Charakteristiky variability 6 страница

První krok

Druhý krok

⇐ Назад

Příklad 1.6

U 38 domácností jsme sledovali měsíční výdaje za potraviny (v Kč). Zjištěné údaje poskytuje tabulka 1.18.

Tabulka 1.18
Číslo domácnosti	Měsíční výdaje za potraviny	Číslo domácnosti	Měsíční výdaje za potraviny	Číslo domácnosti	Měsíční výdaje za potraviny
	9 921 9 119 12 358 7 793 7 073 5 925 8 115 10 075 11 455 7 068 6 038 9 844 9 005		10 057 9 454 6 879 7 580 8 894 7 435 6 299 9 271 8 045 9 442 10 400 10 283 7 278		8 451 9 608 8 860 12 097 7 441 7 036 5 659 6 825 7 231 6 089 9 484 8 857

Vypočtěte kvartily a kvartilové rozpětí.

Řešení:

Hodnoty měsíčních výdajů za potraviny nejprve uspořádáme podle velikosti vzestupně, tj. od nejmenší hodnoty po největší, viz tabulka 1.19.

Tabulka 1.19
Pořadí	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.
Hodnota	5 659	5 925	6 038	6 089	6 299	6 825	6 879	7 036

Pořadí	9.	10.	11.	12.	13.	14.	15.	16.
Hodnota	7 068	7 073	7 231	7 278	7 435	7 441	7 580	7 793

Pořadí	17.	18.	19.	20.	21.	22.	23.	24.
Hodnota	8 045	8 115	8 451	8 857	8 860	8 894	9 005	9 119

Pořadí	25.	26.	27.	28.	29.	30.	31.	32.
Hodnota	9 271	9 442	9 454	9 484	9 608	9 844	9 921	10 057

Pořadí	33.	34.	35.	36.	37.	38.
Hodnota	10 075	10 283	10 400	11 455	12 097	12 358

Rozsah výběru (počet statistických jednotek) n = 38 domácností.

Nejprve vypočteme dolní a horní kvartil. K výpočtu dolního kvartilu opět použijeme vztah (1.9), kdy 100p = 25, tedy p = 0,25

tedy

Získáváme, že m₂₅ = 10. Z tabulky 1.19 zjistíme, že 10. nejmenší hodnota je 7 073 Kč. Dolní kvartil tedy je

Obdobným způsobem vypočteme i horní kvartil, kdy 100p = 75, tedy p = 0,75

tedy m₇₅ = 29. Z tabulky 1.19 plyne, že 29. nejmenší hodnota je 9 608 Kč. Horní kvartil je

Zbývá výpočet mediánu, kdy 100p = 50, tedy p = 0,5

z tabulky 1.19 je zřejmé, že 19. nejmenší hodnota je 8 451 Kč a 20. nejmenší hodnota je 8 857 Kč. Medián vypočteme jako aritmetický průměr hodnot

Interpretace dosud vypočtených výsledků je obdobná jako v příkladu 1.5. Kvartilové rozpětí vypočteme jako rozdíl horního a dolního kvartilu

Na základě vypočteného kvartilového rozpětí můžeme konstatovat, že polovina, tj. 50 %, domácností má měsíční výdaje za potraviny v intervalu od 7 073 Kč do 9 608 Kč, tj. v rozmezí 2 535 Kč.

Příklad 1.7

V tabulce 1.20 máme k dispozici údaje o měsíčních nákladech na bydlení (v Kč) 33 domácností.

Tabulka 1.20
Číslo domácnosti	Měsíční náklady na bydlení	Číslo domácnosti	Měsíční náklady na bydlení	Číslo domácnosti	Měsíční náklady na bydlení
	6 838 9 116 8 386 9 546 9 950 9 030 9 755 7 310 6 536 9 676 9 288		6 405 8 257 6 708 8 558 7 776 8 160 8 988 7 870 8 798 8 342 6 966		7 956 6 902 6 816 7 320 6 794 7 482 6 139 8 531 9 423 9 925 8 125

Zkonstruujte číslicový dendrogram.

Řešení:

Protože číslicový dendrogram konstruujeme opět z neuspořádaných dat, budeme postupovat opět ve dvou krocích. Nejvyšší řád hodnot měsíčních nákladů na bydlení v tabulce 1.20 jsou tisíce, stonek číslicového dendrogramu budou tedy tvořeny tisíci (jsou zde číslice 6, 7, 8 a 9). Aby graf nebyl příliš široký, každou číslici napíšeme do stonku zase dvakrát, viz příklad 1.5. Druhý nejvyšší řád hodnot měsíčních nákladů na bydlení jsou stovky, listy budeme tedy tvořit stovkami. Číslice na ostatních nižších řádech (v tomto příkladu desítky a jednotky) zanedbáváme, ale nezaokrouhlujeme. K číslicím stonku postupně přiřazujeme číslice listů, přičemž se opět dohodneme, že číslice listů 0 až 4 budeme přiřazovat k příslušné horní číslici stonku a číslice listů 5 až 9 budeme přiřazovat k dolní dané číslici stonku. Zde končí první krok. V druhém kroku pouze číslice listů uspořádáme vzestupně, viz obrázek 1.16.

Obrázek 1.16

Příklad 1.8

Tabulka 1.21 představuje tabulku intervalového rozdělení četností měsíčního příjmu domácnosti (v Kč) 36 domácností.

Tabulka 1.21
Číslo	Hranice intervalu	Střed	Četnost	Kumulativní četnost
intervalu	dolní	horní	intervalu	absolutní	relativní	absolutní	relativní
	15 001 20 001 25 001 30 001 35 001 40 001	20 000 25 000 30 000 35 000 40 000 45 000	17 500 22 500 27 500 32 500 37 500 42 500		0,139 0,222 0,361 0,139 0,083 0,056		0,139 0,361 0,722 0,861 0,944 1,000

Odhadněte medián.

Řešení:

Ze sloupce kumulativních absolutních četností je zřejmé, že 36,1 % nejmenších hodnot měsíčního příjmu domácnosti se nachází v prvních dvou intervalech a 72,2 % nejmenších hodnot měsíčního příjmu domácnost je v prvních třech intervalech. Medián je 50% kvantil, z čehož vyplývá, že víme, že se bude s jistotou nacházet v prvních třech intervalech a že se nebude s jistotou nacházet v prvních dvou intervalech. Medián tedy musí být ve třetím intervalu.

Protože se jedná o 50% kvantil, 100p = 50 a p = 0,5. Horní hranice intervalu, ve kterém leží hledaný kvantil, je horní hranice třetího intervalu, tj. x_h = 30 000, dolní hranice intervalu, ve kterém leží hledaný kvantil, je dolní hranice třetího intervalu, tj. x_d = 25 001. Kumulativní relativní četnost v procentech odpovídající x_h je i_h = 72,2 % a kumulativní relativní četnost v procentech odpovídající x_d je vlastně kumulativní relativní četnost v procentech odpovídající horní hranici předcházejícího intervalu (dolní hranice daného intervalu vlastně odpovídá horní hranici předcházejícího intervalu), tj. i_d = 36,1 %. Medián odhadneme dosazením do vztahu (1.10)

Medián měsíčního příjmu domácnosti je přibližně

Cvičení

1. K dispozici máme následující údaje týkající se hrubého měsíčního příjmu 33 zaměstnanců jedné firmy, viz tabulka 1.22.

Tabulka 1.22
Číslo zaměstnance	Hrubý měsíční příjem	Číslo zaměstnance	Hrubý měsíční příjem	Číslo zaměstnance	Hrubý měsíční příjem
	25 405 29 335 28 234 29 333 27 245 30 845 26 894 24 444 25 679 27 385 27 853		27 354 31 856 28 353 26 893 23 555 22 843 24 788 25 785 27 784 25 689 24 333		28 965 27 466 27 888 29 974 28 758 29 486 29 544 25 784 27 543 28 864 24 796

Určete kvartily a kvartilové rozpětí.

2.Z tabulky intervalového rozdělení četností, viz tabulka 1.23, odhadněte přibližnou hodnotu sedmého decilu.

Tabulka 1.23
		Hranice intervalu	Četnost	Kumulativní četnost
	Interval	dolní	horní	absolutní	relativní	absolutní	relativní
					0,048 0,323 0,387 0,242		0,048 0,371 0,758 1,000

3. Z následující tabulky 1.24 určete kvartily a kvartilové rozpětí. Zkonstruujte krabičkový graf.

4. Následující hodnoty v tabulce 1.25 představují životnost 50 obrazovek téhož typu (tis.hodin) zaokrouhleno na stovky hodin. Vypočtěte kvartily.

Tabulka 1.25
13,5	13,0	12,2	13,8	13,5	13,5	14,1	14,5	13,2	13,0
13,4	13,9	13,4	13,1	13,1	13,6	12,6	13,3	13,8	14,1
12,6	14,7	12,5	14,3	13,4	13,7	13,9	13,6	12,9	13,3
13,7	11,9	13,3	11,6	13,7	15,0	14,5	14,4	13,2	13,1
13,1	14,2	14,8	14,1	13,2	15,1	14,2	12,6	13,9	13,7

Výsledky

4,5

1.6	Charakterizování polohy, variability a koncentrace hodnot číselné proměnné

Při popisu statistických souborů nás zajímá poloha, někdy říkáme úroveň, rozdělení četností a variabilita rozdělení četností. Méně často sledujeme další dvě vlastnosti, a to šikmost, někdy říkáme asymetrii, a špičatost, neboli exces rozdělení četností.

Charakteristiky polohy

Základní vlastností rozdělení četností je jeho poloha. Měříme ji pomocí různých druhů středních hodnot, které rozdělujeme v zásadě na dvě skupiny. Do první skupiny patří takové střední hodnoty, které se počítají z hodnot sledované proměnné všech statistických jednotek statistického souboru. Takovéto střední hodnoty se nazývají průměry, z nichž nejdůležitější jsou aritmetický průměr, harmonický průměr, geometrický průměra kvadratický průměr. Do druhé skupiny patří takové střední hodnoty, jejichž hodnoty jsou rovny pouze některým hodnotám proměnné ve statistickém souboru. Nejdůležitější z těchto středních hodnot je medián a modus. Průměry představují kvalitnější charakteristiku polohy, neboť jejich výpočet vychází z hodnot sledované proměnné všech statistických jednotek statistického souboru.

Střední hodnota číselné proměnné x nabývající hodnot x_j, j = 1, 2, ..., n, ze kterých některá hodnota je minimální hodnota, značíme x_min, a některá hodnota je maximální hodnota, značíme x_max, je každá hodnota x_str, pro kterou platí vztah

(1.11)

Z hodnot x_str vyhovujících vztahu (1.11) můžeme jmenovat extrémní hodnoty x_min a x_max, modus , medián , dolní a horní kvartil, decily, percentily apod. Z těchto středních hodnot jsou velmi vhodnými charakteristikami polohy modus a medián. Všechny tyto druhy středních hodnot jsou konkrétní hodnoty sledované proměnné nebo aritmetický průměr dvou konkrétních hodnot sledované proměnné, a tedy nejsou přímo ovlivněny velikostí všech hodnot sledované proměnné, což se stává výhodou zejména tehdy, když se ve statistickém souboru vyskytují náhodně jedna nebo několik málo mimořádně extrémních hodnot proměnné, kterým říkáme odlehlá pozorování. V takovém případě je výhodou, že např. medián ani modus nejsou těmito odlehlými pozorováními ovlivněny. Někdy se však necitlivost těchto středních hodnot vnímá jako nevýhoda, kterou překonává jiná skupina středních hodnot, které říkáme průměry.

Průměry jsou střední hodnoty, které jsou funkcí všech hodnot sledované proměnné. Teoreticky rozlišujeme nekonečně mnoho druhů průměrů.

Aritmetický průměr

Prostý aritmetický průměr n hodnot x₁, x₂, ..., x_n, které nemusí být uspořádány, lze vypočítat jako

(1.12)

Máme-li hodnoty proměnné uspořádány do tabulky rozdělení četností, je lepší použít vážený aritmetický průměr

(1.13)

kde absolutní četnosti n₁, n₂, ..., n_k udávají váhu, kterou přisuzujeme jednotlivým obměnám proměnné x₁, x₂, ..., x_k . Aritmetický průměr má smysl tehdy, má-li nějaký informační smysl součet hodnot proměnné.

Aritmetický průměr má řadu vlastností:

1.	Jestliže vynásobíme aritmetický průměr rozsahem statistického souboru n, získáme vždy součet všech hodnot proměnné

	(1.14)

2.	Součet všech odchylek hodnot proměnné od jejich aritmetického průměru je vždy roven nule

	(1.15)

3.	Součet čtverců všech odchylek hodnot proměnné od jejich aritmetického průměru je minimální

	(1.16)

	to znamená, že je menší než součet čtverců všech odchylek hodnot proměnné od jakékoliv konstanty .
4.	Aritmetický průměr konstanty je roven této konstantě

	(1.17)

5.	Přičteme-li ke všem hodnotám, resp. odečteme-li od všech hodnot, proměnné libovolnou kladnou konstantu (a > 0), aritmetický průměr se zvětší, resp. zmenší, o tuto konstantu

	(1.18)

6.	Násobíme-li, resp. dělíme-li, všechny hodnoty proměnné libovolnou nenulovou konstantou (k ≠ 0), aritmetický průměr se rovněž znásobí, resp. vydělí, touto konstantou

	(1.19)

7.	Násobíme-li váhy váženého aritmetického průměru libovolnou nenulovou konstantou (b ≠ 0), aritmetický průměr se nezmění

	(1.20)

8.	Je-li statistický soubor rozdělen do k dílčích podsouborů s dílčími aritmetickými průměry v jednotlivých dílčích podsouborech



	a s počty pozorování v jednotlivých dílčích podsouborech n₁, n₂, ..., n_k , aritmetický průměr celkového statistického souboru vypočteme jako vážený aritmetický průměr dílčích aritmetických průměrů

	(1.21)

Počítáme-li aritmetický průměr z intervalového rozdělení četností s k intervaly a známe-li aritmetické průměry v jednotlivých intervalech

⇐ Назад

Далее ⇒