Пределы числовых последовательностей

Определение. Окрестность точки a (ε-окрестность)называется интервал U_ε(a) = (a −ε, a + ε).

Определение. Пределом числовой последовательности (a_n) называется такое число a, удовлетворяющее условию:

lim_n→∞a_n = a⇔∀ε > 0 ∃N ∀n ≥ N |a_n − a| < ε.

То есть для доказательства, что число a является пределом последовательность (a_n) необходимо указать функцию N(ε), возвращающую натуральное число N, для которого справедливо, что для ∀n ≥ N |a_n − a| < ε при заданном ε.

Пример. Для последовательности, n-ный член которой a_n =n/(2n+1) N(ε) = .

Свойства пределов числовых последовательностей

Теорема 3.Пусть ∃lim_n→∞a_n = a⇒∃M₁, M₂∀nM₁£a_n£M₂.

Доказательство.∀ε > 0 ∃N(ε)∀n ≥ N

− ε<a_n–a<ε или a − ε<a_n<a + ε.

Пусть M₁ = min(min(a₁, ... , a_N−1), a–ε); M₂ = max(max(a₁, ... ,a_N−1), a + ε). Тогда∀nM₁£a_n£M₂.

Теорема 4.Если существует a, такое что lim_n→∞a_n= a, то такое a единственно.

Доказательство. Докажемотпротивного. Пусть

Тогда

∀ε > 0 ∃N₁∀n ≥ N₁ |a_n − a| < ε/2

∀ε > 0 ∃N₂∀n ≥ N₂ |a_n − b| < ε/2.

Пусть M = max(N₁, N₂). Тогда |a_n− a|+ |a_n− b| <ε, |a_n − a| + |a_n − b| ≥ |a − b|, |a − b| <ε. Противоречие с тем, что ε произвольно.

Теоремы о сумме, произведении и частном пределов

Пусть: ∃lim_n→∞a_n = a, ∃lim_n→∞b_n = b.Тогда:

∀ε> 0 ∃N₁∀n ≥ N₁ |a_n − a| <ε

∀ε> 0 ∃N₂∀n ≥ N₂ |b_n − b| <ε

a_n = a + α_n

b_n = b + β_n

• ⇐ Назад
• 123
• 4
• Далее ⇒