Ең кіші квадраттар әдісі

 

Жүргізілген тәжірибе кезінде алынған мәндер келесі кестені құрсын.

 

11-кесте

хi X0 X1 …
(4.16)
xn
F(xi) Y0 Y1 … yn

 

Осы тәуелділікті аналитикалық өрнектейтін формуланы табу керек:

Y=F(x) (4.17)

Бұл функция х1, х2, ..., хn нүктелерінде y1, y2, …, yn мәндерін қабылдауы керек.

Алдында қарастырған зертханалық жұмыстағы интерполяциялық көпмүшеліктерді қолдану арқылы аналитикалық өрнекті таба салуға болар еді. Бірақ кей жағдайда ол әдістермен табылған мәндер бірдей болғанмен мазмұндары әр түрлі болуы мүмкін. Сондықтан практикада көбіне жуықтаушы F функциясын анықтау үшін (4.16)-кесте бойынша f функциясының нүктелік графигін сызып, нүктелердің орналасу ретіне байланысты қисықтың түрін анықтайды. Бұл жағдайда да тәжірибеге қатысатын әрбір шама көптеген кездейсоқ факторлардан тәуелді болғандықтан (4.17)-кесте үшін функционалды байланыс толық болмауы мүмкін. Бірақ (4.17)-эмпирикалық формула көмегімен табылатын аналитикалық өрнек у шамасының өлшеу нәтижелерін жатықтандыра отырып х-тің кесте лық емес мәндері үшін f функциясының мәндерін табуға көмектеседі.

(4.17)-формуланы табудың ең көп қолданылатын әдісінің бірін қарастырайық:

F жуықтаушы функциясының х1, х2, ..., хn нүктелеріндегі қабылдайтын мәндері

(4.18)

болсын.

Кестедегі y1, y2, …, yn мәндері мен (4.18)-мәндердің жақындығы былай түсіндіріледі:

(4.16)-кестедегі мәндер жиыны мен (4.17)-формуладағы мәндер жиынын n өлшемді кеңістіктегі екі нүктенің координаттары деп қарастырайық. Сонда есеп келесі түрге келеді – және нүктелерінің ара қашықтығы өте кішкентай болатындай берілген түрдегі F функциясын табу керек. Евклидтік кеңістіктегі метриканы қолдансақ,

(4.19)

шамасы ең кіші болуы керек, одан шығатыны

(4.20)

квадраттар қосындысы да ең кіші болуы керек.

Сонда есептің қойылымы мына түрге келеді: (4.16)-кесте мен берілген f функциясы үшін (4.20)-квадраттар қосындысы ең кіші болатындай түрде анықталған F жуықтаушы функциясын табу керек. Бұл есепті ең кіші квадраттар әдісі деп атайды.

Жуықтаушы функция ретінде f функциясының нүктелік графигінің түріне қарай келесі функциялар қолданылады:

1

2

3

4

5

6

7

8

Мұндағы - параметрлер. Жуықтаушы функцияның түрі белгілі болғанда есеп осы параметрлерді анықтауға келеді.

Жалпы түрде үш параметрден тәуелді жуықтаушы функцияның параметрлерін анықтауды қарастырайық:

(4.21)

болады. F және f функцияларының сәйкес мәндерінің айырымдарының квадраттарының қосындысы үш айнымалыдан тәуелді функция болады. Оның минимумын табу керек. Экстремумдардың қажетті шарттарын қолданамыз:

яғни

(4.22)

Үш белгісізді үш теңдеуден тұратын теңдеулер жүйесін шешу арқылы параметрлерді тауып, жуықтаушы функцияның аналитикалық түрін толық анықтауға болады. Бұдан көретініміздей, параметрлердің санын қаншалықты өзгертсек те жүйенің теңдеулер саны ғана өзгереді.

(4.23)

айырмаларының мәндері ауытқулар деп аталады. Бұл ауытқулардың қосындыларының квадраты да минималды болуы керек:

(4.24)

Ауытқулардың қосындыларының квадраттарының ең кішісі үшін құрылатын жуықтаушы функция ең тиімді функция бола алады.