Свойства арифметических действий над числами и правила
| № | Название свойства (правила) | Математическая запись | Формулировка свойства (правила) |
| Переместительное свойство сложения | А + В = В + А | От перестановки слагаемых значение суммы не меняется (о перестановке слагаемых) | |
| Прибавление нуля | А + 0 = А | ||
| Сочетательное свойство сложения | (А + В) + С = А + (В + С) | Если при сложении нескольких чисел сумму рядом стоящих слагаемых заменить её значением, значение общей суммы не изменится (о группировке слагаемых, о перестановке скобок) | |
| Переместительное свойство умножения | А * В = В * А | От перестановки множителей значение произведения не изменится (о перестановке множителей) | |
| Умножение единицы и на единицу, деление на единицу | 1 * А = А А * 1 = А А : 1 = А | ||
| Умножение нуля и на нуль | 0 * А = 0 А * 0 = 0 | ||
| Сочетательное свойство умножения | (А * В) * С = А * (В * С) | Если при умножении нескольких чисел произведение рядом стоящих множителей заменить его значением, значение общего произведения не изменится (о группировке множителей, о перестановке скобок) | |
| Невозможность деления на нуль | А : 0 | ||
| Распределительное свойство умножения относительно сложения | А*(В + С) = А* В + А* С (А + В)*С = А*С + В*С | Значение произведения суммы на число не изменится, если на него умножить каждое слагаемое и полученные результаты сложить | |
| Распределительное свойство умножения относительно вычитания | А* (В – С) + А*В – А*С (А – В)*С = А*С – В*С | ||
| Монотонность сложения | А = В А + С = В + С | ||
| Монотонность умножения | А = В А*С = В*С |
Приложение № 3
Программа М.И. Моро и др. УМК «Школа России», 2класс, концентр «Сотня», раздел: «Арифметические действия», тема: «Умножение и деление»
Логико–математический анализ темы урока: «Деление»
1.Определения смысла деления с позиции математики
В курсе математики существуют различные трактовки конкретного смысла действия деления. Это связано с тем, что трактовки определений смысла деления могут основываться на различных математических теориях: аксиоматической, теории множеств, теории скалярных величин. Рассмотрим эти определения:
а) при аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление определяется как операция, обратная умножению. Поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если a*b=c, то, зная произведение c и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель.
Определение: Делением натуральных чисел a и b называется операция, удовлетворяющая условию: a: b=c тогда и только тогда, когда b*c=a.
б) с точки зрения теории множеств деление чисел связывается с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются две задачи: отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения (деление на равные части) и отыскание числа таких подмножеств (деление по содержанию).
Определение: Если a=n(A) и множество A разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:
b – число элементов в каждом подмножестве, то частное a: b – это число таких подмножеств;
b - число подмножеств, то частное a: b - это число элементов в каждом подмножестве.
в) с точки зрения теории скалярных величин деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице величины, более крупной.
Определение: если натуральное число a – мера величины X при единице величины E , а натуральное число b – мера новой единицы величины E1 при единице величины E , то частное a: b – это мера величины X при единице величины E1:
a: b=mE(X): mE(E1)=mE1(X)
2. Анализ методического подхода к изучению конкретного смысла деления в начальном курсе математики
В программе М.И.Моро и др. УМК «Школа России» при изучении конкретного смысла деления за основу берется теоретико – множественный подход. С точки зрения этого подхода конкретный смысл деления раскрывается как связь между операцией разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и действием деления. Изучение смысла действия деления осуществляется последовательно через анализ младшими школьниками разного рода ситуаций, связанных с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества. Сначала ученикам предлагаются ситуации, связанные с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества с заданным числом элементов и неизвестным количеством этих подмножеств (на примерах задач на деление по содержанию). Затем, предлагаются ситуации, связанные с выполнением операции разбиения конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества с неизвестным числом элементов и заданным количеством этих подмножеств (на примере задач на деление на равные части). В учебнике не дается явного определения смысла деления, авторы используют контекстуальный способ неявного определения (через анализ ситуаций). Такой способ определения позволяет учащимся понять, что деление – это арифметическое действие, которое связано с разбиением групп предметов поровну (на равные части). При ознакомлении со смыслом деления используется индуктивный путь познания, поэтому чтобы ученики смогли выделить и понять существенные признаки деления необходимо рассмотреть достаточное количество разнообразных ситуаций.
Психолого – дидактический анализ знания
Предмет усвоения: знание конкретного смысла деления
Существенные признаки:
Термин: деление
Родовое отношение: арифметическое действие
Видовой признак: действие, связанное с разбиением групп предметов поровну (на равные части)
Несущественные признаки:
фабула (сюжет рассматриваемых ситуаций),
числовые характеристики (число элементов множества, число элементов в каждом из равночисленных подмножеств, количество подмножеств)
Средства усвоения:
знания: конкретного смысла вычитания, конкретного смысла умножения;
умения: практически выполнять операцию разбиения множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и находить численность разбиения.
Этап усвоения: восприятие, осмысление
Действие, направленное на формирование знания конкретного смысла деления:
умение устанавливать связь между операцией разбиения множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и действием деления.