Порівняння нескінченно малих

якщо f(x) і j(x) – нескінченно малі при x®а, причому а може бути як числом, так одним із символів , тоді справедливі наступні визначення.

Якщо

, то f(x) називається нескінченномалою вищого порядку малості, у порівнянні з функцією j(x), а функція j(x) називається нескінченномалою нижчого порядку малості, у порівнянні з f(x).

Якщо

, то f(x) називається нескінченно малою нижчого порядку малості, у порівнянні з j(x), а j(x) називається нескінченномалою вищого порядку малості, у порівнянні з функцією f(x).

Якщо

, то нескінченно малі f(x) і j(x) називаються нескінченномалими одного порядку.

Якщо

, то нескінченно малі f(x) і j(x) називаються еквівалентними.Позначення f(x) ~ j(x).

Якщо

, то f(x) називається нескінченномалою k-го порядку малості, у порівнянні з j(x).

Границя відношення двох нескінченно малих не зміниться, якщо кожну з них або яку-небудь одну замінити еквівалентними ним.

При обчисленні границь функцій зручно користатися такими основними еквівалентностями.

Основні еквівалентності при

, , , ,

, , .

Приклад 2.17.Довести, що функції і при x ® 0 є нескінченно малими одного порядку.

Розв’язання.Знайдемо границю відношення заданих функцій:

Таким чином, дані функції є нескінченно малими одного порядку.

Приклад 2.18.Чи єеквівалентними функції і при x ® 0?

Розв’язання.Знайдемо границю відношення цих функцій:

Таким чином, функція є нескінченно малою більш високого порядку, ніж функція , тобто дані функції не еквівалентні.

Приклад 2.19.Довести,щонескінченно малі функції і при x®0 є еквівалентними.

Розв’язання.Очевидно, що . Отже, і при x ® 0 еквівалентні.

Визначні границі

Перша визначна границя.

При обчисленні границь тригонометричних виразів часто використовують формулу

. (2.5)

Формула (2.5) називається першою визначною границею і застосовується для розкриття невизначеностей виду .

Справедливі наступні відношення:

, , . (2.6)

Приклад 2.20. Знайти границю .

Розв’язання. При х 0, 7х також прямує до нуля, тому, помноживши чисельник і знаменник на 7, одержимо

Зауваження.Вирази

називаються робочими формулами першої визначної границі.

Приклад 2.21.Знайти границю: .

Розв’язання.Використовуємо робочу формулу першої визначної границі та знаходимо квадрат границі, отримуємо:

Приклад 2.22.Знайти границю .

Розв’язання. При х 0, маємо невизначеність тому, замінюючи еквівалентним , отримуємо:

Приклад 2.23.Знайти границю .

Розв’язання. за формулою (2.5), тому що при .

Друга визначна границя

Вираз

(2.7)

називається другою визначною границею. число e ірраціональне. Наближене значення e » 2,7182818. Співвідношення (2.7) можна записати у виді

. (2.8)

Другу визначну границюзастосовують при розкритті невизначеності .

Приклад 2.24.Знайти границю .

Розв’язання. При х , маємо невизначеність тому, перетворюючи вираз, що знаходиться під знаком границі, одержимо

Зауваження.Вирази:

. (2.9)

є робочими формулами другої визначної границі.

Приклад 2.25.Знайти границю .

Розв’язання.При х , маємо невизначеність . використовуємо властивість .

Приклад 2.26.Знайти границю .

Розв’язання.Спочатку перетворимо вираз, що стоїть під знаком границі, використовуючи властивості логарифмів

Приклад 2.27.Знайти границю .

Розв’язання.При х 0, маємо невизначеність тому, виконавши перетворення з використанням властивостей логарифмів, одержимо

Приклад 2.28.Знайти границю .

Розв’язання. При х 0, маємо невизначеність тому переходимо до нової змінної:

Неперервність функції