Практические занятия по теме. «Исследование функций»

⇐ Назад

Далее ⇒

«Исследование функций»

Цель: Углубленное усвоение лекционного занятия и проверка знаний студентов по теме, научится решать задачи по теме.

Планы занятий:

Решение задач и одновременное повторение основных терминологий и алгоритмов. Примеры решения задач:

Пример 1. Определить поведение функции y = – x² + 5x – 3 при х = – 1.

План решения

1. Найти y'.

2. Определить знак y' в точке х = – 1. Для этого вместо x в y' подставить – 1.

3. Сделать вывод: если y'(– 1) > 0, то в точке м функция возрастает, если y'(– 1) < 0, то в точке х = – 1 функция убывает.

Решение	Комментарий
y' = (– x² + 5x – 3)' = – 2x + 5. y'(– 1) = – 2(– 1) + 5 = 2 + 5 = 7 > 0. Следовательно, в точке х = – 1 функция возрастает.	Использовать формулы: (xⁿ)' = nxⁿ^–¹; (Cx)' = C, C = const; C' = 0.

Пример 2. Найти промежутки возрастания или убывания функции y = 3x² – 9x + 2.

План решения

1. Найти область определения функции.

2. Найти y'.

3. Найти критические точки x₁, x₂ и т.д., т.е. точки области определения, в которых y' = 0. Нанести эти точки на числовую прямую. Получится несколько интервалов.

4. Определить знак y' в каждом полученном интервале и сделать вывод:

1. Область определения: D(y): (– ∞; + ∞), т.к. функция представляет собой многочлен. 2. y' = (3x² – 9x + 2)' = 6x – 9. 3. y' = 0 при 6x – 9 = 0, .

Функция возрастает при x>1,5 и убывает при x<1,5 .

Использовать формулы: (xⁿ)' = nxⁿ^–¹; (Cx)' = C, C = const; C' = 0. Для определения знака y' в каждом интервале необходимо взять числа из каждого интервала и подставить в уравнение производной.

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции:

f(x) = 2x³ – 9x² + 12x – 5 на отрезке [0; 3].

Решение. Находим f′(x) = 6x² – 18x + 12 = 0 и приравниваем к нулю: 6x² – 18x + 12 = 0 или x² – 3x + 2 = 0.

Решая уравнение, находим критические точки x₁ = 1; x₂ = 2, причем обе лежат внутри отрезка.

Находим значение функции f(0) = – 5; f(1) = 0; f(2) = – 1; f(3) = 4. Наибольшее значение равно 4, а наименьшее – 5.

Пример4.Найти интервалы монотонности и экстремумы функции

Решение

В соответствии со схемой исследования (п. 6) найдем

у' = 2х² –5х +2.

Очевидно, производная существует при всех значениях х. Приравнивая у' к нулю, получаем уравнение

2х²– 5х + 2 = 0,

Откудач x₁=0,5 и x₂ =2 — критические точки. Знаки производной имеют вид (рис.1):

Рис. 1

На интервалах (-∞; 0,5) и (2; +∞) производная f′(x) > 0 и функция возрастает, на интервале (0,5; 2) f′(x) < 0 и функция убывает; x = 0,5 — точка максимума и x = 2 — точка минимума и так как при переходе через эти точки производная меняет свой знак соответственно с«+» на «–» и с «–» на «+».

Замечание.

Установить существование экстремума в критических точках и x = 2,в которых f′(x) = 0 можно было и с помощью второй производной f"(x) = 4x – 5 (см. п. 5). Так как а f"(2) = 3 > 0, то — точка максимума, а х = 2 — точка минимума.

График данной функции схематично показан на рис. 2. ►

Рис. 2

Пример5.Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

y = (xlnx – x)².

Решение

Производная существует во всех точках, в которых существует и сама функция, т.е. при х > 0. Точки, в которых производная обращается в нуль, задаются равенствами lnх = 0, lnx – 1 = 0, откуда x₁ = 1, x₂ = e — критические точки. Знаки производной указаны на рис. 3.

Рис. 3

Таким образом, функция монотонно возрастает на промежутках (0; 1) и (е; +оо) и монотонно убывает на промежутке (1; e). Точка х = 1 — точка максимума и f_max(1) = 1, точка х = e — точка минимума и f_min (е) = 0

. ►

Рис. 4

Пример 6. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

Решение

Производная не существует при cosx = 1, т.е. при x = 2πn и равна нулю при x = π + 2πn. Знак производной совпадает со знаком sinx; таким образом у' > 0 при 2πk < х < π + 2пk и у' < 0 при –π + 2пk < x < 2пk. Это, соответственно, интервалы возрастания и убывания функции. x = π + 2пk — точки максимума x = 2пk — точки минимума f_min(2пk) = 0. ►

Рис. 5

Пример 7. Найти наибольшее значение (глобальный максимум) функции

на интервале (10; 18).

Решение

Найдем

На интервале (10; 18) имеется всего одна критическая точка х = 16. Производная при переходе через эту точку меняет знак с «+» на «–», т.е. х = 16 — точка максимума. Следовательно, функция достигает наибольшего значения при х = 16, т.е. f_наиб =f_max(16) = –16. (Заметим, что наименьшего значения (глобального минимума) данной функции на указанном интервале не существует.)

►

Рис. 6

Пример 8. Забором длиной 24 м требуется огородить с трех сторон прямоугольный палисадник наибольшей площади. Найти размеры палисадника.

Решение

Пусть длины сторон палисадника х, у.Тогда 2х + у = 24, т.е. у = 24 – 2х.Площадь палисадника S = xy = x(24 – 2x) = 24x – 2x², где 0 < x < 12 (ибо 24 – 2x > 0). Таким образом, задача свелась к отысканию значения х,при котором S(x) принимает наибольшее значение на интервале (0; 12). Найдем S'(x) = 24 – 4х = 0 при х = 6. Легко видеть, что х = 6— единственная точка экстремума — максимума функции S(x). Это означает, что на интервале (0; 12) S(x)принимает наибольшее значение при х = 6, т.е. искомые размеры палисадника 6 м и 24 – 2 – 6 = 12 м. ►

Пример 9. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба функции y = x⁴ – 4x³ + 3.

Решение

1) D(y) = (–¥; ¥).

2) y' = 4x³ – 12x².

3) y'' = 12x² – 24x, y'' = 0 при 12x² – 24x = 12x(x – 2) = 0, x = 0 и x = 2.

Точки x = 0, — критические точки второго рода.

y(0) = 3, y(2) = –13.

Пример 10. Найти все возможные асимптоты к графику функции

Решение

1) D(y) = (–¥; 3) È (3; +¥), точка х = 3 является точкой разрыва. Следовательно, прямая х = 3 является вертикальной асимптотой.

Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва слева и справа от нее.

2) Найдем наклонную асимптоту, для этого вычислим пределы (3.4) и (3.5) применительно к нашей функции

В итоге получили наклонную асимптоту с уравнением у = 2.

Пример 11. Исследовать функцию

и построить ее график.

Решение. Исследуем функцию по рекомендованному плану.

1. D(f): (–¥; –1) È (–1; ¥).

2. Точка разрыва x = –1, вертикальная асимптота x = –1.

3. Найдем невертикальную асимптоту y = kx + b.

Итак, уравнение невертикальной асимптоты

y = x + 1.

4. При x = 0 находим точку пересечения с осью ординат y = 2. При y = 0 получаем уравнение x² + 2x + 2 = 0. Это уравнение не имеет решений (D < 0), следовательно, график не имеет пересечения с осью абсцисс.

5. Проверим, является ли функция четной или нечетной.

Функция не является ни четной, ни нечетной, поэтому у ее графика нет симметрии ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

6. Найдем точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции

Найдем критические точки, приравняв производную нулю:

Критиче(–¥; –2) –2 (–2; –1) (–1; 0) (0; +¥) y' + – – + y возрастает max убывает убывает min возрастает

7. Определим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

так, y''не обращается в нуль ни в одной точке, следовательно, точек перегиба нет. Построим таблицу:

х	(–¥; –1)	(–1; +¥)
y'	–	+
y	Ç	È

Занесем все данные в одну общую таблицу:

х	(–¥; –2)	–2	(–2; –1)	(–1; 0)		(–1; +¥)
y'	+		–	–		+
y''	–		–	+		+
y	Возрастает Ç	max –2	Убывает Ç	Убывает È	min 2	возрастает È

Учитывая проведенное исследование, построим график:

Основная литература

1. Шипачёв, В.С. Высшая математика: учебник для вузов.- 8-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 2007.- 479с., илл. ББК 22.1 МО

2. Башмаков, М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для СПО.- М.: Академия, 2012.- 208с. ББК 22.1 ФИРО

3. Башмаков, М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для СПО.- М.: Академия, 2012.- 416с. ББК 22.1 ФИРО

4. Федорова Н.В. Математика. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7227-3

5. Лукша В.В. Математика. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7228-0

6. Гунько Ю.А. Математический анализ. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7230-3

7. Щербакова Ю.В. Дифференциальные уравнения. Учебное пособие. Научная книга. 2012.

8. Боронина Е.Б. Математический анализ. Учебное пособие. Научная книга. 2012.

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов: Учебник / Кремер Н.Ш. - М.: Юнити, 2006, 2008, 2009.

2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учб. пособ./ Под ред. В.И. Ермакова-М.:ИНФРА-М,2004.

3. Общий курс высшей математики (для экономистов): Учебник / Под ред. Ермакова В.И. – М.: Инфра-М, 2003.

4. Кузнецов Б. Т. Математика. М., ЮНИТИ, 2004

Формы текущего контроля знаний: решение задач.

Формы контроля самостоятельной работы студентов: ответы на вопросы, проверка решения задач, заданных на дом.