Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений n-го порядка имеет вид:

 

(24.1)

 

или в матричном виде:

AX=B , (24.2)

 

где , ,

Корнями системы являются такие значения x1, x2,…xn, подстановка которых в (24.1) превращает уравнения системы в тождества.

Метод Гаусса.Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных x1, x2,…xn путем преобразования системы (24.1) таким образом, чтобы под главной диагональю располагались нули. В полученной системе определяется корень xn из последнего уравнения, корень xn-1 – из предпоследнего и т.д.

Алгоритм метода Гаусса.

1. Ввод числа n, обозначающего порядок системы, матрицы A и вектора B.

2. Выполнение пунктов данного алгоритма с 3-го по 7, с изменением номера вычитаемого уравнения k с 1 до n-1.

3. Выполнение пунктов с 4-го по 7, с изменением номера уравнения i, из которого производится вычитание, с k+1 до n.

4. Вычисление c=aik/akk , aik=0 .

5. Выполнение пункта 6, с изменением номера столбца j c k+1 до n.

6. Вычисление aij=aij-c×akj .

7. Вычисление bi=bi-c×bk .

8. Определение корня xn=bn/ann

9. Выполнение пунктов с 10 по 13, с изменением номера уравнения iс n-1 до 1.

10. Подготовка переменной для вычисления суммы s=0.

11. Выполнение пункта 12, с изменением номера столбца j с i+1 до n .

12. Вычисление s=s+aij×xj .

13. Определение xi=(bi-s)/aii.

14. Вывод значений x1,x2,…,xn .

В данном алгоритме пункты со 2 по 7 обеспечивают преобразование матрицы A к треугольному виду (прямой ход метода), а выполнение пунктов с 8 по 13 позволяет определить корни системы линейных уравнений (обратный ход метода).

Матричный метод. Зная матрицу A можно вычислить обратную матрицу A-1, затем умножить ее на систему (24.2): A-1×A×X=A-1×B. Получится: X=A-1×B . Элементы вектора X и являются корнями системы линейных уравнений.