійному інтервалі;
функція Лапласа, число 
знаходиться з виразу 
(табл. Д.1); 
стандартне значення надійності.
Практичне завдання № 1
Вихідні дані до завдань наведено в табл. 1.1. Номер варіанта відповідає порядковому номеру студента в журналі викладача. Завдання полягає в такому:
1) виконати попередню статистичну обробку та побудувати гістограму;
2) побудувати теоретичну щільність розподілу ймовірностей згідно з формулою (1.1);
3) розрахувати надійні інтервали для математичного сподівання.
Таблиця 1.1
Вихідні дані до практичного завдання № 1
| Номер варіанта | Обсяг вибірки | Вибірки |
| 30; 41; 51; 61; 72; 81; 95; 55; 64; 53; 45; 48; 74; 62; 62; 72; 72; 74; 88; 99; 86; 75; 78; 63; 64; 56; 58; 65; 76; 66; 78; 67; 59; 68; 69 | ||
| 400; 511; 602; 781; 812; 915; 682; 784; 533; 631; 622; 710; 825; 999; 544; 623; 745; 736; 668; 665; 555; 638; 744; 687; 655; 658; 576: 648: 777; 586: 642; 783; 659; 792 | ||
| 40,5; 51,4; 68,1; 72,4; 81,2; 95,3; 100,6; 43,5; 45,6: 52,2: 59,1: 71,4: 74,6; 52,2; 63,4; 76,3; 84,3; 87,6; 88,2; 53,3; 65,5; 76,4; 77,2; 77,1; 79,3; 66,2; 66,9; 66,6; 66,3; 77,8; 67,1; 67,3: 68,1; 68,6; 68,3; 54,2; 65,7; 78,3; 68,3; 69,4 | ||
| 3,12; 4,51; 5,21; 6,31; 7,21; 8,01; 9,51; 3,52; 4,42; 5,31; 4,51; 4,82; 5,42; 6,21; 6,22; 7,25; 7,22, 7,24; 8,38; 9,92; 8,62; 7,51; 7,81; 6,31: 6,24; 5,36; 5,82; 6,15; 8,61; 6,62; 7,81; 6,17; 5,91; 6,83; 6,91; 5,75 | ||
| 4.05; 5.11: 6.02; 7.11; 8.12; 9.15; 6.82; 6.84; 4.33; 5.31; 6.22; 7.10; 8.25; 9.99; 5.44; 6.23; 7.45; 8.36; 6.68; 6.65; 5.55; 6.38; 7.44; 8.87; 6.55; 6.58; 5.76; 6.48; 7.77; 5.86; 6.42; 7.83; 8.59; 7.92; 5.97; 7.68; 8.12; 811; 7.05; 6.54 | ||
| 30; 41; 51; 61; 72; 81; 95; 35; 44; 53; 45; 48; 54; 62; 62; 72;72; 74; 88; 99; 86; 75; 78; 63; 64; 56; 58; 65; 86; 66; 78; 67; 59; 68; 69; 58; 59; 62; 49; 56 | ||
| 62; 82; 99; 122; 142; 162; 190; 70; 88; 106; 90; 96;108; 124; 126; 145; 146; 139; 176; 198; 172; 154; 156; 126; 128; 112; 116; 130; 174; 132; 156; 134; 110; 136; 138; 170 | ||
| 6,24; 9,05; 9,98; 12,61; 14,41; 16,01; 19,01; 7,52; 8,42; 8,31; 8,51; 9,82; 10,82; 12,41; 12,42; 14,25; 7,22; 7,24; 8,38; 9,92; 8,62; 14,51; 14,81; 12,31; 14,24; 5,36; 5,82; 6,15; 8,61; 6,62; 17,81; 15,17; 17,91; 14,83; 6,91; 5,75 | ||
| 40,5; 51,4; 61,1; 72,4; 81,2; 95,3; 100,6; 43,5; 45,6; 52,2; 49,1; 61,4; 74,6; 52,2; 63,4; 76,3; 84,3; 87,6; 88,2; 53,3; 65,5; 76,4; 77,2; 77,1; 79,3; 66,2; 66,9; 66,6; 66,3; 67,8; 67,1; 67,3; 68,1; 68,6; 68,3; 54,2 | ||
| 80,5; 91,4; 91,1; 172,4; 91,2; 95,3; 200,6; 83,5; 90,6; 152,2; 79,1; 61.4, 74,6; 52,2; 63,4; 176,3; 84,3; 87,6; 88,2; 153,3; 65,5; 76,4; 77;2; 77.1, 179,3; 66,2; 66,9; 66,6; 66,3; 67,8; 67,1; 67,3; 68,1; 68,6; 68,3; 54,2 | ||
| 31; 20; 25; 31; 36; 41; 55; 15; 24; 23; 25; 28; 54; 62; 62; 42; 72; 74; 48; 59; 46; 75; 78; 63; 64; 56; 58; 65; 46; 66; 48; 67; 59; 68; 69 | ||
| 130; 141; 151; 161; 172; 181; 195; 135; 144; 153; 145; 148; 154; 162; 162; 172; 172; 174; 188; 199; 186; 175; 178; 163; 164; 156; 158; 165; 186; 166; 178; 167; 159; 168; 169 | ||
| 230; 241; 251; 261; 272; 281; 295; 235; 244; 253; 245; 248; 254; 262; 262; 272; 272; 274; 288; 299; 286; 275; 278; 263; 264; 256; 258; 265; 286; 266; 278; 267; 259; 268; 269 | ||
| 30; 41; 51; 61; 72; 81; 95; 35; 44; 53; 45; 48; 54; 62; 62; 72; 72; 74; 88; 99; 86; 75; 78; 63; 64; 56; 58; 65; 86; 66; 78; 67; 59; 68; 69 | ||
| 30; 41; 51; 61; 72; 81; 95; 35; 44; 53; 45; 48; 54; 62; 62; 72; 72; 74; 88; 99; 86; 75; 78; 63; 64; 56; 58; 65; 86; 66; 78; 67; 59; 68; 69 |
Елементи теорії кореляції
В інженерній практиці дуже часто необхідно встановити та оцінити залежність випадкової величини 
яка вивчається, від однієї або декількох величин. Такі задачі вивчає розділ математичної статистики, який має назву теорія кореляції. Відомо, що випадкові величини можуть бути пов’язані між собою функціональною чи статистичною залежністю або бути незалежними. Строга функціональна залежність реалізується рідко. Статистичною називають залежність, при якій зміна однієї із величин тягне за собою зміну середнього значення іншої. Таку статистичну залежність називають кореляційною. Кореляційною залежністю 
від 
називають функціональну залежність умовної середньої 
від 
.
Це рівняння називають рівнянням регресії 
на . Функцію називають регресією на .
Кореляційною залежністю від називають функціональну залежність умовної середньої 
від 
.
Це рівняння називають рівнянням регресії на . Функцію 
називають регресією на .
Першою задачею теорії кореляції є встановлення виду функції кореляційного зв’язку, друга задача – оцінка кореляційного зв’язку. В методичних вказівках розглянуто лінійну залежність від однієї випадкової величини
. (1.3)
Кутовий коефіцієнт прямої лінії на називають вибірковим коефіцієнтом регресії на та позначають його 
.
Будемо вважати, що 
лінійна функція. Це означає
.
Припустимо, що проведено 
незалежних дослідів та отримано такі дані: 
. Поставимо задачу підібрати такі параметри та 
, щоб експериментальні точки 
, які побудовані на площині ХОУ, лежали якомога ближче біля прямої (1.3). Будемо називати відхиленням різницю
де 
ордината, яка розраховується за (1.3) при відповідному значенні 
;
статистичне значення ординати, яка відповідає .
Коефіцієнти рівняння (1.3) будемо підбирати так, щоб сума квадратів відхилень була мінімальною. Для виконання цієї умови в кореляційному аналізі використовують метод найменших квадратів. Математичну формулу цієї умови записують так:
або
(1.4)
Для знаходження мінімуму (1.4) визначимо похідні
(1.5)
Розв’язавши цю систему, знайдемо
(1.6)
Таким чином, коефіцієнти рівняння (1.3) обчислено. Кутовий коефіцієнт прямої лінії регресії називається вибірковим коефіцієнтом регресії 
. Вибірковим коефіцієнтом кореляції 
називають
,
де 
, 
вибіркові середньоквадратичні відхилення. Якщо вибірковий коефіцієнт кореляції 
, то випадкові величини не пов’язані лінійною кореляційною залежністю, якщо 
, то вони пов’язані лінійною функціональною залежністю.
Практичне завдання № 2
1. Знайти коефіцієнти вибіркового рівняння прямої лінії за наведеними даними, використовуючи метод найменших квадратів, та виконати розрахунки .
2. Побудувати розрахункові та вибіркові результати.
Вар. 1
| |||||
|
| 1,0 | 1,15 | 3,0 | 4,5 | 5,0 |
|
| 2,25 | 2,4 | 2,5 | 2,75 | 3,25 |
Вар. 2
|
| |||||
|
| 1,0 | 1,15 | 3,0 | 4,5 | 5,0 |
|
| 3,25 | 3,4 | 3,5 | 3,75 | 4,25 |
Вар. 3
|
| |||||
|
| 1,0 | 1,15 | 3,0 | 4,5 | 5,0 |
|
| 4,25 | 4,4 | 4,5 | 4,75 | 5,25 |
Вар. 4
|
| |||||
|
| 1,0 | 1,15 | 3,0 | 4,5 | 5,0 |
|
| 5,25 | 5,4 | 5,5 | 5,75 | 6,25 |
Вар. 5
|
| |||||
|
| 1,0 | 1,15 | 3,0 | 4,5 | 5,0 |
|
| 6,25 | 6,4 | 6,5 | 6,75 | 7,25 |
Вар. 6
|
| |||||
|
| 1,0 | 1,15 | 3,0 | 4,5 | 5,0 |
|
| 7,25 | 7,4 | 7,5 | 7,75 | 8,25 |
Вар. 7
|
| |||||
|
| 1,0 | 1,15 | 3,0 | 4,5 | 5,0 |
|
| 8,25 | 8,4 | 8,5 | 8,75 | 9,25 |
Вар. 8
|
| |||||
|
| 1,0 | 1,15 | 3,0 | 4,5 | 5,0 |
|
| 9,25 | 9,4 | 9,5 | 9,75 | 10,25 |
Вар. 9
|
| |||||
|
| 1,0 | 1,15 | 3,0 | 4,5 | 5,0 |
|
| 10,25 | 10,4 | 10,5 | 10,75 | 11,25 |
Вар. 10
|
| |||||
|
| 1,0 | 1,15 | 3,0 | 4,5 | 5,0 |
|
| 1,25 | 1,4 | 1,5 | 1,75 | 2,25 |
2. ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ
Основні визначення
Планування експерименту це процедура вибору кількості та умов проведення дослідів, необхідних та достатніх для розв’язання поставленої задачі з необхідною точністю. У цих методичних вказівках розглянуто питання екстремального експерименту, основним завданням якого є знаходження екстремуму функції, яка адекватно описує результати експерименту. Математична модель об’єкта дослідження це рівняння, яке встановлює залежність параметра оптимізації з факторами 
. (2.1)
Така залежність називається функцією відклику. Фактором називається вимірювана змінна величина, яка набуває певного значення. Кожен фактор може набувати у досліді тільки одне із можливих значень. Такі значення називаються рівнями. Фіксований набір рівнів факторів (встановлення кожного фактора на деякий рівень) – це умова проведення одного із можливих дослідів. Кількість можливих дослідів 
знаходять за формулою
, (2.2)
де 
кількість рівнів, 
кількість факторів.
Кожен фактор має область визначення, тобто сукупність усіх значень, яких він може набувати. Під час планування експерименту фактор вважається керованим, точність його вимірювання має бути якомога вищою.
Параметр оптимізації – це ознака, за якою оптимізується процес, що вивчається. Він має задаватися числом, його необхідно вміти вимірювати за всіх можливих комбінацій факторів. Якщо досліджуваний процес характеризується сукупністю відкликів 
, то кожен з цих відкликів повинен мати числове значення в кожному досліді. У такому разі використовується узагальнений показник
, (2.3)
де узагальнений показник 
в 
-му досліді; 
добуток відкликів , які знаходять за допомогою функції бажання [3].