Розділ 2. Хвильова і квантова оптика

⇐ Назад

Далее ⇒

Інтерференція світла

1. Швидкість поширення світла в середовищі

де с - швидкість світла в вакуумі;

n - показник заломлювання середовища.

2. Оптична довжина ходу променя

де l - геометрична довжина ходу променя в середовищі з показником заломлювання n.

3. Оптична різниця ходу двох променів

4. Зв’язок оптичної різниці ходу з різницею фаз

де - хвильове число;

- довжина хвилі світла.

5. Умова максимуму інтерференції когерентних хвиль

де k = 1, 2, 3, ... - порядок максимуму;

довжина хвилі.

6. Умова мінімуму інтерференції когерентних хвиль

де - k - 1, 2, 3,... - порядок мінімуму.

7. Ширина інтерференційної смуги в досліді Юнга

де L - відстань від екрану до щілин Юнга;

d - відстань між щілинами Юнга;

- довжина хвилі.

8. Оптична різниця ходу променів в тонких плівках:

а) відбиті промені

або

б) прохідні промені

або

де d - товщина плівки;

n - показник заломлювання речовини плівки;

і₁ і і₂ - кути падіння і заломлювання променів.

9. Радіуси світлих і темних кілець Ньютона:

а) відбиті промені

- світлі кільця;

- темні кільця;

б) прохідні промені

- cвітлі кільця;

- темні кільця,

де k= 1, 2, 3, ... - порядок кільця;

R - радіус кривизни плоско oпуклої лінзи;

- довжина хвилі світла;

n - показник заломлювання речовини, якою заповнено простір між лінзою і плоско-паралельною пластинкою.

Приклад 1: Відстань d між двома когерентними джерелами світла ( = 0,5 мкм) дорівнює 0,1 мм. Відстань b між сусідніми інтерференційними максимумами в середній частині екрану дорівнює 1 см. Визначити відстань L від джерела до екрану.

Дано:

d = 0,1 мм

= 0,5 мм

b = 1 cм

L -?

Розв’язування:З подібності трикутників S₁S₂C і О₁ОР знаходимо наближене відношення сторін (рис.8).

звідки

В точці P спостерігається k-й максимум інтерференції двох променів S₂k і S₁k, оптична різниця ходу між якими

З умови максимуму інтерференції двох променів маємо:

Тому

де у_k - відстань від 0-го максимуму до k-го максимуму на екрані.

Для (k+1)-го максимуму

Ширина інтерференційної смуги

Звідки відстань від джерел світла до екрану

Підставимо числові значення

Відповідь: L = 2 м.

Приклад 2. На мильну плівку (n = 1,33), яка знаходиться у повітрі, падає перпендикулярно промінь білого світла. При якій найменшій товщині d плівки відбите світло з довжиною хвилі = 0,55 мкм виявиться максимально підсиленим в результаті інтерференції?

Дано:

n = 1.33

l = 0.55 мкм

---------------------

d_min - ?

Рис.9

Розв’язування: З рис.9 видно, що інтерферують промені 1 і 2, які відбиті від верхньої і нижньої поверхонь плівки. Оптична різниця ходу цих променів дорівнює

де r₁ = , враховано повернення фази хвилі на протилежну при відбиванні від межі з оптично більш густим середовищем; r₂ = 2d n.

Тому

Для максимуму інтерференції виконується співвідношення:

Прирівняємо оптичні різниці ходу

Звідки

d = (2k+1) .

Якщо k = 0, то d = d_min

Підставимо числові значення

(м).

Відповідь: d_min= 0,1 мкм

Приклад 3. Діаметри d_i i d_k двох світлих кілець Ньютона відповідно дорівнюють 4,0 і 4,8 мм. Порядкові номери кілець не визначались, але відомо, що між ними розміщені ще три світлих кільця. Кільця спостерігаються у відбитому світлі (l = 500 нм). Визначити радіус кривизни плоскоопуклої лінзи, взятої для досліду.

Дано:

d_i=4,0 мм

d_k=4,8мм

l = 500нм

k = i+3

Рис.10

----------------

R - ?

Розв’язування: Співвідношення між радіусом сферичної поверхні плоско-опуклої лінзи R, радіусом k-го кільця Ньютона і товщиною повітряного проміжку має такий вигляд:

R²= (R-d_k)²+ r_k²; або R²= R² - 2Rd_k + d_k²+ r_k².

Нехтуючи за малістю d_k², знаходимо:

r_k²= 2R d_k . (1)

Аналогічно для і-го кільця:

r_i² = 2R d_i. (2)

Різниця ходу променів, які дають інтерференційну картину у випадку, коли промені падають перпендикулярно до системи, лінза - пластинка для максимумів інтерференції, виражається формулою:

2d_k+ = kl

Звідки

d_k = (2k - 1) .(3)

Для і-го світлого кільця

d_і = (2і - 1) . (4)

Підставимо (3) і (4) відповідно в (1) і (2)

r_k²= (2k - 1) .

r_i²= (2i - 1) . (5)

З урахуванням того, що k = і + 3, маємо

r_k²= (2і - 1) . (6)

Від (6) віднімемо (5)

r_k²- r_i² = 3 Rl.

Звідки

Підставимо числові значення

R = (м).

Відповідь: R = 1,17 м.

Приклад 4. Дві плоско-паралельні скляні пластинки утворюють клин з кутом a = . Простір між пластинками заповнено гліцерином (n = 1,47). На клин перпендикулярно до його поверхні падає промінь монохроматичного світла з довжиною хвилі l = 500 нм. В відбитому світлі спостерігається інтерференційна картина. Яке число N темних інтерференційних смуг вкладається на 1 см довжини клина?

Дано:

a = 30”

n = 1.47

l = 500 нм

b = 1 см

---------------------

N - ?

Рис. 11

Розв’язування: Оптичні різниці ходу променів в точках розміщення k-гоі (k + N)-го мінімумів (рис.11) дорівнюють:

D₁ = 2d_kn + ; D₂= 2d_k+N n + .

Згідно умови мінімумів інтерференції запишемо

D₁ = (2k +1) ; D₁= [2(k +N) +1] .

Або

(2k +1) = 2d_k n + , звідки d_k= ;

[2(k +N) +1] = 2d_k+N n + , звідки d_k+N= ;

З рисунка видно, що

tg a = ,

де Dd = d_k+N - d_k= _.

Тоді

tg a = ,

Звідки

Для малих кутів tg a = a.

Тому

Підставимо числові значення

= 8,55 (1/см).

Відповідь: N = 8,55 (1/см).

Приклад 5.Визначити переміщення дзеркала в інтерферометрі Майкельсона, якщо інтерференційна картина зміcтилась на m = 100 смуг. Довжина хвилі світла 546 нм.

Дано:

m =100

l = 456 нм

--------------------

L - ?

Рис.12

Розв’язування: Переміщення дзеркала на відстань відповідає зміні різниці ходу променів на одну смугу (рис.12).

Таким чином, можна записати:

Підставимо числові значення

(м).

Відповідь: L = 27,3 × 10^-6

Дифракція світла

1. Радіуси зон Френеля:

а) сферичний хвильовий фронт

;

б) плоский хвильовий фронт

де k - порядковий номер зони Френеля (k = 1, 2, 3,...);

l - довжина хвилі світла;

a - радіус хвильової поверхні;

b - відстань від вершини хвильової поверхні до екрану.

3. Умова максимумів дифракції на щілині

де b - ширина щілини;

j - кут дифракції;

k = 1, 2, 3,... - порядок максимуму, або мінімуму дифракції.

3. Умова мінімумів дифракції на щілині

b sin j = ± k l

4. Умова головних максимумів на дифракційній решітці

d sin j = ± k l ,

де d - стала дифракційної решітки, яка дорівнює ширині однієї прозорої і однієї непрозорої смуг (d = b + a).

5. Кутова дисперсія решітки

де k - порядок спектра (k = 1, 2, 3,...); j - кут дифракції.

6. Роздільна здатність дифракційної решітки:

де dl - найменший інтервал довжин хвиль, якi за умовою Релея можуть бути розділені ;

k - порядок спектра (k = 1, 2, 3,...);

N - число всіх щілин в решітці .

7. Умова максимумів дифракції рентгенівських променів на просторовій решітці (формула Вульфа-Брегга)

2d sin j = ± k l,

де d - стала кристалічної структури;

j - кут між напрямком променя і поверхнею кристалу;

k - порядок спектра ( k = 1, 2, 3, ...);

l - довжина хвилі.

Приклад 6: Точкове джерело світла з довжиною хвилі 0,6 мкм розміщене на відстані а = 100 см перед діафрагмою з круглим отвором радіусом r_k = 1 мм. Визначити відстань b від хвильової поверхні до точки спостереження, для якої в отворі діафрагми вкладається k = 5 зон Френеля.

Дано:

l = 0.6 мкм

a = 1 м

k = 5

r_k = 1 мм

---------------------

b - ?

Рис.13

Розв’язування: Якщо в отворі діафрагми на хвильовій поверхні радіусом а вкладається k зон Френеля, то радіус k-ї зони буде рівний (рис.13):

Звідки

Підставимо числові значення

= 0,5 (м).

Відповідь: b = 0,5 м

Приклад 7: На щілину шириною b = 0,01 мм перпендикулярно падає промінь світла ( l = 577 нм). Під яким кутом j до початкового напрямку будуть спостерігатись максимуми другого і третього порядків?

Дано:

b = 0.01 мм

l = 577 нм

k₁ = 2

k₂ = 3

--------------------

j₁ - ? j₂ - ?

Рис.14

Розв’язування: Умова максимумів дифракції на одній щілині має вигляд:

b × sin j = ± (2k+1) × ,

де bsinj =D - оптична різниця ходу двох крайніх променів, які проходять крізь щілину (рис.14)

Звідки

sin j = ± , або j = arcsin .

Підставимо числові значення:

a) k = 2, j₂ = arcsin 8,1°;

б) k = 3, j₃= arcsin .

Відповідь: j₂ = 8,1°; j₃ = 11,6°.

Приклад 8: Дифракційна решітка містить 200 смуг на 1 мм. На решітку падає перпендикулярно монохроматичне світло з довжиною хвилі 0.6 мкм. Максимуми якого найбільшого порядку дає ця решітка?

Дано:

N = 200

l = 1 мм

l = 0.6 мкм

---------------------

k_max - ?

Рис.15

Розв’язування: Головні максимуми дифракції на дифракційній гратці (рис.15) спостерігаються згідно з умовою

d sin j = ± k l ,

де dsinj = D - oптична різниця ходу двох суміжних променів;

k- порядок дифракційної смуги;

l - довжина хвилі світла.

Порядок дифракційної смуги з цієї умови дорівнює:

Якщоsin j = 1, то k = k_max, тому

Сталу дифракційної гратки знайдемо із умови

Тому

Підставимо числові значення

Відповідь: k_max= 8.

Приклад 9. За допомогою дифракційної решітки з періодом d = 20 мкм необхідно роздільно бачити дублет натрію (l₁ = 589,0 нм і l₂ = 589,6 нм) в спектрі другого порядку. При якій найменшій ширині решітки це можливо?

Дано:

d = 20 мкм

l₁ = 589.0 нм

l₂ = 589.6 нм

k = 2

------------------

l - ?

Розв’язування: Роздільна здатність дифракційної решітки визначається формулами:

i R = k N,

де k - порядок спектра;

N - число всіх щілин, або смуг в решітці;

dl = l₁ - l₂- найменший інтервал довжин хвиль, які можна бачити роздільно в околі довжин хвиль l₁.

Прирівняємо праві частини цих формул:

kN = .

Число всіх щілин в решітці дорівнює

N = ,

де l - ширина решітки;

d - стала решітки.

Тому

Звідки

або

Підставимо числові значення

(м).

Відповідь: l @ 1 см.

Поляризація світла

1. Закон Брюстера

tg і = n_2,1,

де і - кут падіння променя; n_2,1 - відносний показник заломлювання.

Рис.16

2. Коефіцієнт відбивання падаючого променя:

де I_^^` = , або I_½½ ^`= ;

I₀ - інтенсивність природного променя.

3. Коефіцієнт заломлювання променя:

де I_^ - інтенсивність променя з перпендикулярною орієнтацією вектора ;

I_½½ - інтенсивність променя з паралельною орієнтацією вектора .

4. Ступінь поляризації заломленого променя

5. Закон Малюса

I = I₀cos²a ,

де I - інтенсивність поляризованого світла після аналізатора;

I₀ - інтенсивність світла до аналізатора;

a - кут між площиною поляризатора і площиною поляризації аналізатора.

6. Ступінь поляризації частково поляризованого світла в довільному випадку :

де I_max i I_min - максимальна і мінімальна інтенсивності частково поляризованого світла, яке пропускається через аналізатор.

6. Різниця фаз поляризованих променів, яка створюється анізотропною пластинкою

де - хвильове число;

l - товщина анізотропної пластинки;

n₃ i n_н - показники заломлювання відповідно звичайного і незвичайного променів в анізотропній пластинці;

8. Кут повертання площини поляризації монохроматичного світла при проходженні через оптично активну речовину:

а) в твердих тілах

j = [a] l ;

в) в розчинах

j = [a] С l ,

де [a] - питоме повертання площини поляризації;

C - масова концентрація оптично активної речовини в розчині;

l - довжина шляху, пройденого світлом в оптично активній речовині.

9. Виникнення оптичної різниці фаз в деяких штучно анізотропних речовинах:

а) у випадку механічних деформацій

де - хвильове число;

l - довжина тіла в напрямку створення механічних деформацій;

k₁ - стала величина, характеризує властивості певної речовини;

s - нормальна напруга (s = ).

б) у випадку дії електричного поля (ефект Керра)

де k₂ - стала величина;

E - напруженість електричного поля в комірці Керра.

в) у випадку дії магнітного поля

де k₃ - стала величина;

Н - напруженість магнітного поля.

Приклад 10. Алмазна призма (n = 2,43) знаходиться в деякому середовищі з показником заломлювання n₁ . Промінь природного світла падає на призму так, як це показано на рис.17. Визначити показник заломлювання цього середовища, якщо відбитий промінь повністю поляризований.

Дано:

n = 2.42

a = 60°

--------------------

n₁ - ?

Рис.17

Розв’язування: З рис.17 видно, що кут падіння променя на поверхню алмазної призми a = - 30° = 60°.

Для кута a виконується закон Брюстера

tg a = ,

де n - показник заломлювання алмазної призми; n₁ - показник зало- млювання деякого середовища.

Звідки

Підставимо числові значення

Відповідь: n₁= 1,40.

Приклад 11. У скільки разів послаблюється інтенсивність світла, яке проходить через систему двох призм Ніколя, площини пропускання яких утворюють кут a= 30°, якщо відомо, що в кожній із призм втрачається на поглинання 10% падаючої інтенсивності?

Дано:

a = 30°

r = 0,1

---------------------

- ?

Розв’язування: Природний промінь, щo падає на грань призми Ніколя, (рис.18) роздвоюється внаслідок подвійного променезаломлювання на звичайний і незвичайний промені. Обидва промені однакові за інтенсивністю і є повністю поляризованими. Звичайний промінь внаслідок повного внутрішнього відбивання на межі шару канадського бальзаму поглинається пофарбованою в чорний колір поверхнею призми. Незвичайний промінь проходить через призму, зменшивши свою інтенсивність на 10% внаслідок відбивання і поглинання в призмі.

Таким чином, інтенсивність світла, яке пройшло першу призму, дорівнює

I₁ = .

Плоскополяризований промінь світла з інтенсивністю І₁ падає на другу призму, де також роздвоюється на звичайний і незвичайний промені. Інтенсивність незвичайного променя І₂ , який пройде крізь другу призму Ніколя, визначається законом Малюса. Врахувавши також втрати інтенсивності на відбивання і поглинання, маємо:

I₂ = I₁ (1 - r) cos²a .

де a - кут між площинами поляризації поляризатора і аналізатора.

Iнтенсивність І₂ з ураxуванням І₁буде дорівнювати

I₂ = I₀ (1 - r)² cos² a .

Послаблення інтенсивності

Підставимо числові значення

Відповідь: І₀/I₂ = 3,28 рази.

Приклад 12. На шляху частково поляризованого світла, ступінь поляризації якого 0,6, поставили аналізатор так, що інтенсивність пропущеного ним світла виявилась найбільшою. У скільки разів зменшиться інтенсивність світла, якщо аналізатор повернути на кут 30° ?

Дано:

р = 0,6

a = 30°

--------------------

- ?

Розв’язування: Ступінь поляризації для частково поляризованого світла визначається за формулою

r = ,

де І_max і І_min - максимальна і мінімальна інтенсивності частково поляризованого світла, яке пропускається аналізатором.

З цієї формули знайдемо залежність І_max від І_min

. (1)

Максимальна інтенсивність світла, що проходить крізь аналізатор, дорівнює

, (2)

де І_н - інтенсивність поляризованого світла;

І_н.п.- інтенсивність неполяризованого світла.

Мінімальна інтенсивність світла, яке проходить крізь аналізатор, дорівнює

. (3)

Після підстановки (2) і (3) в (1) маємо

Звідки

І_n = 1,5І_н.п. (5).

Згідно з умовою задачі аналізатор пропускає в першому випадку

I₁= I_n+ I_н.п.. (6)

В другому випадку

I₂= I_ncos²a + I_н.п_.(7)

Поділивши (6) на (7) та врахувавши (5), одержимо

Врахувавши кут a, будемо мати

Відповідь: І₁/І₂ = 1,23 рази.

Приклад 13. Кут повороту площини поляризації жовтого світла натрію при проходженні через трубку з розчином цукру j = 40° . Довжина трубки l = 15 см. Питоме повертання площини поляризації розчином цукру [a] = 0,665 град×м²/кг. Визначити концентрацію С цукру в розчині.

Дано:

j = 40°

l = 15 см

[ a ] = 0,665 град×м²/кг.

-------------------------------------

С - ?

Розв’язування: Поворот площини поляризації монохроматичного світла при проходженні його крізь розчин оптично активної речовини (цукру) визначається формулою:

j = [a] C l ,

де [a] - питоме повертання площини поляризації;

С - масова концентрація оптично активної речовини;

l - хід поляризованого променя в цьому розчині.

Звідки

Підставимо числові значення

= 401 (кг/м³).

Відповідь: С = 401 кг/м³.

Дисперсія світла

Дисперсією світла називається залежність показника заломлювання n речовин від частоти n або довжини хвилі світла l.

1. Фазова швидкість:

, а також υ = ,

де w - циклічна частота коливань;

k - хвильове число;

с - швидкість світла у вакуумі;

n - абсолютний показник заломлення середовища.

2. Групова швидкість:

де u - групова швидкість;

υ - фазова швидкість;

k - хвильове число;

- похідна залежності фазової швидкості від величини хвильового числа.

Похідну перепишемо

= .

Похідну знайдемо із виразу для хвильового числа

; dl = - або .

Тому

= - .

З урахуванням виразу для співвідношення для залежності групової швидкості від фазової набуде вигляду

3. Фазова швидкість для світлових хвиль

де с - швидкість світла в вакуумі;

n - абсолютний показник заломлювання середовища.

4. Зв’язок групової швидкості з фазовою для світлових хвиль

u = υ × ,

де = D - дисперсія речовини.

5. Показник заломлювання середовища з макроскопічної електромагнітної теорії Максвелла:

n = ,

де e - відносна діелектрична проникність;

m - відносна магнітна проникність середовища.

6. Закон Бугера для поглинання світла в речовині

I = I₀ × e^-^a^x,

де I і I₀ - інтенсивності плоскої монохроматичної хвилі на вході і виході шару поглинаючої речовини;

a - коефіцієнт поглинання;

х - товщина шару поглинання.

Приклад 14 . Показник заломлювання n сірководню для світла різної довжини хвилі l подається в таблиці.

l, нм	n
	1,647
	1,640
	1,630

Визначити фазову і групову швидкості світла в околі довжини хвилі 534 нм.

Дано : l₁ = 509 нм; n₁ = 1,647;

l₂ = 534 нм; n₂ = 1,640;

l₃ = 574 нм; n₃ = 1,630;

Знайти : υ, u.

Розв`язування : Фазова швидкість світла з довжиною хвилі l = 534 нм дорівнює

υ = (м/с).

Групова швидкість u пов`язана з фазовою швидкістю υ в середовищі з показником заломлювання n співвідношенням:

u = υ × .

Похідну можна визначити, якщо відома функція n(l), або за тангенсом кута нахилу дотичної до графіку функції n(l) при відомій довжині хвилі l. Маючи три точки залежності n від l, похідну визначимо наближено через середнє значення співвідношень

i .

Або

= - - 2,8 × 10⁵м^-1;

= - = - 2,5 × 10⁵м^-1.

Звідки

= - 2,65 × 10⁵ м^-1.

Знак (-) показує, що з ростом довжини хвилі показник заломлювання зменшується, а фазова швидкість зростає. Це область нормальної дисперсії.

Групова швидкість буде дорівнювати

= 1,67×10⁸ м/с.

Відповідь: υ = 1,83×10⁸ м/c; u = 1,67×10⁸ м/с.

Приклад 15. При проходженні плоскої монохроматичної хвилі відстані l₁ = 10 мм інтенсивність її зменшується на 1 %, а при проходженні відстані l₂ = 4,6 м - на 99 %. Визначити коефіцієнт поглинання середовища для даної довжини хвилі.

Дано:

l₁ = 10 мм;

l₂ = 4.6 м;

-------------------

a - ?

Розв`язування: Поглинання монохроматичного світла описується законом Бугера, згідно з яким

I₁ = I₀× i I₂ = I₀× .