Однофакторний дисперсійний аналіз
1.1.Основні співідношення. Вивчається вплив, який здіснює деяка якісна ознака (фактор) на кількісний результат (відзив), наприклад, вплив технології виготовлення приладу на його довговічність, вплив способу обробки землі на урожайність і т.п. Нехай фактор має 
рівнів 
і хай величина x, що вимірюється є результатом дії фактора і випадкової складової e (що не залежить від фактора):
Будемо вважати, 1) що при кожному рівні 
фактора, j = 1, ..., k, є 
вимірювань
i = 1, ..., nj , (6.1)
де позначено 
, 2) що випадкова складова e нормально розподілена N(0, s2) з дисперсією s2. Якщо впливу фактора немає, то всі 
рівні. Отож, є вибірок об’ємами n1, ..., nk, 
. Перевіримо гіпотезу про відсутність впливу :
H: a1 = a2 =...= ak
По кожній з вибірок методом найбільшої правдоподібності оцінимо середні aj і дисперсію s2:
, (6.2)
потім оцінимо s2 по всіх вибірках:
. (6.3)
Ця статистика незміщенно оцінює s2 незалежного від того, вірна чи ні гіпотеза 
.
Другу оцінку для s2 побудуємо по значеннях 
. Якщо вірна, то 
. Оцінки для 
і s2:
, 
(6.4)
З теореми про сумісний розподіл оцінок середнього і дисперсії нормальної сукупності витікає, що статистики (N - k)s2* і (k-1)s2** незалежні і розподілені як s2c2N-k і 
відповідно, і тому їхнє відношення
, (6.5)
якщо гіпотеза вірна, має F-розпділ Фішера.
Якщо гіпотеза не вірна, то s2** має тенденцію до збільшення за рахунок розкиду середніх aj, і тому, якщо 
має занадто велике значення, тобто якщо
, (6.6)
то гіпотеза про відсутність впливу фактора 
відхиляється, і необхідно вважати, що серед середніх a1, a2, …, ak є хоча б два не рівних; тут 
- квантиль рівня 
F-розподілу з 
і 
ступенями свободи, a - вибираний рівень значущості. Якщо ж (6.6) не виконується, то це означає, що спостереження не суперечать гіпотезі про відсутність фактора. Умова (6.6) може бути записана інакше:
, (6.7)
де F - випадкова величина, розподілена за законом Фішера.
Оцінка впливу фактора. Відношення 
підкоряється розподілу Стьюдента з ступенями свободи, і якщо Q = 
- квантиль рівня 1- a цього розподілу, то довірчий інтервал для aj з рівнем довіри 
:
(6.8)
Якщо гіпотеза про рівність середніх відхиляється, то слід визначити, по яких саме рівнях фактора середні значущо відрізняються. Лінійна комбінація
називається лінійним контрастом. Оцінка для L :
,
а оцінка дисперсії 
:
Зафіксуємо довільне число 
контрастів 
. Можна показати, що одночасно для всіх 
виконуються співвідношення:
(6.9)
з ймовірністю 1-a. Це співвідношення дозволяє зробити висновок всі контрасти, що нас цікавлять одночасно. Зокрема, серед різниць aj – ai можна виділити ті, які значно відрізняються від нуля на вибраному рівні значущості (метод Шеффе).
Приклад. На заводі розроблено дві нові технології Т1 і Т2. Щоб оцінити, як зміниться денна продуктивність при переводі на нові технології, завод протягом 10 днів працював по кожній, включаючи існуючу Т0. Денна продуктивність в умовних одиницях наведена в табл. 1. Перевіримо гіпотезу про відсутність впливу технології на продуктивність.
таблиця 6.1
| № | Т0 | Т1 | Т2 | № | Т0 | Т1 | Т2 |
ПОСЛІДОВНІСТЬ ВИКОНАННЯ РОБОТИ