Определение предела последовательности

Грани

 

Верхних/нижних граней может быть бесконечно много, и среди них есть только одна точная верхняя/нижняя грань.

 

Теорема о существовании точной грани: всякое непустое, ограниченное сверху/снизу множество вещественных чисел имеет точную верхнюю/нижнюю грань.

 

«Весь анализ стоит на грани».

 

Доказать существование точной верхней (нижней) грани.

 

 

Арифметические действия с вещественными числами

Лемма о единственности:

Пусть даны два вещественных числа a и b. Если для любого рационального числа e>0 числа a и b могут быть заключены между одними и теми же рациональными границами s и s' : s ≤ a ≤ s', s ≤ b ≤ s', разность между которыми s' – s можно сделать меньше e, то числа a и b необходимо равны (a = b).

 

Доказательство:

Предположим, a < b. Тогда между этими двумя числами можно вставить два рациональных числа a < r < r1 < b, то s < r < r1 < s' => s – s' > r1 – r > 0, то есть мы не можем сделать разность s' – s сколь угодно малой, что противоречит условию.

 

Определение:

Пусть даны два вещественных числа α,β. Их суммой α + β = γ назовём такое вещественное число, что a + b < γ < a' + b' , такие, что a < α < a', b < β < b' , причём a' – a = e , b' – b = e.

 

Произведение вещественных чисел

a < α < a', b < β < b', существует такое вещественное число γ=αβ, что ab < γ < a'b'.

1. γ = sup{ab}, ab < a'b'. α < a0' , β < b0', a'<a0', b' < b0',

2. a'b' – ab = a'(b'–b) + b(a'–a) <= (a0'+b0')((b'–b) + (a'–a)).

 

 

Определение предела последовательности

Определение предела последовательности на языке неравенств.

Число а называется пределом последовательности xn, ЙЭЭсли для любого ℰ > 0 существует такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство |xn – a| < ℰ.

Число а называется пределом последовательности xn, ЙЭЭсли для любого ℰ > 0 все числа (точки) xn принадлежат интервалу (a–ℰ, a+ℰ) при n > N.

a – ℰ < xn < a + ℰ

a = lim xn xn → a

 

Последовательность имеет предел, если она сходящаяся.

Любой интервал (c,d), содержащий а, называется окрестностью точки а.

 

ААпределЕЕЕние на языке окрестностей

Точка а называется пределом последовательности xn, ЙЭЭсли вне любой окрестности точки а содержится конечное или пустое множество точек последовательности.

 

Последовательность сохраняет знак с некоторого N.

 

Определение

Говорят, что xn → ∞, n → ∞, если для любого Е > 0 ∃ N : xn > E ∀ n > N.

Любой интервал (M, ∞) является окрестностью бесконечности.

 

Пусть последовательность имеет два предела a, b, a < b, т. е. а = lim xn, b = lim xn. Возьмём ℰ = (b–a)/4. Тогда в окрестностях (a–ℰ, a+ℰ), (b–ℰ, b+ℰ) конечное количество точек; a+ℰ > b–ℰ если они не пересекаются; a+ℰ < b–ℰ если они пересекаются.

 

∀ ℰ > 0 ∃ N : |xn – a| < ℰ ∀ n > N

 

|xn| > |a|/2.

ℰ = |a|/2 ≠ 0 |a| – |xn| ≤ |xn – a| < |a|/2

 

Теорема (переход к пределам в неравенствах)

Если xn→ a, yn→ b и ∀ n xn ≤ yn , то a ≤ b.

 

Арифметические свойства последовательностей:

lim xn/yn = lim xn / lim yn, lim yn ≠ 0

lim xn = a, lim yn = b : b ≠ 0

xn/yn – a/b = (xn – a)/yn – a(yn – b)/ynb

∃ N1 : |yn| > |b|/2 (∀ n > N1)

|xn/yn – a/b| < (2|xn–a|) / |b| + |yn–b| (2|a|) / b2 (∀ n > N2)

∀ ℰ>0 ∃ N2 : |xn–a|<ℰ (∀ n > N2)

N = max(N1,N2,N3)

|xn/yn – a/b| < ℰ1 (∀ n > N) => ℰ1 = 2ℰ/|b| + (2ℰ|a|)/b2

|xn/yn – a/b| < 2ℰ/|b| + (2ℰ|a|)/b2 (∀ n > N), правая часть может быть сколь угодно малой, но больше нуля.

 

Определение:

Переменная величина xn называется бесконечно малой, ЙЭЭСЛИ при n→∞lim xn = 0, т. е.

∀ ℰ>0 ∃ N : |xn|<ℰ ∀ n > N.

Переменная величина yn называется бесконечно большой, если при n→∞lim yn = ∞, т. е.

∀ E>0 ∃ N : |yn|>E ∀ n > N.

 

(1) |xn| ≤ M ∀ n, yn → ∞ => lim xn/yn = 0

(2) |xn| ≥ m>0 ∀ n, yn → 0, yn ≠ 0 => lim xn/yn = ∞

(3) Сумма любого конечного числа бесконечно малых величин xn, yn является бесконечно малой величиной xn+ yn.

(4) Произведение ограниченной переменной xn на бесконечно малую величину yn есть бесконечно малая величина xnyn.

 

Последовательность x1,x2,...,xn называется монотонно убывающей (невозрастающей), если xn+1 ≥ xn.

Последовательность x1,x2,...,xn называется монотонно возрастающей (неубывающей), если xn+1 ≤ xn.

Теорема (о существовани предела у монотонной последовательности):

Пусть дана неубывающая (монотонно возрастающая) последовательность. Если она ограничена сверху, то она необходимо имеет конечный предел. Иначе xn → +∞.

Пусть дана невозрастающая (монотонно убывающая) последовательность. Если она ограничена снизу, то она необходимо имеет конечный предел. Иначе xn → –∞.

 

a = sup{xn} :

1) a ≥ xn ∀ n

2) ∀ ℰ>0 ∃ N : xn>a–ℰ

 

Любое иррациональное число есть предел последовательности рациональных чисел.

rn → α, α>0

rn = α01α2...αn

 

Число e

yn+m – yn = 1/(n+1)! + 1/(n+2)! + … + 1/(n+m)! = 1/(n+m)! ⋅ (1 + 1/(n+2) + 1/(n+2)(n+3) + … + 1/(n+2)..(n+m)) < 1/(n+1)! ⋅ (n+2)/(n+1)

(n+2)/(n+1)2 < 1/n

limm yn+m = e => 0 < e – ym < 1/(n!⋅n)

 

z = (e – yn)(n!⋅n)

0 < z < 1

z < zn

 

e = ym + z/(n!⋅n)

 

n = 5: z/(n!⋅n) < 1/(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅5) = 1/600

0 < e – y5 < 1/600;

n = 5: z/(n!⋅n) < 1/(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅6) = 1/4320

0 < e – y6 < 1/4320.

 

Критерий Коши:

Для того, чтобы последовательность x1,x2,...,xn имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ℰ > 0 сущeствовал такой номер N, что |xn – xm| < ℰ для всех n,m > N.

∀ ℰ > 0 ∃ N : |xn – xm| < ℰ ∀ n,m > N

1) xn → a

|xn – a| < ℰ/2 n>N

|xn – xm| = |xn – a – (xm– a)| <= |xn– a| + |xm– a| < ℰ/2 + ℰ/2 = ℰ n,m>N

 

Пусть выполнен критерий Коши. Тогда

A = {α ϵ R | ∃ N : xn > α ∀ n>N}

A' = {α' ϵ R | ∃ N : xn < α' ∀ n>N}

A U A' = O

 

α э A, beta < α => beta э A

xm – ℰ < xn < xm + ℰ

xm – ℰ ϵ A

xm + ℰ ϵ A'

α < α'

 

Пусть a = sup {α} = sup A

α ≤ a ≤ α

xm – ℰ ≤ a ≤ xm + ℰ

|xm – a| ≤ ℰ ∀ m>N ==> lim xm = a

 

 

Лемма о вложенных отрезках:

an = a1,a2,a3,...,an

bn = b1,b2,b3,...,bn

an < bn ∀ n

an+1 ≥ an ∀ n

bn+1 ≤ bn ∀ n ==> bn – an → 0 (n → ∞)

an ≤ bn ≤ b1 ==> lim an = c

bn ≥ an ≥ a1 ==> lim bn = c'

 

0 = lim(bn – an) = lim bn – lim an = c' – c ==> c' = c

 

Пусть имеется бесконечная последователность вложенных друг в друга отрезков так, что каждый последующий отрезок соержится в предыдущем, причём с возрастанием номера длины отрезков стремятся к нулю. Тогда концы отрезков an и bn стремятся к общему пределу, который является точкой, общей для всех пределов.