Опуклість і угнутість графіка функції. Точки перегину
Графік функції 
, яка диференційовна на інтервалі 
, називається опуклим вниз (угнутим) на інтервалі , якщовін розташований вище будь-якої її дотичної на цьому інтервалі. Графік функції називається опуклим вгору на інтервалі , якщо він розташований нижче будь-якої її дотичної на цьому інтервалі.
Точка графіка неперервної функції 
, яка відділяє його частини різної опуклості, називається точкою перегину.
На рисунку 2.10 крива опукла вгору в інтервалі 
, опукла вниз в інтервалі 
точка 
) — точка перегину.
Інтервали опуклості вниз і вгору знаходять за допомогою наступних теорем.
Рис. 2.10
Теорема 1. Якщо функція , у всіх точках інтервалу має від’ємну другу похідну, тобто 
, то графік функції в цьому інтервалі опуклий вгору. Якщо ж 
у всіх точках інтервалу , то графік функції — опуклий вниз.
Теорема 2 (достатня умова існування точок перегину). Якщо друга похідна 
або не існує в точці 
і під час переходу через точку змінює знак, то точка графіка функції з абсцисою є точка перегину.
Точки, в яких , або  , або  не існує (ні скінченна, ні нескінченна) називають критичними точками 2-го роду.
|
Приклад 2.52. Знайти точки перегину кривої у = ln(4 + х2).
Розв’язання. Знаходимо другу похідну:
у¢¢ = 0 при х = ±2. Це абсциси точок, «підозрілих» на перегин (критичні точки 2-го роду). Інших критичних точок 2-го роду немає. Досліджуємо точки х = ±2, для чого складемо таблицю (таблиця 2). Тому що при переході через точки х = ±2 у¢¢ змінює знак, то точки з абсцисами х = ±2є точками перегину.
. Отже, точки А(+2, ln 8), В(-2, ln 8) – точки перегину графіка функції у = ln(4 + х2).
Таблиця 2
| x | (-¥; -2) | -2 | (-2; 2) | (2; ¥) | |
| у¢¢ | - | + | - | ||
 Графік у
|  опуклий
| Точка перегину |  угнутий
| Точка перегину | опуклий |
Зауважимо, що таблиця містить також інтервали опуклості й угнутості графіка функції. В інтервалах при 
(- ¥, -2), (2, ¥) графік опуклий (у¢¢ < 0), в інтервалі (-2, 2) графік угнутий (у¢¢ > 0).
Асимптоти кривої
Пряма називається асимптотоюкривої, якщо відстань від точки М кривої до цієї прямої наближається до нуля при віддаленні точки М в нескінченність уздовж кривої. Інакше кажучи, крива у = f(x), яка має нескінчену гілку,необмежено наближається до своєї асимптоти при віддаленні змінної х у нескінченність (рис 2.11).
Рис. 2.11.
Асимптоти бувають вертикальні, горизонтальні та похилі.
1. Якщо в точці х0 =а функція має розрив другого роду, то пряма х = а може бути вертикальною асимптотою графіка функції.
2. Якщо при 
дляфункції існує скінченна границя, тобто 
або 
то пряма 
є горизонтальною асимптотою графіка функції.
3. Рівняння будь-якої похилої асимптоти має вид:
y = kx+ b .(2.20)
Для визначення похилої асимптоти до графіка функції у = f(x), треба знайти числа k та b за формулами:
. (2.21)
Границі треба обчислювати окремо для випадків 
, та 
, але часто ці границі збігаються.
Зауваження.Якщо хоча б одна з цих границь 
не існує, то похилих асимптот не існує. Зауважимо також, що горизонтальні асимптоти є окремим випадком похилих асимптот при k = 0.
Приклад 2.53. Знайти асимптоти до графіка функції 
.
Розв’язання. При 
функція у не існує і має розрив в точці х=1. Визначимо вид розриву, для чого знаходимо лівобічну та правобічну границі:
.
.
В точці 
функція має розрив другого роду, тому пряма є вертикальна асимптота.
Похилі асимптоти шукаємо у виді у = kx+ b.
визначаємо спочатку k
похила асимптота відсутня.
Знаходимо горизонтальні асимптоти: 
. 
. Рівняння горизонтальної асимптоти 
.