Применение интегрального соотношения Кармана для решения задачи Блязиуса

Рассмотрим решение задачи Блязиуса о пограничном слое в несжимаемой жидкости вдоль плоской пластинки приближенным методом, используя интегральное соотношение Кармана [4]. Так как мы имеем дело с установившимся движением, в котором

то уравнение (5.47) напишется так:

(5.48)

Если бы нам было известно, что распределение скорости внутри пограничного слоя определяется формулой

где

то мы имели бы

где для краткости введено обозначение

(5.49)

Далее,

(5.50)

поэтому уравнение (5.48) принимает вид:

откуда

Интегрируя это уравнение и считая, что δ = 0 при х = 0, получим:

(5.51)

Так как вследствие формул (5.50) и (5.51):

то для сопротивления, испытываемого с одной стороны пластинкой ширины b и длины L, мы получим формулу

, (5.52)

для коэффициента трения имеем:

(5.53)

Наконец, для определения величины δ^* мы имеем, согласно формуле (5.31):

(5.54)

Основная идея метода Кармана состоит в том, что вместо того чтобы отыскивать точный вид функции f(η), можно задать вид этой функции. Если мы правильно схватим общий характер распределения скоростей в пограничном слое, то получим хорошее приближение как для зависимости δ от х, так и для численной величины коэффициента сопротивления.

Отсюда видны и положительные и отрицательные стороны метода Кармана. Этот метод хорош тем, что он требует гораздо меньших вычислений по сравнению с точными методами интегрирования дифференциальных уравнений теории пограничного слоя. Плохая же сторона метода Кармана состоит в том, что он применим только к тем случаям, когда мы имеем плавное распределение скорости в пограничном слое, так как только в этих случаях мы можем ожидать, что задаваемая с довольно большим произволом функция f(η) отразит общий характер течения в пограничном слое. Поэтому, в сущности говоря, мы должны довольно много знать о характере течения в пограничном слое, чтобы иметь возможность применять метод Кармана.

В нашей задаче мы имеем дело с очень плавным распределением скоростей, и поэтому мы должны ожидать, что метод Кармана даст хорошие результаты. В самом деле, примем, например, что

(5.55)

это обеспечивает нам при y = 0 u = 0, а при y = δ u = U₀, как и должно быть. Мы будем тогда иметь:

поэтому формула (5.51) дает:

(5.56)

а по формулам (5.52) и (5.53)

(5.57)

Наконец для δ^* имеем формулу:

(5.58)

Возьмем теперь распределение скоростей по параболе третьей степени

причем выберем следующие граничные условия:

u = 0, при y = 0; u = U₀, при y = δ, (5.59)

последнее из которых выражает, что на внешней границе пограничного слоя не только u, но и плавно переходят в соответствующие значения внешнего потенциального течения. Второе из взятых нами пограничных условий сразу вытекает из уравнения (5.59), если заметить, что при y = 0 как u_х, так и υ должны обращаться в нуль. Простое вычисление показывает, что надо взять

(5.60)

и далее

следовательно,

(5.61)

Мы видим, что величина d* во всех случаях получается очень близкой к той, которую дает точное решение; ошибка в определении с_f доходит до 15%, хотя в случае, когда за f(h) выбирают полином третьей степени эта ошибка не превышает 3%.