Условие пропускания реактивных фильтров

Любую симметричную Т- или П-схему четырехполюсника можно представить в виде комбинации Г-схем.

Если цепочка собрана из Т-звеньев, то она должна начинаться и кончаться продольным сопротивлением Z₁/2, если из П-звеньев, то она должна начинаться и кончаться поперечным сопротивлением 2Z₁.

В упрощенном виде схему Т- или П-фильтра можно представить в виде рис. 10.1 а или б, соответственно.

Пусть электрический фильтр представляет собой комбинацию Т-схем.

Вспомним, что для Т-схемы коэффициент А связан с сопротивлениями эквивалентной схемы соотношением

Для коэффициента передачи справедливо соотношение .

Для симметричного четырехполюсника A=D и .

Исходя из приведенной схемы замещения, получим

В зоне прозрачности α = 0, следовательно, .

Учитывая, что гиперболический косинус мнимого аргумента равен тригонометрическому косинусу модуля этого аргумента, получим

(10.1)

Так как , то , следовательно,

, или , или .

Последнее выражение является условием пропускания реактивного фильтра. Из него следует, что продольное и поперечное сопротивления фильтра должны иметь различный характер: если Z₁ – индуктивность, то Z₂ – емкость и наоборот.

Предельные частоты, удовлетворяющие условиям пропускания, называются частотами среза. Таким образом, частоты среза удовлетворяют условиям:

Эти условия можно интерпретировать при помощи частотных характеристик (рис. 10.2)

Из уравнения (10.1) следует:

Мы выяснили, что отношение

- отрицательно, следовательно, для соs β будут справедливы соотношения:

или .

Используя формулы тригонометрических преобразований, получим:

→ .

Отсюда следует, что коэффициент фазы в полосе пропускания определится выражением

Исходя из граничных условий получим, что на границах полосы пропускания коэффициент фазы может принимать следующие значения: и .

Коэффициент затухания α в полосе пропускания равен нулю.

Фильтры нижних частот

Фильтры нижних частот состоят из продольных индуктивных сопротивлений и поперечных емкостных (рис. 10.3).

Здесь продольное сопротивление имеет индуктивный характер , поперечное – емкостный .

Определим тип фильтра. Найдем произведение продольного и поперечного сопротивлений

Из формулы видно, что это произведение не зависит от частоты, следовательно, фильтр типа k.

Рассмотрим принцип действия фильтра. В этой схеме индуктивность обладает малым сопротивлением для низкочастотных сигналов, сопротивление емкости велико, поэтому низкочастотные сигналы будут проходить к потребителю, лишь незначительно ответвляясь через емкость С. С ростом частоты индуктивное сопротивление возрастает и сигналы высоких частот уже не будут проходить к потребителю, а будут замыкаться через емкость, которая обладает малым сопротивлением для высокочастотных сигналов.

Определим полосу прозрачности фильтра из условия пропускания:

Обозначим частоту среза . Тогда получим

или .

Таким образом, идеальный (не содержащий активного сопротивления) фильтр пропускает частоты от нуля до частоты среза.

В полосе прозрачности

В зоне затухания

На рис. 10.4 показаны частотные зависимости коэффициента затухания и коэффициента фазы низкочастотного фильтра.

Фильтры верхних частот

Фильтр верхних частот состоит из продольных емкостных сопротивлений и поперечных индуктивных (рис. 10.5).

Емкостные сопротивления малы для высокочастотных сигналов и велики для низкочастотных, поэтому сигналы высоких частот проходят на нагрузку, а низкочастотные замыкаются через индуктивность.

Как видно из приведенной схемы, продольное сопротивление , а поперечное . Произведение продольного и поперечного сопротивлений

не зависит от частоты, следовательно, фильтр типа k.

Полоса прозрачности фильтра определится из условия:

, или

В данном случае частота среза определяется выражением

Полоса пропускания будет лежать в пределах от частоты среза до бесконечности .

В полосе прозрачности .

В зоне затухания .

Частотные зависимости коэффициента затухания и коэффициента фазы низкочастотного фильтра показаны на рис. 10.6.

Полосовой фильтр

Полосовым называется фильтр, полоса пропускания которого ограничена зонами затухания как со стороны низких, так и со стороны высоких частот.

Полосовые фильтры представляют собой соединение фильтров верхних и нижних частот. При этом продольное сопротивление Z₁ состоит из последовательно соединенных индуктивности и емкости, а поперечное сопротивление Z₂ представляет собой параллельное соединение индуктивности и емкости (рис. 10.7).

Параметры последовательных и параллельных контуров подбираются такими, чтобы они были настроены на одну и ту же резонансную частоту, которая определяется выражением

На резонансной частоте сопротивление последовательного контура равно нулю, для параллельного контура нулю равна проводимость, следовательно, сопротивление бесконечно велико. Поэтому сигналы частот близких к резонансной будут пропускаться контуром. При отклонении частоты от резонансной в сторону низких или высоких частот сопротивление последовательного контура будет возрастать, а сопротивление параллельного контура уменьшаться, что приведет к ослаблению сигнала, поступающего на нагрузку.

Определим тип фильтра.

;

Отсюда

Поскольку произведение продольного и поперечного сопротивлений не зависит от частоты, то фильтр типа k.

Граничные частоты или частоты среза находятся из соотношения

, или .

Решая это уравнение, получим:

Полоса прозрачности фильтра ограничена частотами среза

то есть зависит только от индуктивности последовательного контура и емкости параллельного.

В полосе прозрачности

В полосе затухания

Частотные характеристики коэффициентов затухания и фазы представлены на рис. 10.8.

Чем уже полоса пропускания, тем большее затухание в полосе затухания.

Заградительный фильтр

Заградительный фильтр имеет зону зтухания, ограниченную со стороны нижних и верхних частот зонами прозрачности. Такой фильтр состоит из продольных сопротивлений, представляющих собой параллельное соединение индуктивности и емкости, и поперечных, являющихся последовательным соединением индуктивности и емкости (рис. 10.9).

Параметры схемы подбираются таким образом, чтобы последовательный и параллельный колебательные контуры были настроены на одну и ту же резонансную частоту.

Резонансная частота определяется выражением

На резонансной частоте параллельный контур обладает бесконечно большим сопротивлением, тогда как сопротивление последовательного контура равно нулю, следовательно, сигналы частот, близких к резонансной, не будут пропускаться фильтром. При отклонении частоты от резонансной в сторону низких или высоких частот сопротивление параллельного контура будет уменьшаться, а последовательного увеличиваться, что приведет к усилению сигнала, поступающего на нагрузку.

Продольное и поперечное сопротивления, соответственно, равны:

; .

Тогда произведение продольного и поперечного сопротивлений

Поскольку произведение продольного и поперечного сопротивлений не зависит от частоты, то фильтр типа k.

Граничные частоты или частоты среза находятся из соотношения

, или .

Решение этого уравнения дает

Заградительный фильтр прозрачен для частот от нуля до частоты среза ω₁ и от частоты среза ω₂ до бесконечности. Между частотами ω₁ и ω₂ лежит полоса затухания, ширина которой определяется из соотношения

В полосе прозрачности

В полосе затухания

Частотные характеристики коэффициентов затухания и фазы представлены на рис. 10.10.

Реальные характеристики всех фильтров несколько отличаются от идеальных. В полосе прозрачности , поскольку невозможно добиться полного согласования нагрузочного и характеристического сопротивлений.

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение электрического фильтра.

2. Приведите классификацию электрических фильтров.

3. Что называют полосой пропускания и зоной затухания фильтра?

4. Какими условиями определяется область пропускания реактивных электрических фильтров?

5. Приведите электрическую схему и объясните принцип действия фильтра нижних частот.

6. Какой вид имеют частотные характеристики коэффициента затухания и коэффициента фазы для фильтра нижних частот?

7. Приведите электрическую схему и объясните принцип действия фильтра верхних частот.

8. Какой вид имеют частотные характеристики коэффициента затухания и коэффициента фазы для фильтра верхних частот?

9. Какой фильтр называется полосовым?

10. Приведите схему и объясните принцип действия полосового фильтра.

11. Какой вид имеют частотные характеристики коэффициента затухания и коэффициента фазы для полосового фильтра?

12. Какой фильтр называется заградительным?

13. Приведите схему и объясните принцип действия заградительного фильтра.

14. Какой вид имеют частотные характеристики коэффициента затухания и коэффициента фазы для заградительного фильтра?