Ньютоннның интерполяциялық формулалары

Егер интерполяциялық түйіндердің бір бірінен ара қашықтығы тұрақты болса, практикада Ньютонның интерполяциялық формулалары қолданылады. Бұл формулалар екіге бөлінеді:

1 Алдыға қарай интерполяциялау;

2 Кері интерполяциялау;

Егер берілген х нүктесінің мәні кестенің бас жағында жатса, 1-формуласы қолданылады:

(4.11)
.

Мұндағы

Егер берілген х нүктесінің мәні кестенің соңғы жағянда жатса, 2-формула қолданылады:

(4.12)

Формулалардағы , , т.с. сияқтылар шектік айырымдар деп аталады және 7-кестені толтыру арқылы анықталады. Кестедегі мысал үшін 6 интерполяциялық түйін және шектік айырымдардың 4-ші дәрежесіне дейінгі мәндер қарастырылған. 1-формула үшін кестенің бірінші жолындағы мәндер, 2-формула үшін кестенің соңғы жолындағы мәндер қолданылады.

 

7-кесте – Шектік айырымдар кестесі

 

x Y
X0 Y0
X1 Y1
X2 Y2  
X3 Y3    
X4 Y4      
X5 Y5        

 

Егер интерполяциялық түйіндер саны 1 немесе 2-ге тең болса сызықты интерполяциялық формуланы қолдануға болады: .

Қателіктерін бағалау:

 

1-формула үшін мына формула қолданылады:

,

немесе

2-формула үшін мына формула қолданылады:

,

Мысал:

y=lg(x) функциясының мәндері 8-кестеде берілген, lg1001 мәнін табу керек.

3-ретті шектік айырымдар тұрақты бола бастағандықтан кестені толтыруды тоқтатамыз. Формулада n=3 деп аламыз. Q=0,1. x=1001. Ньютонның бірінші формуласын қолданамыз, себебі х-тің мәні кестенің бас жағында жатыр, сонда lg1001=3.00043417+0.5*10-9 болатынын қалдық мүшенің формуласын қолдану арқылы анықтаймыз.

 

8-кесте – y=lg(x) функциясының мәндері және

шектік айырымдары кестесі

 

X Y
3.0000000 43 214 -426
3.0043214 42 788 -418
3.0086002 42 370 -409
3.0128372 41 961 -401  
3.0170333 41 560    
3.0211893      

 

Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі

(4.4)

Кей жағдайда есептеу процесін жеңілдету үшін x=at+b, xj=atj+b j=0,1,…,n сызықты алмастыруын жасау арқылы Лагранж коэффициенттерінің инварианттылығын қолдануға болады, онда (4.4)-формула келесі түрге келеді:

 

(4.5)

Эйткен схемасы

Егер Лагранж көпмүшелігінің жалпы өрнегін анықтамай, тек белгілі бір нүктедегі функция мәнін есептеу керек болса, онда Эйткен схемасын қолдануға болады:

(4.6)

 

т.с.с.

Эйткен схемасы келесі 6-кестені толтыру арқылы орындалады.

 

6-кесте – Эйткен схемасының толтырылу кестесі

 

xi yi Xi-x Li-1,i Li-2,i-1,i Li-3,i-2,i-1,i …
X0 Y0 X0-x        
X1 Y1 X1-x L01(x)      
X2 Y2 X2-x L12(x) L012(x)    
X3 Y3 X3-x L23(x) L123(x) L0123(x) …
X4 Y4 X4-x L34(x) L234(x) L1234(x) …

 

Эйткен схемасын есептеуді көршілес L0123…n(x), L0123…n,n+1(x) мәндері берілген дәлдік маңайында бір бірімен беттессе тоқтатуға болады.

Xi нүктелерінде yi мәндерін қабылдайтын n-ші дәрежелі интерполяциялық көпмүшелік келсі түрде де жазылады:

 

. (4.7)

1-Мысал:

Төмендегі кестемен берілген функция үшін Лагранж көпмүшелігін құру.

 

I
(4.8)
3
xi 0.1 0.3 0.5
yi -0.5 0.2

Шешімі: (4.4)-формула бойынша n=3, i=0,1,2,3 болғандағы өрнекті анықтаймыз:

L13(x) мүшесін есептемейміз, себебі y1=0. Бәрін бір біріне қосамыз да көпмүшеліктің соңғы түрін аламыз:

2-мысал:

Төмендегі кестемен берілген функцияның x=0.45 нүктесіндегі мәнін анықтау керек.

 

X 0.05 0.15 0.20 0.25 0.35 0.40 0.50
(4.9)
0.55
y 0.9512 0.8607 0.8187 0.7788 0.7047 0.6703 0.6065 0.5769

Шешімі:

Есептеуді жеңілдету үшін x=0.05t деп алайық. X-тердің мәні белгілі болғанда t-лардың мәндерін тауып алуға болады, олар: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11. Және x=0.45 болғандағы t=9 болады. Есептеу қадамдары 6’-кестеде келтірілген.

 

6’-кесте – (4.9)-есептің есептелу қадамдары

 

  I ti-tj (i<>j)     Di   yi  
-2 -3 -4 -6 -7 -8 -10 -725 760 0.9512 -0.0131*10-4
-1 -2 -4 -5 -7 -8 26 880 0.8607 0.3202*10-4
-1 -3 -4 -6 -7 -7 560 0.8187 -1.0829*10-4
-2 -3 -5 -6 5 760 0.7788 1.3520*10-4
-1 -3 -4 -3 456 0.7047 -2.0390*10-4
-2 -3 2 520 0.6703 2.6599*10-4
-1 -1 11 340 0.6065 0.5348*10-4
-2 -80 640 0.5769 -0.0715*10-4
   

 

Сонымен y(0.45)= 3840*1.6604*10-4=0.6376.