Связь между корнем многочлена и делимостью его на линейные множители. Схема Горнера
Если число α является корнем многочлена Pn(x), то этот многочлен без остатка делится на линейный двучлен (x- α)
Понятие простого и кратного корней многочлена. Доказать теорему о целом и рациональном корнях многочлена с целыми коэффициентами.
Если число α является k-кратным корнем многочлена Pn(x), то α будет корнем кратности k-1 первой производной этого многочлена. Если α – простой корень многочлена Pn(x), то число α не является корнем многочлена Pn’(x).
Сформулировать основную теорему алгебры. Следствие о разложении многочлена n-ой степени в произведение n линейных сомножителей.
Основная теорема алгебры: всякий многочлен степени не меньше первой имеет не меньше 1-го корня.
Всякий многочлен Pn(x) не нулевой степени, с любыми числовыми коэффициентами может быть представлен в виде произведения n линейных множителей, причём единственным образом с точностью до порядка расположения.
Следствие о количестве корней многочлена n-ой степени.
Всякий многочлен Pn(x) не нулевой степени, с любыми коэффициентами имеет n-корней, в общем случае комплексных, при этом каждый корень подсчитывается столько раз, какова его кратность.
75) Многочлен с действительными коэффициентами. Леммы о комплексно-сопряжённых корнях и о делимости многочлена на квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами. Следствие основной теоремы о разложении многочлена в произведение непереводимых сомножителей.
Многочлен с действительными коэффициентами – это многочлен, у которого все коэффициенты являются действительными числами.
Лемма 1: Если комплексное число α является корнем многочлена Pn(x), то и сопряженное ей число α1 так же является корнем этого многочлена.
Лемма 2: Если α и α1 комплексно-сопряженные корни многочлена Pn(x), то это многочлен делится нацело, то этот многочлен делится нацело на неприводимый квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами.
Всякий многочлен Pn(x) не нулевой степени, с любыми числовыми коэффициентами может быть представлен в виде произведения n линейных множителей, причём единственным образом с точностью до порядка расположения.
Дробно-рациональная функция.
Правильная и простейшие рациональные дроби. Теорема о представлении рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби. Алгоритм разложения правильной дроби в сумму простейших дробей.
Рациональная дробь, у которой степень числителя меньше степени знаменателя называется правильной.
Рациональная дробь называется простейшей, если её знаменатель является неприводимым многочленом, а степень числителя равна 0 или 1 (0, если в знаменателе стоит бином, и 1, если – квадратный трёхчлен).
Всякая рациональная дробь представима, притом единственным образом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Разложение правильной дроби в сумму простейших:
