Рівняння являє собою диференціальне рівняння вимушених коливань матеріальної точки
Диференціальне рівняння - неоднорідне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. З курсу математики відомо, що рішення Х такого рівняння рівне сумі рішення
однорідного рівняння 
та частинного рішення
даного рівняння:
.
Однорідне рівняння є диференціальним рівнянням вільних гармонічних коливань. Його загальне рішення відоме:
,
або в амплітудній формі:
.
Знайдемо частинне рішення рівняння. В залежності від величини р частинне рішенння має різну форму. Розглянемо спочатку випадок, коли 
.
Рішення шукаємо у формі:
.
Для визначення невідомої сталої А ми повинні в рівняння замість х підставити 
, а замість 
- підставити 
.
Визначимо спочатку 
, а потім 
:
,
,
тоді
.
Ділимо обидві частини отриманої рівності на 
, 
.
Звідси
.
Підставляючи значення А, знаходимо потрібне частинне рішення рівняння:
.
0тже, загальне рішення має вигляд:
,
або в амплітудній формі:
.
Довільні сталі 
, 
або 
та 
визначаються за початковими умовами.
За кінематичним рівнянням рух точки є результатом накладення двох коливальних рухів. Коливання, що визначаються першим членом: 
мають частоту вільних коливань і їх називають власними коливаннями матеріальної точки.
Коливання, що визначаються другим членом:
,
мають частоту вимушуючої сили і їх називають вимушеними коливаннями матеріальної точки.
Амплітуда вимушених коливань як додатня величина дорівнює:
.
Таким чином, у випадку одночасної дії відновлюючої та вимушуючої сили, матеріальна точка виконує складний коливальний рух, що являє собою результат накладення вільних та вимушених коливань точки.
З рівняння (4.36) маємо наслідок: доданок, що визначає вимушені коливання точки, не містить сталих інтегрування, отже, вимушені коливання не залежать від початкових умов руху точки.
Дослідимо вимушені коливання точки.
.
Частота р та період 
вимушених коливань співпадають з частотою та періодом вимушуючої сили.
Вимушені коливання, частота р яких менше ніж частота k вільних коливань точки, називають вимушеними коливаннями малої частоти.
Вимушені коливання, частота р яких більше ніж частота k вільних коливань точки, називають вимушеними коливаннями великої частоти.
7.1.1. Фаза вимушених коливань.
Рівняння вимушених коливань малої частоти (p < k) має вигляд:
.
оскільки k2 - р2 > 0, то в цьому випадку фаза коливань (pt + d) cпівпадає з фазою вимушуючої сили і амплітуда вимушених юливань визначається залежністю:
.
Якщо вимушені коливання відбуваються з великою частотою (р > k), то рівняння буде мати вид, при якому коефіцієнт перед синусом був би додатнім :
,
тоді
.
В цьому випадку амплітуда вимушених коливань:
.
Фаза вимушених коливань великої частоти (рt + d - p)відрізняється від фази вимушуючої сили (pt + d) на величину p, тобто фази вимушених коливань та вимушуючої сили протилежні.
У випадку вимушених коливань малої частоти точка М завжди відхилена від початку координат О в той бік, що й в деякий момент вимушуюча сила 
.
У випадку вимушених коливань великої частоти відхилення точки М від початку координат О завжди протилежно напрямку вимушуючої сили в даний момент. При цьому в обох випадках максимальне відхилення точки від початку координат має місце в той момент часу, коли модуль вимушуючої сили досягає максимума.
7.1.2. Амплітуда вимушених коливань.
Розглянемо вплив частоти вимушуючої сили на амплітуду вимушених коливань. Введемо статичне відхилення А0 точки М від початку координат О під дією сталої сили Н (рисунок 7.1.2.а.). Величина А0 визначається з умови рівноваги сил Н та F.
|  ,
звідки
 .
| |||
| Рисунок 7.1.2.а. Вимушені коливання точки. |
Відношення амплітуди вимушених коливань А до величини статичного відхилення 
називається коефіцієнтом динамічності.
.
Коефіцієнт динамічності 
визначає у скільки разів найбільше динамічне зміщення точки, що викликається зміною вимушуючої сили 
, більше статичного відхилення , яке виникає під дією сталої сили, рівної за величиною амплітуді вимушуючої сили.
Коефіцієнтом розстройки називається відношення кругової частоти р вимушених коливань точки до кругової частоти k її вільних коливань, тобто коефіцієнт розстройки дорівнює:
.
Коефіцієнт динамічності в залежності від співвідношень р та k визначається з наступних формул:
випадок р < k:
,
випадок р > k:
.
Зміна амплітуди вимушених коливань А в залежності від зміни частоти вимушуючої сили р характеризується графіком коефіцієнта динамічності (рисунок 7.1.2.б.).
| На горизонтальній осі цього графіка відкладені значення відношення  , а на вертикальній осі - відповідні значення величини  , що визначені з формул у випадку р < k та у випадку  .
З графіка видно, що при збільшенні частоти вимушуючої сили від р = 0 до р = k коефіцієнт динамічності зростає від 1 до нескінченності.
| |||
| Рисунок 7.1.2.б. Графік коефіцієнта динамічності . |
Надалі збільшення p до нескінченності призводить до убування коефіцієнта динамічності до нуля. У випадку р = k коефіцієнт динамічності рівний нескінченності.
7.1.3. Явище резонансу.
Явище резонансу виникає при співпадінні частот вимушених та вільних коливань точки:
.
В цьому випадку амплітуда вимушених коливань точки дорівнює нескінченності і більшість рівнянь вимушених коливань втрачають сенс. Диференціальне рівняння в цьому випадку має вигляд:
.
Рівняння має загальне рішення:
.
Загальне рішення рівняння 
, як відомо, дорівнює:
,
або
.
Частинне рішення 
рівняння знаходимо у вигляді:
.
Похідну 
визначаємо як похідну від добутку 
та 
:
.
Аналогічно
.
Для визначення величини В підставляємо значення 
та 
в рівняння:
,
або
.
Звідси
.
Отримаємо загальне рішення диференціального рівняння:
,
або
.
В амплітудній формі ці рівняння мають вигляд:
,
або
.
Отримані рівняння показують, що рух точки М в випадку резонансу є результатом накладання вільних та вимушених коливань точки, так само, як і в випадку р = k.
Вільні коливання визначаються рівнянням:
.
Вимушені коливання при наявності резонансу:
.
Частота та період вимушених коливань у випадку резонансу дорівнюють частоті k та періоду 
вільних коливань точки.
Фаза вимушених коливань 
відстає від фази вимушуючої сили 
на величину 
.
3 рівняння видно, що множник перед синусом зростає зі збільшеням часу та може досягти як завгодно великих значень.
Графіком відстаней для вимушених коливань в наявності резонансу є синусоїдальна крива, що вписана в межі між прямими 
та 
тому що 
за модулем не більше одиниці. При 
точки графіка лежать на цих прямих (рисунок 7.1.3.).
З графіка видно, що амплітуда коливань збільшується на протязі часу. Резонанс, що випадково стався для деталей усякої споруди (міст, будівлі і т. п.) може привести до небажаних наслідків. Амплітуди вимушених коливань можуть бути такими значними, що споруда їх не витримає і може зруйнуватися.
| Будівельник, що створює будь-яку споруду, повинен знати власні частоти конструкції, їїіндивідуальність, щоб оцінити можливість появи резонансу. Для гасіння небажаних резонансних коливань існують два методи. Перший метод полягає в "настройці" системи шляхом такої зміни власних частот, щоб вони не співпадали з частотою збудження або, навпаки, шляхом зміни частот збудження. |
| Рисунок 7.1.3. Графік відстаней для вимушених коливань в наявності резонансу. |
Другий метод полягає в спеціальному збільшенні демпфіювання системи. В випадку демпфіювання системи (тобто штучному введенні тертя в систему) спостерігається підвищення розсіювання енергії в конструкції і тим самим зменшення резонансних коливань.
В деяких реальних спорудах розсіювання енергії вельми незначне, наприклад, в підвісних мостах. В цьому випадку зовсім незначна перемінна сила може викликати небезпечні резонансні коливання.
ЛЕКЦІЯ 8.
Вимушені коливання точки з урахуванням опору.
План.
8.1. Вимушені коливання точки з урахуванням опору.
8.1.1. Вид вимушених коливань за наявністю опору.
8.1.2. Частота та період вимушених коливань.
8.1.3. Фаза вимушених коливань.
8.1.4. Амплітуда вимушених коливань.
8.1. Вимушені коливання точки з урахуванням опору.
Нехтуючи впливом сил опору, при вивченні вимушених коливань ми прийшли до хибного висновку: при резонансі вимушені коливання виявилися зростаючими пропорційно часу, внаслідок чого система повинна б була зруйнуватись, якою б малою не була амплітуда гармоніки вимушуючої сили, що потрапила в резонанс. Це протирічча може бути пояснено, якщо врахувати вплив сил опору. При цьому ми обмежимося розглядом тільки опору, що пропорційний першій степені швидкості.
| Уявимо, що на матеріальну точку М масою m, що рухається вздовж осі ОХ, як наведено на рисунку 8.1. Діють відновлююча сила  , сила опору  , пропорційна швидкісті та гармонічна вимушуюча сила  , що відповідно представлені формулами:
 ,  , 
| |||
| Рисунок 8.1. Вимушені коливання точки з урахуванням опору. |
Диференціальне рівняння руху точки М має в цьому випадку наступний вигляд:
.
Переносимо члени сх і 
в ліву частину рівняння:
,
ділимо на m:
.
Розглянемо коефіцієнти рівняння:
- квадрат частоти вільних коливань;
- де b - коефіцієнт затухання;
- відношення амплітуди вимушуючої сили до маси точки.
При цих позначеннях диференційне рівняння руху точки має
вигляд:
.
Рівняння являє собою диференціальне рівняння вимушених коливань при наявності опору руху, пропорційного швидкості.
Рішення х рівняння складається з загального рішення 
, рівняння 
,
що має вигляд:
,
(розглядається випадок малого опору), і частинного рішення 
рівняння:
.
Частинне рішення рівняння шукаємо у вигляді:
.
Величина 
є амплітудою вимушених коливань, а 
- кутом зсуву фази вимушених коливань у відношенні до фази вимушуючої сили.
Сталі та повинні бути визначені шляхом підстановки функції та її похідних у вихідне рівняння, для цього знайдемо 
та 
:
, 
.
Підставимо , , у вихідне рівняння:
.
Приводимо праву частину рівняння до вигляду:
.
Підставляємо цей вираз в праву частину рівняння, переносимо всі члени в ліву частину та групуємо окремо члени, що включають 
та 
:
;
,
,
або
.
Остання рівність виконується тотожно, якщо коефіцієнти при 
і 
дорівнюють нулю. Отримуємо два рівняння для визначення та :
, 
,
або
, 
.
Із останніх рівностей знаходимо значення сталих та . Для цього піднесемо обидві частини отриманих рівнянь до квадрату та додамо їх:
; 
.
,
або
.
Звідки:
.
Розділимо другий вираз рівняння на перший:
; 
.
Окрім цього отримуємо:
, 
.
З виразу для 
видно, що завжди більше нуля, звідки витікає наслідок, що кут знаходиться в першій або в другій четвертях і його, тобто кут , можна визначити тільки за єдиним тангенсом.
Частинне рівняння, тобто рівняння вимушених коливань приймає вигляд:
.
Загальне рішення диференціального вихідного рівняння для випадку малого опору b < k, таким чином, має вигляд:
.
Отримані коливання складаються з власних (перший доданок правої частини рівняння та вимушених (другий доданок правої частини рівняння.
Таким чином, рух матеріальної точки під дією відновлюючої та вимушуючої сил та сили опору середовища, пропорційної швидкості точки являє собою накладання власне вимушених коливань на затухаючі коливання при b < k, або накладання вимушених коливань на аперіодичний рух при 
.
Наявність множника 
обумовлює швидке затухання власних коливань. Тому, в багатьох розрахунках, особливо в випадку режиму, що установився, необхідно враховувати, головним чином, вимушені коливання.
8.1.1. Вид вимушених коливань за наявністю опору.
З аналізу попереднього рівняння:
,
витікає, що вимушені коливання матеріальної точки при наявності опору середовища, що пропорційний швидкості точки, є гармонічними коливаннями, тому що їх амплітуда 
, не змінюється з течією часу, тобто вимушені коливання під впливом опору не затухають, тому що вимушуюча сила весь час підтримує коливальний рух точки.
8.1.2. Частота та період вимушених коливань.
Опір не впливає на частоту та період вимушених коливань, тому що частота р та період 
вимушених коливань точки при наявності опору дорівнюють частоті та періоду зміни вимушуючої сили.
8.1.3. Фаза вимушених коливань.
Фаза вимушених коливань точки при наявності опору 
відстає від фази вимушуючої сили 
на величину , що називається зсувом фази.
Як вже зазначалось, кут знаходиться в першій або другій четвертях 
і його можна визначити за формулою:
.
Поділимо чисельник та знаменник правої частини цієї рівності на 
.
З формули видно, що зсув фаз залежить від відношення 
, що характеризує вимушуючу силу, та від відношення 
що характеризх е опір середовища.
На рисунку 8.1.3. побудовано графік залежності в градусах кута від відношення 
при сталих значеннях 
; 0,25; 0,05; 0.
| При відсутності опору b = 0 (z = 0) і  . В цьому випадку  для вимушених коливань малої частоти (p < k).
Якщо p = k, то при будь-якому значенні коефіцієнта затухання b
 ,  .
| |||
| Рисунок 8.1.3. Графік залежності в градусах кута від відношення .
|
8.1.4. Амплітуда вимушених коливань.
Амплітуда вимушених коливань точки при наявності опору визначається за формулою:
.
Амплітуда вимушених коливань змінюється зі зміною величин k, b, p.
Досліджуємо залежність амплітуди вимушених коливань від частоти вимушуючої сили, для чого скористаємося коефіцієнтом динамічності 
.
Коефіцієнт динамічності дорівнює відношенню амплітуди вимушених коливань під дією вимушуючої сили 
до статичного відхилення точки від початку координат 
під дією сталої сили Н:
, де 
.
Тоді:
.
На рисунку 8.1.4. приведені графіки зміни коефіцієнта динамічності від співвідношення при різних значеннях .
| За умови відсутності опору (b = 0) явище резонансу (р = к)виражається в прагненні амплітуди вимушених коливань до нескінченності.
За наявності опору амплітуда, що визначена по формулі:
при p = k має кінцеву величину  .
Знайдемо значення частоти вимушуючої сили р, при якому амплітуда має максимальне значення.
| |||
| Рисунок 8.1.4. Графіки зміни коефіцієнта динамічності від співвідношення при різних значеннях .
|
Це відповідає мінімальному значенню підкорінного виразу в знаменнику формули для визначення .
Для цього знайдемо похідну підкорінного виразу по р і прирівняємо її до нуля:
.
Знаходимо корні цього рівняння:
,
, 
.
Звідси, корні рівняння дорівнюють:
, 
.
При 
,
.
При 
,
.
Таким чином,
.
При невеликих значеннях b величина 
дуже близька до величини k. При b = 0,05 k: 
.
В цьому випадку 
.
Таким чином, при малих значеннях b при 
виникає різке збільшення амплітуди . Зі збільшенням коефіцієнта bвеличина 
зменшується. Максимум амплітуди вимушених коливань при наявності опору існує тільки за умови 
, тобто при 
.
При 
максимума не існує, тобто ординати кривих (рис. 4.17) тільки зменшуються при збільшенні .
Оскільки має максимум при , то по мірі збільшення b ці значення р зменшуються, тобто точки максимума на лініях залежності коефіцієнта динамічності від (рис.4.17) зміщуються вліво від прямої 
.
Таким чином, вплив опору на вимушені коливання матеріальної точки виражається в зсуві фази коливань відносно фази вимушуючої сили та в зміні амплітуди коливань по мірі зростання опору.
Відзначимо основні властивості вимушених коливань з урахуванням сили опору середовища, пропорційній першій степені швидкості:
1. Вимушені коливання - коливання, що не затухають, з частотою вимушуючої сили.
2. Вимушені, коливання не залежать від початкових умов; амплітуда вимушених коливань завжди кінечна.
3. У випадку резонансу амплітуда вимушених коливань стала.
4. На протязі достатнього проміжка часу, тобто при деякому значному t, власними коливаннями матеріальної точки можна знехтувати і вважати
x1 = 0, x = x2.
ЛЕКЦІЯ 9.
ДИНАМІКА ВІДНОСНОГО РУХУ ТОЧКИ.
План.
9.1.Диференціальні рівняння відносного руху точки.
9.2. Окремі випадки відносного руху точки.
9.2.1. Рухомі осі координат здійснюють нерівномірне обертання навколо нерухомої осі.
9.2.2. Рухомі осі координат здійснюють рівномірне обертання навколо нерухомої осі.
9.2.3. Рухомі осі координат рухаються поступально.
9.2.4. Точка по відношенню до рухомих осей знаходиться в стані спокою.
9.3. Принцип відносності класичної механіки.
9.1. Диференціальні рівняння відносного руху точки.
Попередні теми були присвячені вивченню руху матеріальної точки у відношенні до інерціальної системи відліку (умовно "нерухомої"), тобто такої системи, в якій ізольована матеріальна точка зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху.
Рух точки у відношенні до такої інерціальної системи відліку називається абсолютним.
Для вивчення руху матеріальної точки в нерухомій системі координат, як відомо, простим та зручним математичним апаратом є методи динаміки, в основу якої покладені закони Ньютона.
Необхідно зазначити, що далеко не завжди зручно відносити всі види руху до інерціальних систем відліку. Наприклад, при дослідженні руху супутника або міжконтинентальної ракети нам необхідно врахувати обертання Землі навколо її осі, тобто при розв'язання цих задач Землю не можна вважати інерціальною системою відліку. Пов'язувати ж систему відліку з Сонцем незручно, тому що ми знаходимося на Землі і нас цікавить рух відносно Землі.
Ці та інші приклади приводять до висновку, що рівняння руху матеріальної точки необхідно вміти складати в будь-якій системі відліку.
В цьому розділі ми будемо вивчати рух точки масою М у відношенні до неінерціальної системи відліку ОХУ, тобто такої системи, яка довільним чином (з прискоренням) рухається відносно інерціальної системи відліку OX1Y1Z1, як зображено на рисунку 9.1.
| Рух точки M у відношенні до такої неінерціальної системи відліку називають відносним.
Нехай положення точки М на траєкторії відносного руху АВ визначається радіус-вектором  і точка мас відносну швидкість  , та відносне прискорення  .
Позначимо рівнодіючу всіх прикладених до точки М сил вектором  .
| |||
| Рисунок 9.1. Рух точки у відношенні до неінерціальної системи відліку ОХУ, яка довільним чином рухається відносно інерціальної системи відліку OX1Y1Z1. |
Ця сила створює абсолютне прискорення точки в нерухомій системі координат.
Таким чином, за другим законом динаміки
, де 
.
Щоб записати закон руху цієї ж точки відносно неінерціальної системи відліку, тобто закон її відносного руху, використаємо теорему Коріоліса:
,
де: - відносне прискорення точки;
- переносне прискорення;
- коріолісове прискорення.
Маємо:
.
Виражаємо 
через інші члени:
.
Розглядаючи праву частину рівності можна зробити висновок, що сила, яка діє на точку і створює її відносне прискорення , складається з трьох сил: беспосередньо прикладеної до точки сили та двох додаткових сил, що спостерігаються тільки в рухомій системі відліку.
Необхідно звернути увагу на те, що вектори: 
та 
ми можемо назвати силами дякуючи фізичній розмірності цих величин та беспосередній можливості вимірювати, їх динамометром.
Сила, яка числено дорівнює добутку маси точки, що рухається на її переносне прискорення та спрямована протилежно цьому прискоренню, називається переносною силою інерції 
: 
.
Сила, яка числено дорівнює добутку маси точки, що рухається, на її коріолісове прискорення та спрямована протилежно цьому прискоренню, називається коріолісового або поворотною силою інерції 
: 
.
Отримаємо:
.
Таким чином, для того, щоб закон руху матеріальної точки в будь-якій системі відліку мав таку ж форму, як і в інерціальній системі, ми повинні прикласти до точки окрім рівнодіючої заданих сил, ще й переносну та коріолісову сили інерції.
В кінематиці всі системи відліку були еквівалентні і точки зору спостерігачів, котрі пов'язані з цими системами відліку, були рівноправними.
В динаміці ця еквівалентність приведених систем відліку та рівноправність точок зору пов'язаних з ними спостерігачів порушується. Існує "привілейована" система відліку (інерціальна), в якій закон руху записується в його найпростішій формі, а в інших системах відліку, що рухаються відносно інерціальної, той самий закон записується в більш складній формі.
Існування такої "привілейованої" системи відліку характерна риса класичної динаміки.
Складемо диференціальні рівняння відносного руху матеріальної точки.
Нехай нам відомий закон відносного руху: 
, 
, 
.
Тоді проекції відносного прискорення точки на осі координат дорівнюють:
, 
, 
.
Проектуючи рівняння на осі рухомої системи координат OXYZ отримаємо диференціальні рівняння відносного руху точки:
, 
, 
.
Бачимо, що зміна відносного руху точки М може виникати за двох причин:
по-перше, в результаті механічної взаємодії цієї точки з іншими матеріальними об'єктами;
по-друге, внаслідок довільного (прискореного) руху системи відліку OXYZ, у відношенні до системи відліку O1X1Y1Z1.
При цьому мірою вимірювання відносного руху точки М, що виникло в результаті механічної взаємодії цієї точки з іншими матеріальними об'єктами, є активна сила .
Мірою того ж самого вимірювання відносного руху точки, що обумовлено неінерціальністю рухомої системи відліку OXYZ, є переносна та коріолісова сили інерції ( , ).
Сили інерції та за своїм визначенням , , не є результатом механічної взаємодії точки М з іншими матеріальними об'єктами зовнішнього світу. Поява цих сил повністю обумовлена рухом неінерціальноі системи відліку OXYZ у відношенні до інерціальної системи O1X1Y1Z1 та рухом точки М відносно неінерціальної системи відліку OXYZ.
9.2. Окремі випадки відносного руху точки.
Розглянемо деякі окремі випадки відносного руху точки.
9.2.1. Рухомі осі координат здійснюють нерівномірне обертання навколо нерухомої осі.
В цьому випадку переносне прискорення дорівнює геометричній сумі нормального та дотичного прискорень:
.
У відповідності з цим переносна сила інерції має дві складові:
- дотична сила інерції,
- нормальна сила інерції,
де: 
,
.
, 
- алгебраїчна величина кутової швидості та кутової о прискорення переносного обертання;
r - відстань в даний момент від матеріальної точки до осі обертання.
Коріолісове прискорення дорівнює: 
.
Модуль коріолісового прискорення дорівнює:
.
Коріолісова си.да інерції спрямована протилежно коріолісовому прискоренню точки, а її модуль дорівнює:
.
Напрямок коріолісової сили інерції протилежний напрямку прискорення , перпендикулярно до векторів 
та , тобто перпендикулярно як до осі переносного обертання, так і до дотичної траєкторії відносного руху точки. Остаточно, рівняння відносного руху точки має вигляд:
.
9.2.2. Рухомі осі координат здійснюють рівномірне обертання навколо нерухомої осі.
В цьому випадку: 
, 
. Тоді основне рівняння динаміки відносного руху точки приймає вигляд:
.
9.2.3. Рухомі осі координат рухаються поступально.
Коріолісова сила інерції за визначенням дорівнює:
.
Так як
,
тоді 
.
В даному випадку 
та 
. Тому закон відносного руху точки при поступальному переміщенні рухомих осей має вигляд:
.
9.2.4. Точка по відношенню до рухомих осей знаходиться в стані спокою.
Якщо матеріальна точка по відношенню до рухомої системи відліку знаходиться в стані спокою, то для такої точки 
, 
, 
.
Отже, коріолісова сила інерції
.
Отримуємо:
.
Це рівняння відносної рівноваги (спокою) точки, з якого випливає, що для відносної рівноваги матеріальної точки в рухомій системі координат необхідно і достатньо, щоб безпосередньо прикладена до точки сила та переносна сила інерції взаємно зрівноважувались.
9.3. Принцип відносності класичної механіки.
Розглянемо випадок, коли рухомі вісі координат рухаються поступально, рівномірно та прямолінійно.
В цьому випадку прискорення Коріоліса дорівнює нулю, тому що , отже дорівнює нулю і коріолісова сила інерції.
Окрім того, при поступальному переносному русі переносні прискорення всіх точок геометричне дорівнюють переносному прискоренню початку координат, тобто дорівнюють нулю, бо ця точка за умовою рухається прямолінійно та рівномірно.
Таким чином, у випадку, що розглядається маємо: 
,
і рівняння руху має вигляд: 
.
Ми отримали важливий результат: будь-яка система відліку, що рухається відносно інерціальної системи відліку поступально, прямолінійно та рівномірно є також інерціальною системою відліку і всі механічні процеси в цих двох системах відліку протікають однаково.
Це положення називається принципом відносності класичної механіки або принципом відносності Галілея-Ньютона.
З визначення випливає, що існує безліч інерціальних систем, тому що всяка система відліку, що знаходиться в стані поступального, рівномірного та прямолінійного руху відносно інерціальної системи відліку буде також інерціальною системою відліку.
Оскільки закони динаміки однакові для всіх інерціальних систем відліку, то у всіх цих системах механічні явища протікають однаково.
Іншими словами: якщо ми знаходимося в лабораторії, обладнаній будь-якими вимірювальними приладами, але не маємо можливості прямим спостеріганням за зовнішніми предметами виявити рух нашої лабораторії, то ніякими вимірювальними приладами ми не взмозі виявити її поступального, прямолінійного та рівномірного руху, але будь-який рух лабораторії при порушенні хоча жодного з вказаних трьох обмежень можливо виявити при допомозі вимірювальних приладів.
Наведемо математичне формулювання принципа відносності класичної механіки.
Нехай допоміжна система відліку OXYZ рухається відносно основної інерціальної системи O1X1Y1Z1 в напрямку осі O1X1 поступально та рівномірно з постійною швидкістю 
, як наведено на рисунку 9.3.
Координати однієї й тієї ж точки М в обох системах відліку пов'язані відношеннями:
.
Тобто, прискорення точки в обох системах відліку одне і те ж.
Оскільки сила, як міра механічної дії тіл, не повинна залежати від вибору системи відліку, то ми бачимо, що рівняння руху матеріальної точки інваріантні відносно цього перетворення, що називається перетворенням Галілея.
На основі викладеного можна зробити наступні висновки:
| 1. Розглядаючи рух точки в неінерціальній системі відліку, ми ввели сили інерції для того, щоб надати рівнянням руху такий самий вигляд, який вони мають в інерціальній системі відліку, тобто зробили так, щоб в лівій частині рівняння стояв тільки добуток маси точки на її прискорення відносно неінерціальної системі відліку. 2. Вводячи вказаним способом сили інерції, ми не можемо назвати їх силами в звичайному (фізичному) значенні слова, тому що не маємо можливості вказати їх фізичного джерела (походження). | |||
| Рисунок 9.3. Рух допоміжної системи відліку OXYZ відносно основної нерціальної системи O1X1Y1Z1. |
Іншими словами, ми не маємо можливості зробити так, щоб для них одночасно виконувались співвідношення 
та був справедливим принцип рівності дії та протидії. Тому ми назвали ці сили фіктивними.
3. Характерною рисою класичної механіки є існування "привелейованої" (інерціальної) системи відліку, в якій рівняння руху записується в найбільш простій формі.
4. Найбільш істотне зауваження: всі задачі динаміки відносного руху ми маємо можливість розв'язувати не вводячи сил інерції, а оперуючи тільки силами, фізичне походження яких ми можемо вказати.
При розв'язанні задач ми вводимо сили інерції тому, що деякі задачі можливо розв'язати швидше та простіше за допомогою сил інерції.
ЛІТЕРАТУРА
1. Павловський М.А. Теоретична механіка. – К. : Техніка, 2002.
2. Воронков И.М. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1989.
3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Наука, 1988.
4. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - М.: Наука, 1990.
5. Павловський М.А., Акінфієва Л.Ю., Юрокін A.I., Свістунов С.Я. Кінематика та динаміка точки. - Київ: Либідь, 1993.
6. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Ф., Курс теоретической механіки, т.1, 2 М., 1979 г.
7. Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике./ Под ред. А.А. Яблонского. - М.: Высшая школа, 1989.
ЗМІСТ
с.
Лекція 1. Введення в дінаміку. Диференціальні рівняння руху точки 1
Лекція 2. Дві основні задачі динаміки точки 11
Лекція 3. Окремі випадки інтегрування рівнянь руху точки 22
Лекція 4. Окремі випадки інтегрування рівнянь руху точки (продовження) 31
Лекція 5. Теорія коливань 40
Література 98