Постановка проблеми вибору

Для тролейбусного депо міста потрібно закупити тролейбус. Треба вибрати найкращий для даного депо тип тролейбуса.

Працівники тролейбусного управління мають певні критерії вибору. На ринку пропонують цілий ряд різних типів тролейбусів. Який з них вибрати, який буде найкращий в даному депо і даному місті?

Кожен тип тролейбуса виготовляють на різних заводах і умови закупки різні. Перш за все, тролейбуси мають різну ціну. По-друге, можливі різни умови продавців. В одних випадках є ряд пільг, можна здійснити покупку на виплату з різним терміном оплати. Для закупки на деяких заводах-виробниках банки надають кредити, для інших їх надати не можуть.

Характеристики тролейбусів також різні. Одні більш комфортабельні, інші не такі комфортабельні, у них різна швидкість, різна місткість.

Тролейбуси потребують технічного обслуговування. Вимоги до обслуговування також різні, обслуговування можна здійснювати на різній технічній базі. Для технічного обслуговування деяких типів тролейбусів наявна технічна база достатня, а інші потребують додаткового обладнання пунктів обслуговування.

Кожен тип тролейбуса має різну заводську гарантію. Для деяких типів тролейбусів ця гарантія може становити 1–2 роки, а інших — до 5 років. З терміном заводської гарантії пов’язана і ремонтна база, вона може бути достатньою для одного типу тролейбуса і недостатньою для іншого.

Крім цього, на вибір рішення можуть накладатись інші умови економічного чи навіть політичного характеру. Наприклад, місто чи держава можуть бути зацікавлені в розвитку економічних відносин з одними фірмами — виробниками і не зацікавлені в розвитку таких відносин з іншими.

З виконаного аналізу видно, що вирішити проблему в цілому на початковому етапі неможливо. Тому виконується наступний крок, а саме декомпозиція проблеми.

2. Декомпозиція проблеми

Декомпозиція проблеми здійснюється або аналітиком самостійно, або експертами. Вона може виконуватись як декілька послідовних кроків. У результаті декомпозиції визначається ієрархія показників, за якими слід вирішувати проблему вибору.

Враховуючи аналіз, виконаний вище для вирішення проблеми вибору, виділимо такі групи показників:

— технічні,

— експлуатаційні,

— економічні.

На наступному кроці декомпозиції встановлюємо безпосередньо показники кожної групи або розбиваємо кожну групу показників ще на ряд підгруп. Результат декомпозиції такий.

Технічні характеристики:

— кількість місць,

— комфортність (місць для сидіння),

— експлуатаційна швидкість.

Експлуатаційні характеристики:

— термін служби,

— наявна ремонтна база,

— потреба і наявність запасних частин.

Економічні характеристики:

— вартість,

— банківський кредит.

Слід зауважити , що розглянутий варіант декомпозиції не єдиний.

Існує велика кількість точок зору, можуть бути вибрані інші фактори, наприклад екологічні фактори, фактори безпеки експлуатації, врахування прогнозів подальшого розвитку транспортних засобів, фактори політичної обстановки та ін.

3. Формулювання критеріїв вибору рішення

На основі вимог, які висувають експерти, формулюють критерії по кожному показнику. Сформовані такі критерії:

— вартість — не більше 4 тис. грн. в розрахунку на одного пасажира,

— банківський кредит — бажано кредит у розмірі до 50% вартості, але при низькій відносній вартості можна і без кредиту,

— кількість місць — від 80 до 160,

— комфортність — не менше ¼ місць для сидіння,

— експлуатаційна швидкість — не менше 65 км/год,

— термін служби — гарантійний термін не менше 4 років,

— наявна ремонтна база — на основі депо,

— потреба та наявність запасних частин — не менше 50%.

4. Аналіз альтернативних варіантів вирішення проблеми

Розглядають варіанти можливого вирішення проблеми. Для продажу заводи пропонують різні типи тролейбусів. Відібрано три варіанти, які задовольняють нашим вимогам. Головні їх характеристики такі:

Варіант А. Найбільш місткий тролейбус на 160 пасажирів, має 50 місць для сидіння, вартістю 650 тис грн. Банківський кредит 50% .

Варіант В. Тролейбус на 130 пасажирів, має 45 місць для сидіння, вартістю 550 тис грн., можливий кредит до 80% вартості.

Варіант С. Тролейбус на 90 пасажирів, має 50 місць для сидіння, вартістю 500 тис. грн. Банківський кредит 20%.

Інші характеристики наведено в табл. 1.

Таблиця 1. Варіанти тролейбусів, які пропонує ринок

Аналіз даних табл. 1 показує, що не всі характеристики є незалежними. Ціна тролейбуса залежить від його місткості. Оскільки для виконання аналізу рекомендується розглядати тільки незалежні характеристики, то потрібно розрахувати вартість тролейбуса в розрахунку на одного пасажира. Результати такого розрахунку показані у табл. 2.

Таблиця 2. Вартість тролейбуса в розрахунку на одного пасажира

Порівняння варіантів тролейбуса будемо здійснювати за приведеною ціною.

Під час виконання порівняння альтернативних варіантів слід також враховувати місткість, хоча ми раніше звертали увагу на взаємозалежність факторів місткість і ціна. Тепер, коли введена ціна в розрахунку на пасажира, такої взаємозалежності немає. Але місткість не можна відкинути як самостійний показник. Справа в тому, що місткість є самостійним показником, адже від неї залежить кількість тролейбусів на маршрутах, скільки потрібно мати водіїв для обслуговування маршруту і, в кінцевому підсумку, величину транспортного потоку на вулицях міста.

5. Побудова ієрархічної моделі проблеми

Ієрархічну модель проблеми будують відповідно до декомпозиції проблеми з урахуванням альтернативних варіантів вирішення проблеми. Вигляд її показано на рис. 1.

Як видно з рисунку, модель вирішення проблеми має три ієрархічні рівні. Можуть бути випадки, коли число рівнів більше. Для зменшення кількості розрахунків бажано спростити модель. У даній моделі число варіантів невелике, тому можна модель спростити і побудувати модель у дещо спрощеному варіанті, а саме як показано на рис. 2.

У спрощеній моделі на рис. 2 кількість рівнів декомпозиції зменшена і опущено один рівень декомпозиції. Ця модель після розрахунків дає такі ж результати, як і модель на рис. 1, але потребує менших розрахунків. Показане спрощення можна робити, коли число показників невелике, принаймні не більше 15. Проте спрощення розрахунків має і негативну сторону, яка полягає в тому, що доводиться будувати матрицю парних порівнянь досить великого розміру. Процес побудови узгодженої матриці вимагає певних зусиль і не завжди компенсує зменшення кількості розрахунків. Найбільші труднощі виникають при узгодження матриці парних порівнянь, і чим більші розміри матриці, тим важче добитись її узгодженості.

Рис. 1. Ієрархічна модель проблеми вибору типу тролейбуса
для закупки в депо

Рис. 2. Спрощена ієрархічна модель проблеми вибору
типу тролейбуса для закупки в депо

6. Експертна оцінка переваг і побудова матриць переваг

Найбільш важливим моментом вирішення проблеми за методом аналізу ієрархій, який потребує професійних знань і залучення до експертизи кваліфікованих експертів, є побудова матриць парних порівнянь. Матриці будують за результатами експертних оцінок. Їх кількість і розміри визначаються ієрархічною моделлю вирішення проблеми. На кожному рівні треба побудувати кілька матриць переваг, кількість і розміри яких визначаються моделлю ієрархії проблеми. Так, для моделі, показаної на рис. 1, потрібно побудувати такі матриці: одну матрицю розмірами 3*3 на першому рівні ієрархії, три матриці розмірами 3*3, 3*3 і 2*2 на другому рівні і 8 матриць розмірами 3*3 на третьому рівні. Спрощена модель (див. рис. 2) потребує побудови матриці розмірами 8*8 на першому рівні і 8 матриць розмірами 3*3 на другому рівні. Відповідно до кількості матриць визначається і обсяг необхідних розрахунків. Кожну матрицю переваг будують залежно від того, в якій шкалі задана характеристика. Якщо всі варіанти декомпозиції певного блоку діаграми виражені в шкалі відношень, то в матриці переваг елементи а_ij, визначаються як відношення відповідних величин, а саме величини, розміщеної в рядку і, поділеної на величину, розміщену в стовпчику j. Якщо порівнюються величини, не виражені в шкалі відношень, то в якості а_ij записується величина переваги, наданої експертами за шкалою Сааті.

Розглянемо побудову матриць переваг для прикладу вибору типу тролейбуса відповідно до спрощеної моделі декомпозиції (див. рис. 2). На першому рівні необхідно побудувати матрицю переваг розмірами 8*8. Це матриця важливості показників вибору варіантів тролейбуса, а саме якому показнику потрібно приділяти більше уваги, вважати більш важливим під час вибору варіанту тролейбуса: вартості, банківського кредиту, кількості місць, комфортності чи інших. Відносну важливість їх визначають експерти за шкалою Сааті. Для заповнення матриці переваг вони попарно порівнюють кожен показник з іншими і за шкалою Сааті визначають перевагу для кожної пари.

Порядок побудови та заповнення матриці:

а) Будуємо квадратну матрицю розмірами 8*8.

б) В заголовки рядків і стовпчиків записуємо назву характеристик, як показано в табл. 3.

в) Клітинки діагоналі матриці заповнюємо числом 1.

г) Порівнюємо перший показник з наступними і проставляємо величину пріоритетів в шкалі Сааті.

д) Заповняємо діагонально симетричні клітинки матриці оберненими числами.

Результати заповнення матриці показано в табл. 3.

Таблиця 3. Матриця парних порівнянь 1 рівня

Розглянемо порядок заповнення матриці. Першим показником є загальна кількість місць у тролейбусі “Місткість”. Порівнюємо цей показник з наступним “Комфортність”. За оцінками експертів це майже рівнозначні показники. Вирішили, що можна надати пріоритет показнику “Місткість” в 2 бали за шкалою Сааті. У клітинку матриці вставляємо значення а₁₂ = 2. Одночасно проставляємо для елемента матриці а₂₁ значення, рівне оберненій величині а₂₁=1/2. Далі порівнюємо показник “Місткість” з показником “Швидкість”. Експлуатаційна швидкість усіх тролейбусів перевищує 65 км/год. В умовах міста швидкість сполучення не більша 18 км/год. Тому показник швидкості можна вважати не таким важливим, як показник місткості. Отже, перевага показника “Місткість” оцінена в 3 бали. а₁₃ = 3, а₃₁ = 1/3. Наступний показник “Термін служби”. Тут експерти вважають, що цей показник важливіший ніж показник “Місткість” За шкалою Сааті оцінка переваги в 5 балів. У даному випадку цю оцінку потрібно проставляти не в рядку першого показника, а в рядку показника, який більш важливий, тобто в рядку 4. Отже, а₄₁ = 5 і а₁₄ = 1/5. Подальший хід заповнення матриці зрозумілий. Найбільш важливим є фактор ціни і наявності кредиту, отже цим факторам надана перевага над іншими, що видно з даних табл. 3.

На другому рівні потрібно побудувати 8 матриць для кожного показника. Розглянемо побудову матриці парних порівнянь для показника “Місткість”.

Місткість тролейбуса задана загальним числом місць. Число місць виражається у шкалі відношень. Отже, матрицю пріоритетів будуємо як відношення відповідних величин. Записуємо варіанти тролейбусів і їх порівнюємо за показником “Місткість”. Побудована матриця показана в табл. 4.

Таблиця 4. Матриця парних порівнянь варіантів тролейбусів
за показником місткості

У матриці табл. 4 значення розраховані як відношення відповідних величин, вказаних у дужках першої колонки.

Матриця для показника “Комфортність” показана в табл. 5. Комфортність треба виражати в процентах сидячих місць до загальної місткості тролейбуса. Відповідні величини показано в першій колонці табл. 5. У подальшому матрицю будують аналогічно матриці порівняння за місткістю.

Таблиця 5. Матриця порівнянь варіантів тролейбусів за комфортністю

Матрицю для показника “швидкість” побудуємо за шкалою Сааті. Побудова матриці за експертними оцінками зумовлена тим, що зміна швидкості на певну величину (наприклад, 10 км/год) у шкалі відношень, порівняно зі швидкістю 70 км/год. незначна, тоді як для оцінки якості тролейбуса це досить значна перевага. Побудована матриця має вигляд, показаний у табл. 6.

Таблиця 6. Матриця порівнянь варіантів тролейбусів за швидкістю

Решта матриць наведена далі разом з результатами розрахунків.

7. Розрахунки векторів локальних переваг

Розрахунки виконують за відповідними формулами.

Компоненти вектора пріоритетів обчислюються як нормоване значення власного вектора матриці Vi. Компоненти власного вектора матриці є середнім геометричним значенням елементів рядка матриці, тобто розраховуються за формулою

Pi— компоненти вектора пріоритетів:

Sjсума значень матриці по колонках:

Найбільше власне значення матриці парних порівнянь розраховують за формулою

Порядок виконання розрахунку покажемо на прикладі матриці 1-го рівня декомпозиції. Для виконання розрахунку зручно використати електронну таблицю EXCEL. Результати розрахунку наведені в табл. 7.

Таблиця 7. Результати розрахунку матриці пріоритетів першого рівня

Як показано, розрахунки краще виконувати в табличній формі. Поряд з матрицею переваг виділяють колонки для результатів розрахунку головного власного вектора матриці, вектора пріоритетів і складових власного значення матриці. За наведеними формулами виконують розрахунки.

8. Оцінка узгодженості суджень експертів (узгодженості матриць переваг)

Важливою властивістю матриці переваг є її узгодженість. Розрізняють поняття кардинальної і порядкової узгодженості матриць.

Кардинально узгодженою є матриця, побудована для величин, поданих у шкалі відношень. Для такої матриці справедлива умова кардинальної узгодженості, а саме

Добитись кардинальної узгодженості матриці, побудованої шляхом експертних оцінок, за шкалою Сааті надзвичайно важко. Тому для таких матриць вимагають задоволення вимог порядкової узгодженості (іноді її називають транзитивною узгодженістю).

Порядкова узгодженість полягає в тому, що коли альтернатива Аі має перевагу над альтернативою Аj, а альтернатива Aj над альтернативою Аk, то величина оцінки переваги а_ikповинна бути більша від величин а_ijі a_jk. Таке співвідношення повинно бути справедливе для будь-якої групи альтернатив. Звичайно, добитись порядкової узгодженості легше ніж кардинальної.

У матрицях, побудованих на основі експертних оцінок, вимога порядкової узгодженості не завжди виконується. Особливо це характерне для матриць великої розмірності. Якщо вимога порядкової узгодженості порушується, то це свідчить, що у судженнях експертів є протиріччя. Судження треба переглянути, а матрицю відредагувати. Тому після складання матриці парних порівнянь, перевіряють ступінь узгодженості одержаних оцінок і в разі потреби коректують матрицю, тобто переглядають судження декількох (або всіх) експертів.

Як міру узгодженості матриці парних порівнянь використовують два показники:

1) індекс узгодженості (іу);

2) відношення узгодженості (ву).

Індекс узгодженості розраховують за формулою

Тут λmax — найбільше власне значення матриці парних порівнянь; n — розмірність матриці.

Відношення узгодженості (ву) дорівнює відношенню індексу узгодженості іу до випадкового індексу ві

ву < 0,1,

то матрицю пріоритетів вважають задовільною, якщо ця умова не виконується, то експерту рекомендують переглянути свої судження і відредагувати матрицю парних порівнянь.

За результатами розрахунків виконують оцінку узгодженості матриці бінарних порівнянь.

Розраховуємо індекс узгодженості матриці

і відношення узгодженості

Відношення узгодженості матриці відповідає умові, при якій матрицю вважаємо достатньо узгодженою, а саме воно не перевищує величини 0,1. Отже, результати експертизи можемо вважати задовільними і результат розрахунку локального вектора пріоритетів даної матриці використати для подальших розрахунків.

Якщо умова узгодженості не виконується, то треба уважно проаналізувати матрицю пріоритетів, звернути особливу увагу на дотримання вимоги порядкової узгодженості. Там, де така узгодженість порушується, потрібно скоректувати оцінки так, щоб в них не було протиріч.

Розрахунки власних векторів і перевірку ступеня узгодженості суджень потрібно виконати для всіх матриць моделі. Матриці й результати розрахунків для нашої моделі наведені в табл. 8-15.

Таблиця 8. Результати розрахунку вектора пріоритетів для показника “Місткість”

Індекс узгодженості Іу = 0.

Відношення узгодженості Ву = 0.

Таблиця 9. Результати розрахунку вектора пріоритетів для показника “Комфортність”

Індекс узгодженості Іу = 0.

Відношення узгодженості Ву = 0.

Таблиця 10. Результати розрахунку вектора пріоритетів для показника “Швидкість”

Індекс узгодженості Іу = 0,032.

Відношення узгодженості Ву = 0,056.

Таблиця 11. Результати розрахунку вектора пріоритетів для показника “Термін служби”

Індекс узгодженості Іу = 0.

Відношення узгодженості Ву = 0.

Таблиця 12. Результати розрахунку вектора пріоритетів для показника “Запасні частини”

Індекс узгодженості Іу = 0,06.

Відношення узгодженості Ву = 0,10.

Таблиця 13. Результати розрахунку вектора пріоритетів для показника “Ремонтна база”

Індекс узгодженості Іу = 0,05.

Відношення узгодженості Ву = 0,09.

Таблиця 14. Результати розрахунку вектора пріоритетів для показника “Відносна вартість”

Індекс узгодженості Іу = 0.

Відношення узгодженості Ву = 0.

Таблиця 15. Результати розрахунку вектора пріоритетів для показника “Кредит”

Індекс узгодженості Іу = 0.

Відношення узгодженості Ву = 0.

Розраховані величини відношень узгодженості всіх матриць задовольняють умові узгодженості. Отже, всі матриці складені правильно і добре узгоджені. Компоненти векторів пріоритетів, одержані в результаті розрахунків, є оцінкою пріоритету кожної з альтернатив за певним показником. На наступному кроці потрібно узагальнити результати, одержані для кожного показника і розрахувати вектор глобальних пріоритетів з урахуванням важливості кожного показника.

9. Розрахунок вектора глобальних пріоритетів

Вектор глобальних пріоритетів дає загальну оцінку переваги кожної альтернативи. Він враховує важливість кожного показника і перевагу альтернативи за цим показником. Вектор глобальних пріоритетів — це кількісна характеристика альтернативи, подана у шкалі відношень. Розраховують вектор глобальних переваг у такому порядку. Спочатку формують матрицю локальних пріоритетів Dij на нижньому рівні декомпозиції. Елементами матриці Dij є вектори — колонки пріоритетів нижнього рівня ієрархії. У нашому випадку вектори подані в табл. 16, а матриця пріоритетів нижнього Dij наведена далі (табл. 17).

Таблиця 16. Вектори пріоритетів нижнього рівня задачі вибору типу тролейбуса

Таблиця 17. Матриця пріоритетів нижнього рівня

Глобальний вектор пріоритетів А_i відшукують як добуток матриці локальних пріоритетів нижнього рівня на вектор пріоритетів верхнього рівня, а саме:

А_i = D_ij* P_j.

Вектор пріоритетів верхнього рівня подано в табл. 7. Множення матриць, як відомо, виконують за правилом

Вектор глобальних пріоритетів встановлює пріоритет кожної з альтернатив. Розраховані пріоритети подані в табл. 18.

Таблиця 18. Розраховані за методом МАІ значення глобальних пріоритетів для альтернатив вибору варіанта тролейбуса

10. Вироблення пропозицій вирішення проблеми для ОПР на основі результатів аналізу

Вектор глобальних пріоритетів є основою вибору рішення. У нашому прикладі ми бачимо, що перевагу слід віддати варіанту В і вибрати для закупки в метро тролейбус варіанту В. Це тролейбус на 130 пасажирів, який має 45 місць для сидіння, вартістю 550 тис грн., можливий кредит до 80% вартості.

У наведеному прикладі показано, як послідовно здійснюється вирішення проблеми за допомогою методу аналізу ієрархій. Цей метод є зручним тому, що дозволяє виробити об’єктивний критерій для вирішення проблеми в складній ситуації, коли є багато показників, за якими здійснюється вибір, коли вибір виконує велике число людей і всі мають свої інтереси, коли є велика кількість альтернатив і вибрати одну з них буває важко. Цей метод широко застосовується для вирішення різного типу завдань технічного, економічного і організаційного характеру.

• ⇐ Назад
• 123
• Далее ⇒