Теоретичні основи оптимізації

Проектування й конструювання пов’язані з необхідністю вибору. При цьому рішення можуть прийматись на різній підставі, як це показано у попередньому розділі.

Можна подивитись до атласу, узяти там перший ліпший штамп, прийняти його за варіант вибору, обов’язково пославшись на джерело. Це буде бездумний вибір. Вище показано, до яких сумних наслідків це може призвести. Можна взяти кресленик штампа, який розроблений спеціалістами певного заводу і на «дралоскопі» перемалювати його, видавши за свою конструкцію. Це буде плагіат – привласнення чужої інтелектуальної власності. Це кримінал! На жаль, студенти вчиняють так досить часто. Але (не беручи до уваги морального аспекту!) таке рішення також далеко не завжди буває оптимальним, тому що, по-перше, заводський спеціаліст міг бути поганим студентом, по-друге, він часто використовує шаблонні (далеко не завжди оптимальні!) рішення, а по-третє, за час його роботи на підприємстві у науці багато чого змінюється, що, безумовно, віддзеркалюється у певних курсах спеціальності. Тому треба шукати оптимальне для заданих умов рішення, тобто розглянути кілька можливих варіантів конструкції, для кожного з них скласти математичну модель, визначити так званий критерій оптимізації, вирахувати його значення і вибрати той з варіантів, для якого критерій буде мінімальним (або максимальним). Це й забезпечить оптимізацію.

Методи оптимізації успішно використовують у різних галузях народного господарства. Їхнє застосування особливо ефективне для багатьох технічних систем, зокрема штампів та ковальсько-штампувального обладнання. Але треба мати на увазі наступне: 1) для оптимізації треба мати упевненість у тому, що існує область можливих рішень, тобто, є кілька технічних систем, з яких можна вибирати; 2) для оптимізації треба розробити (скласти, створити, побудувати…) математичну модель; 3) для оптимізації треба визначити і обґрунтувати критерій; 4) для оптимізації треба мати потужну обчислювальну техніку; 5) для оптимізації треба мати сучасне програмне забезпечення, яке орієнтоване саме на оптимізацію; 6) треба чітко додержуватись процедури оптимізації, яка у деяких випадках досить складна.

Зазначимо, що усі ці складові оптимізації потрібні для, так званої, первинної оптимізації (коли ми вперше оптимізуємо ту чи іншу технічну систему). В подальшому ми можемо використовувати вже отримані результаті і спиратись на здобутий досвід. Це треба мати на увазі, бо процедури первинної оптимізації найчастіше дуже складні та трудомісткі.

Методи оптимізації потрібні сучасному інженеру так само, як знання фізики, математики, креслення тощо. Тому треба навчити випускника вишу сучасним методам оптимізації.

Перш, ніж починати оптимізацію будь-якої системи, треба чітко визначити границі системи (ці питання детально розглядались в курсі «Теорія технічних систем»). Розширення границь підвищує складність задачі, звуження – зменшує ефективність її рішення. Тому, з одного боку, треба прагнути до спрощення системи з метою полегшення пошуку оптимального рішення, а з іншого, не дуже спрощувати систему, щоб похибка рішення не була занадто великою, неприпустимою навіть для інженерних задач. Тут можна навести такі приклади. Для оптимізації конструкції пуансона можна розглянути його роботу окремо (як це зроблено, наприклад, в розділі 9). Ця задача досить проста. Якщо ж розглянути задачу у ширших границях, наприклад, у штампі, то точність буде вищою, але й значно підвищиться складність задачі, бо треба буде прийняти до уваги деформацію плит і колонок штампа. Нарешті, можна розглядати систему прес-штамп. Це взагалі дуже складна задача, бо до математичної моделі системи треба залучити багато змінних, в тому числі й стохастичних (наприклад, значень проміжків між поковзнем та напрямними преса, які є величинами імовірнісними). Саме через це і рішення буде імовірнісним, вельми неточним і не дуже корисним.

Наступний етап оптимізації – вибір та обґрунтування критерію, на основі якого була б можливість кількісно оцінити кожне з рішень, множина яких допустима для реалізації (тобто, технічно можлива).

Критерій оптимізації – в загальному випадку це функція часткових критеріїв оптимізації та коефіцієнтів ваги, яка для конкретної задачі має бути максимальною або мінімальною.

Частковий критерій оптимізації y – це функція незалежних змінних xk, які вибрані як основні параметри оптимізації технічної системи, яка має приймати або максимальні, або мінімальні значення.

В інженерних задачах найчастіше обирають критерії економічного характеру. Але зовсім непоодинокі випадки, коли критерій має віддзеркалити два або більше показника, які є суперечними. Наприклад, оптимізуючи таку систему, як літак, треба, з одного боку, забезпечити максимальну дальність його польоту, але з іншого, взяти на борт якомога більше вантажу. При проектуванні штампа треба, з одного боку, забезпечити мінімальну вартість його виготовлення, а з другого, отримати від цього штампа максимальну стійкість. Як бачимо, і для літака, і для штампа вимоги до конструкції суперечливі. Але для літака більша кількість вантажу означатиме скорочення дальності його польоту, а от збільшення вартості штампа – далеко не завжди забезпечуватиме збільшення його стійкості.

Іноді ці суперечності можна подолати. Наприклад, для штампа можна узяти такий комплексний критерій оптимізації, як питому вартість штампа, тобто вартість штампа, яка необхідна для виготовлення однієї деталі (відношення вартості виготовлення штампа та комплектів змінного інструменту для нього до кількості деталей, які цей штамп здатен виготовити за умов цілковитого зношення не тільки робочих деталей, але й усього штампа в цілому).

Іноді доводиться один з суперечних критеріїв вибрати за основний, а інші вважати вторинними і розглядати як обмеження. В окремих випадках приймають критерій оптимізації у такому вигляді

К = α1К1 + α2К2 + …+ αiКi, (14.2)

де α1, α2, … , αi – коефіцієнти ваги, числові значення яких мають задовольняти умові α1 + α2 + … + αi = 1;

К1, К2, … , Кi – часткові критерії оптимізації.

Треба мати на увазі, що такий комплексний критерій потребує дуже ретельного обґрунтування вибраних значень коефіцієнтів ваги αi. Зміна значень αi може суттєво вплинути на конструкцію, яка вважається оптимальною.

Наприклад, якщо для оптимізації гідравлічного преса (мінімізації витрат) прийняти К = α1К1 + α2К2, де К1 – вартість преса, а К2 – витрати на його експлуатацію, а також задати α1 = 0,9, α2 = 0,1, то такий прес буде надто складним і ненадійним в експлуатації через те, що для зменшення вартості преса треба використовувати високий тиск рідини, що значно збільшить втрати робочої рідини, загальної витрати енергії та значного ускладнення конструкцій і обслуговування розподільчої апаратури.

Очевидно, що за умови α1 = 1 критерій К1 стає основним, а усі інші критерії визначають обмеження. Наприклад, критерій К2 (економічність в експлуатації згаданого вище преса) перетворюється у обмеження виду gj (x) ≤ 0.

Третій крок оптимізації – вибір незалежних змінних xk, які мають адекватно описувати допустимі варіанти виконання технічної системи у відповідності із умовами її функціонування та границями. Тут треба звертати увагу на те, який рівень деталізації ми розглядаємо (тобто, в яких границях ми хочемо отримати результат). Важливо завжди пам’ятати, що задача оптимізації буде тим легшою, чим меншою буде кількість незалежних змінних у математичній моделі технічної системи, яка підлягає оптимізації. Інакше кажучи, не треба перевантажувати задачу великою кількістю дрібниць. Перед тим, як формулювати задачу оптимізації і вибирати незалежні змінні математичної моделі хk, треба провести ранжування (за експертними оцінками, або за спеціальним, так званим відсіювальним експериментом), щоб у моделі розглядати лише ті незалежні змінні, які суттєво впливають на критерій оптимізації.

Наступний крок – це побудова математичної моделі, що описує взаємні зв’язки між незалежними змінними (які ми прийняли до розгляду) та критерієм оптимізації й обмеженнями. Треба зауважити, що математична модель може бути детермінованою (тобто отриманою аналітично, як це показано у розділі 10.1, рівняння (10.02)) або стохастичною (тобто отриманою на підставі експериментальних досліджень). В останньому випадку треба оцінити розсіювання експериментальних даних і за допомогою критерію Стьюдента оцінити вірогідність отриманого результату (значення довірчого інтервалу).

Звичайно, оптимізацію можна здійснити безпосередньо експериментальним шляхом, але для складної технічної системи це дуже коштовна річ. Крім того, вона вимагає дуже багато часу. Якщо ж треба оптимізувати технічну систему, яка виробляється серіями або навіть індивідуально, то емпіричний шлях оптимізації взагалі виключається.

Останній крок – це процедура оптимізації.

Розрізняють безумовну та умовну оптимізацію [18].

Безумовну оптимізацію ми вже попередньо розглянули (це оптимізація розмірів тари, яка показана на рис. 10.2). Задача умовної оптимізації формулюється таким чином: мінімізувати (максимізувати) функцію

y = f (xk )

якщо є такі обмеження: Gi (xk)= 0, i = 1, 2,…, I

gj (xk) ≥ 0 або gj (xk) ≤ 0, j = 1, 2,…, J (10.3)

Ak ≥ xk ≥ Bk, k = 1, 2,…, K

Тут у – числове значення прийнятого критерію оптимізації КО;

xk – вектор незалежних змінних, які описують математичну модель (наприклад, розміри квадратиків х, які треба вирізати у листі, щоб отримати тару максимального об’єму (див. рис. 10.2 у попередньому розділі));

I – кількість обмежень виду Gi (xk) = 0;

J – кількість обмежень виду gj (xk) ≥ 0 або gj (xk) ≤ 0;

K – кількість незалежних змінних, які описують математичну модель.

Пояснимо, звідки беруться обмеження. У реальних умовах на конструкцію штампа накладаються численні обмеження: функціональні Gi (xk), обласні або екстремальні gj (xk). Перші з них завжди виражаються у вигляді рівності. Наприклад: «Закрита висота штампа має дорівнювати Ншмм». Обласні обмеження відрізняються від функціональних тим, що вони виражаються нерівностями. Наприклад: «Проміжок між пуансоном і матрицею не може перевищувати ∆П». В екстремальних обмеженнях виражаються вимоги про те, щоб деякі параметри були максимально можливими (більшими або меншими). Наприклад: «Вертикальна жорсткість штампа має бути як можна більшою» (бо це дуже впливає на точність штампування).

Задачі оптимізації у такій постановці (з обмеженнями) дають умовний мінімум (або максимум).

Безумовний мінімум (або максимум, як це показано у прикладі з ящиком максимального об’єму, що виготовлений з листа сталевої бляхи розмірами B, L) дають тільки ті задачі, для яких I = J = 0.

Класифікація задач оптимізації та методи їх рішення детально розглянуті в роботах [18, 19]. Деякі задачі, що пов’язані з оптимізацією технічних систем в машинобудуванні, мають кілька мінімумів (максимумів). Наприклад, відома функція Хіммельблау

F (x) = [ x12 + x2 – 11]2 + [ x1 + x22 – 7]2 (10.4)

має аж чотири мінімуми. Якщо зважити, що подібна функція може описувати деяку технічну систему, то можна отримати чотири оптимальних за критерієм оптимізації варіантів, які відрізнятимуться більшою чи меншою складністю. Отже, як оптимальну треба вибрати таку з чотирьох можливих, яка є найпростішою з точки зору або реалізації (виготовлення), або експлуатації чи інших обмежень, які встановлені для цієї системи (10.3).

Викладену вище процедуру оптимізації можна представити у вигляді схеми (рис. 48).

 

 


Рис. 48. Формальна схема оптимізації

Якщо область оптимізації обмежити задачами інженерної практики, то можна зазначити два фундаментальних правила технічної дії: 1) отримання бажаного ефекту за наявності мінімуму витрат; 2) отримання максимального ефекту при використанні заданих обмежених ресурсів.

Оптимізація була притаманна навіть ремісницькому виробництву. Безумовно, в ті часи вона здійснювалась або несвідомо, або інтуїтивно. Прагнення до оптимальних рішень часто були пов’язані з ризиком. Але помилки та невдачі були наслідками вибору неправильних критеріїв. Таке положення залишається й по сьогодні.

Хибні критерії оптимізації приймають, на жаль, дуже часто. Ось характерний приклад. На початку 90-х років у пресі розповідалось про те, як провалилась ідея оптимізації транспортної системи у Москві. Коли вчені підбили підсумки, виявилось, що план по тонно-кілометрах недовиконаний (усі транспортні засоби працювали з коефіцієнтом використання меншим, ніж це було заплановано Міністерством), план по використанню пального зірваний (була значна економія палива, тому водії зливали бензин або дизпаливо прямо на землю!), план по трудомісткості провалений (шофери не повністю використовували свій робочий час). Через це вчені отримали догану від Міністра автомобільного транспорту. Але про повне задоволення плану перевезень (основна мета використання автотранспортних засобів!), а також значну економію коштів Міністр не сказав. Ось такі критерії ефективності роботи ми мали за часів СРСР!

 

 

Вівторок, 26 березня 2013 р. 18:40