ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………...……….. 24
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК …………………………………..……. 25
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
1.1. Определение классическим методом переходного значения тока через резистор R3 при срабатывании коммутатора К1
Считая, что в цепи (рис.1) сработал только коммутатор К1 , рассчитаем переходное значение тока через резистор R3 . При расчёте классическим методом функция тока от времени iR3(t) записывается в виде суммы принужденной и свободной составляющих
iR3(t) = iR3пр(t) + iR3св(t), (1.1)
где iR3пр(t)- принужденная составляющая тока, соответствующая установившемуся режиму работы схемы после коммутации;
iR3св(t)- свободная составляющая тока, обусловленная наличием в схеме реактивных элементов.
Принужденную составляющую iR3пр(t) находим по схеме замещения цепи ( рис. 1.1) для установившегося режима ( t = ∞)
iR3пр(t)= E/(R2 + R3) = 150/(165 + 9) = 0,862 А. (1.2)
| R2 |
| E |
| R3 |
| iR3 |
Рис. 1.1. Схема замещения цепи для установившегося
режима ( t = ∞) на первом этапе
Для определения свободной составляющей тока iR3св(t) составим схему цепи после срабатывания коммутатора К1 (рис.1.2). По этой схеме определим входное сопротивление Z(p), приравняем его к нулю и решим полученное характеристическое уравнение Z(p) = 0.
| R2 |
| R3 |
| Lp |
|
| R1 |
Рис. 1.2. Расчётная схема для составления характеристического
уравнения на первом этапе
Z(p) =R1 + 1/Cp + R2(R3 + Lp)/(R2 + R3 + Lp) = 0;
CL(R1 + R2) p2 + [C(R1R2 + R1R3 + R2R3) + L] p + R2 +R3 = 0;
600.10-6∙100.10-3∙(0,01 + 165)p2 +[600.10-6 ∙(0,01∙165 + 0,01∙9 +165∙9)+ 100.10-3]p + 165 + 9 = 0;
0,0099p2 + 0,992p + 174 = 0;
p1 = -50,101 + j122,742 с-1,
p2 = -50,101 – j122,742 с-1.
Характеристическое уравнение имеет два комплексно–сопряжённых корня p1 и p2, поэтому свободная составляющая тока будет иметь вид затухающих синусоидальных колебаний:
iR3св(t) = Ae-αt sin(ω0t + φ), (1.3)
где α = 50,101 c-1 – показатель затухания;
ω0 = 122,742 рад/с – угловая частота свободных колебаний.
Подставим найденные значения принужденной (1.2) и свободной (1.3) составляющих в (1.1), получим
iR3(t)= 0,862 + Ae-50,101 t sin(122,742 t + φ). (1.4)
Неизвестные значения постоянных интегрирования A и φ определим по значению тока iR3(t) и его первой производной 
при t = 0, решая систему двух уравнений
iR3(t)= 0,862 + Ae-50,101 t sin(122,742 t + φ); (1.5)
Так как 
, а iL(t) = iR3(t) - как ток одной ветви, то
.
iR3(0) и uL(0) находятся из схемы t = 0+.
С учётом этого систему (1.5) при t = 0 запишем следующим образом
iR3(0) = 0,862 + A sin φ; (1.6)
.
Определим начальные условия. При разомкнутом коммутаторе К1 в цепи (рис.1) тока нет, то есть iR3(0-) = iL(0-) = 0. С учётом первого закона коммутации iL(0-) = iL(0+) значение тока через резистор R3 непосредственно после коммутации iR3(0+) = 0.
Значение uL(0+) является зависимым начальным условием, для нахождения его составим схему замещения для t = 0+, заменяя L и C источниками тока JKL = iL(0-) и ЭДС EC = uC(0-) соответственно (рис.1.3)
| R2 |
| R3 |
| E |
| EC = uC(0-) |
| R1 |
| JKL = iL(0-) |
| uL(0+) |
Рис. 1.3. Расчётная схема цепи для определения uL(0+)
| R2 |
| R3 |
| E |
| uC(0-) |
| R1 |
| K1 |
Рис. 1.4. Расчётная схема цепи для t = 0-
Так как (рис. 1.4.) iL(0-) = 0 и uC(0-) = 0, то JKL = 0 и EC = 0. Из схемы замещения (рис.1.3) находим: uL(0+) = E = 150 В, подставим найденные начальные условия в систему (1.6)
0=0,862 + A sin φ ,
.
Решая эту систему уравнений, из первого уравнения 
. Подставляя это значение А во второе уравнение, получим
1500 = -50,101∙(-0,862) ∙ 
+ 122,742∙(-0,862)∙ 
;
ctg φ = -13,849, φ = -0,072 рад;
= 
=11,982.
Подставляя найденные значения постоянных интегрирования в (1.4), окончательно имеем искомое переходное значение тока через сопротивление R3 после срабатывания коммутатора К1
iR3(t) = 0,862 + 11,982e-50,101 t sin(122,742 t – 0,072) . (1.7)
1.2. Определение классическим методом переходного значения тока через резистор R3 при срабатывании коммутатора К2
Согласно указаниям [1] время, через которое срабатывает коммутатор К2
t1 = 1,5:α = 1,5: 50,101 = 0,029939522 с,
где α = 50,101 с-1 – показатель затухания переходного процесса на первом интервале.
Закон изменения переходного тока в общем случае после срабатывания коммутатора К2 записывается в виде (1.1). При этом время t отсчитывается от момента срабатывания ключа К2.
Принужденную составляющую на втором этапе определим из схемы замещения для установившегося режима (t = ∞), представленной на рис.1.5
iR3пр(t) = 
= 
=16,667 А. (1.8)
| E |
| R3 |
| iR3 |
Рис.1.5. Схема замещения цепи для установившегося
режима ( t = ∞) на втором этапе
Для определения свободной составляющей тока на втором этапе найдём входное сопротивление Z(p) расчётной схемы, представленной на рис.1.6.
| R3 |
| Lp |
Рис.1.6. Расчётная схема для составления характеристического уравнения на втором этапе
Z(p) = R3 + Lp.
Решаем характеристическое уравнение Z(p) = 0
R3 + Lp = 0,
p = - 
= - 
= - 90 c-1.
Так как характеристическое уравнение имеет единственный корень, то свободная составляющая iR3св(t) на втором этапе изменяется по апериодическому закону с коэффициентом затухания p = - 90 c-1
iR3св(t) = D 
, (1.9)
где D – постоянная интегрирования.
Подставим найденное значение принужденной (1.8) и свободной (1.9) составляющих переходного тока в (1.1), получим
iR3(t) = 16,667 + D ,. (1.10)
Постоянную интегрирования D найдём из начальных условий. В начальный для второго интервала момент времени t=0
iR3(0) = 16,667 + D, (1.11)
где начальное значение тока для второго этапа iR3(0) = iL(0-) = iL(0+) = iR3(t1) (рис.1.7).
| E |
| R3 |
| iR3 |
| JKL = iL(0-) |
Рис. 1.7. Расчётная схема цепи для режима t=0+
на втором этапе
Начальным моментом времени для второго этапа будет являться время t1 = 0,029939522 с. Подставим это значение t в (1.7), получим
iR1(0) = 0,862 + 11,982-50,101∙ 0,02993952 sin(122,742∙0,02993952 – 0,072) = 0,851 А.
Подставляя значение iR1(0) = 0,851 А в (1.11), получим
0,851 = 16,667 + D,
D = -15,816.
Подставим это значение постояной интегрирования в (1.10).Закон изменения тока через резистор R3 после срабатывания коммутатора К2 имеет вид:
iR3(t) = 16,667 – 15,816-90t А.
Полное выражение для искомого тока после последовательного срабатывания коммутаторов К1 и К2 записывается следующим образом:
iR3(t) = 1(t)[0,862 + 11,982e-50,101 t sin(122,742 t – 0,072)] –
-1(t - 0,02993952) [0,862 + 11,982e-50,101 t sin(122,742 t – 0,072)] +
+1(t - 0,02993952)[ 16,667 – 15,816e-90(t - 0,02993952)] ,
где 1(t) – единичная функция Хевисайда.
График зависимости переходного тока через резистор R3 в функции от времени представлен на рис.1.8.
1.3. Определение операторным методом переходного значения тока через резистор R3 при срабатывании коммутатора К1
После срабатывания коммутатора К1 iL(0) = 0 и uC(0) = 0, т.е. начальные условия цепи – нулевые, поэтому при составлении операторной схемы замещения индуктивность L замещаем только пассивным элементом Lp, а ёмкость C – пассивным элементом 
. Таким образом, для исходной цепи (рис.1) операторная схема замещения после срабатывания коммутатора К1 будет выглядеть следующим образом (рис.1.9).
|
| Lp |
| R2 |
| R1 |
|
| R3 |
| a |
| I3(p) |
| b |
Рис.1.9. Операторная схема замещения цепи на первом этапе
По закону Ома в операторной форме
IR3(p) = 
= 
,
где Z(p) – операторное входное сопротивление между точками a и b.
По схеме (рис.1.9) Z(p) = R3 + Lp + 
.
Таким образом изображение тока через резистор R3:
IR3(p) = 
= 
= 
=
= 1500 
.
Для перехода от изображения к оригиналу тока преобразуем выражение IR3(p) к табличному виду F(p) = 
:
IR3(p) = 1500 
= 1500∙F(p) . (1.12)
По таблице 8.4 –2 преобразований Лапласа для рациональных изображений [2] соответствующий оригинал функции будет иметь вид:
f(t) = Aeat sin(ω1t + α) + K, (1.13)
где ω1= 
= 122,742;
K = 
= 
= 0,000575; a=-50,101; d=10,101;
A = 
= 
= 0,00793;
α =arctg 
-arctg 
=arctg 
-arctg 
= -0,072 рад.
Подставим значения найденных коэффициентов в (1.13):
f(t) = 0,00793e-50.101t sin(122,742t – 0,072) + 0,000575.
Переходя от изображения к оригиналу функции из(1.12), находим значение переходного тока через резистор R3 после срабатывания К1:
iR3(t) = 1500∙f (t) = 1500∙[0,00793e-50,101t sin(122,742t – 0,072) + 0,000575] = 0,862 + 11,895e-50,101t sin(122,742t – 0,072).