Практические занятия по теме. Цель: Углубленное усвоение лекционного занятия и проверка знаний студентов по теме, научится решать задачи по теме

«Ряды»

Цель: Углубленное усвоение лекционного занятия и проверка знаний студентов по теме, научится решать задачи по теме.

Планы занятий:

Решение задач и одновременное повторение основных терминологий и алгоритмов. Примеры решения задач:

Пример 1

.

¾ сумма бесконечной геометрической прогрессии.

При q < 1 ряд сходится и его сумма равна

a/(1 - q).

При q > 1 ряд расходится.

Пример 2.

Очевидно, что этот ряд расходится.

Пример 3.

¾ гармонический ряд.

но ряд расходится.

Пример 4. Рассмотрим ряд

Сравним его с гармоническим рядом

По признаку сравнения данный ряд расходится.

Пример 5.

a > 0.

при a < 1 ряд сходится, a > 1 ряд расходится.

Пример 6.

Ряд расходится.

Пример 7.С помощью признаков сравнения исследуйте ряд на сходимость:

Решение

Несколько членов данного ряда не являются положительными. Если отбросить конечное число членов этого ряда, он станет знакоположительным. Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость или расходимость ряда <…>, поэтому к этому ряду можно применить предельный признак сравнения. Если общий член ряда представляет собой отношение двух многочленов, то при подборе эталонного обобщенного гармонического ряда значение α выбирают равным разности наибольших показателей степеней знаменателя и числителя. Наибольший показатель степени знаменателя равен 3, числителя — 1, поэтому α = 3 – 1 = 2, и в качестве эталонного ряда возьмем обобщенный гармонический ряд с членами vn = 1 / n2.

Поскольку предел к конечен и отличен от нуля, условие выполнено. На основании предельного признака сравнения заключаем, что исследуемый ряд , и эталонный ряд ведут себя одинаково. Эталонный ряд сходится (обобщенный гармонический ряд, α = 2, <…>), поэтому исследуемый ряд тоже сходится.

Пример 8.Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:

Решение

Для того чтобы вычислить

преобразуем ип+1 / ип:

Далее,

 

Поскольку l = 1/3 < 1, то по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

Пример 9. Исследовать сходимость ряда

Решение

Применим интегральный признак сходимости. Рассмотрим

Эта функция удовлетворяет всем условиям интегрального признака. По определению несобственного интеграла

Найдем

 

 

(при вычислении определенного интеграла мы воспользовались тем,

и применили формулу Ньютона–Лейбница <…>

Далее,

Поскольку предел конечен, несобственный интеграл сходится, и по интегральному признаку сходимости <…> исследуемый ряд тоже сходится.

Замечание. При попытке использовать признак Даламбера для исследования сходимости данного ряда получим, что l = 1, т.е. необходимо дополнительное исследование. При попытке найти эталонный ряд вида и применить предельный признак сравнения получим, что k = 0 при α ≤ 1 или k = ∞ при α > 1, т.е. применение предельного признака сравнения с эталонным обобщенным гармоническим рядом невозможно. Также невозможно исследовать сходимость этого ряда с помощью эталонных рядов вида признака сравнения <…>, поскольку члены исследуемого ряда при α ≤ 1 меньше членов расходящихся рядов, а при α > 1 они больше членов сходящихся рядов. В этих ситуациях признак сравнения не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Пример 10.

¾ ряд сходится,

¾ ряд расходится.

Таким образом, ряд является условно сходящимся.

Пример 11.

¾ ряд сходится,

¾ ряд сходится.

Ряд является абсолютно сходящимся.

Пример 12.

следовательно, ряд сходится.

Пример 13.

следовательно, ряд сходится.

Пример 14. Исследовать ряд на сходимость

Решение

В данном случае . При п ≥ 3 члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине,

Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, поэтому по признаку Лейбница ряд сходится.

Определим тип сходимости ряда. Для этого исследуем сходимость ряда, составленного из модулей членов данного ряда. Его члены равны Применим предельный признак сравнения, в качестве эталонного ряда возьмем гармонический ряд, vn = 1 / n. Имеем

т.е. предел k конечен и отличен от нуля, и исследуемый ряд ведет себя так же, как и эталонный ряд. Из расходимости эталонного ряда следует расходимость исследуемого ряда.

Таким образом, сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, т.е. ряд сходится условно.

Пример 15. Найти область сходимости степенного ряда

1 + x + x2 + ... + xn + ...

Решение.

Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем q = x, который сходится при |q| = |х| < 1. Отсюда –1 < х < 1, т.е. областью сходимости является интервал (–1; 1).

Пример 16.Найти область сходимости степенного ряда

Решение.

Найдем радиус сходимости ряда :

т.е. интервал сходимости ряда

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. На левом конце при данный степенной ряд принимает вид

этот ряд сходится по признаку Лейбница. На правом конце при получаем ряд

представляющий обобщенный гармонический ряд при α = 2, у которого все члены с четными номерами равны нулю. Так как α = 2 > 1, то этот ряд сходится.

Следует отметить, что сходимость ряда на левом конце интервала сходимости могла быть установлена с помощью достаточного признака сходимости знакопеременного ряда, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. ряд

сходится. Итак, область сходимости данного ряда

Основная литература

1. Шипачёв, В.С. Высшая математика: учебник для вузов.- 8-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 2007.- 479с., илл. ББК 22.1 МО

2. Башмаков, М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для СПО.- М.: Академия, 2012.- 208с. ББК 22.1 ФИРО

3. Башмаков, М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для СПО.- М.: Академия, 2012.- 416с. ББК 22.1 ФИРО

4. Федорова Н.В. Математика. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7227-3

5. Лукша В.В. Математика. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7228-0

6. Гунько Ю.А. Математический анализ. Учебное пособие. – Волгоградский институт бизнеса, вузовское образование. 2013. ISBN: 978-5-9061-7230-3

7. Щербакова Ю.В. Дифференциальные уравнения. Учебное пособие. Научная книга. 2012.

8. Боронина Е.Б. Математический анализ. Учебное пособие. Научная книга. 2012.

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов: Учебник / Кремер Н.Ш. - М.: Юнити, 2006, 2008, 2009.

2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учб. пособ./ Под ред. В.И. Ермакова-М.:ИНФРА-М,2004.

3. Общий курс высшей математики (для экономистов): Учебник / Под ред. Ермакова В.И. – М.: Инфра-М, 2003.

4. Кузнецов Б. Т. Математика. М., ЮНИТИ, 2004

Формы текущего контроля знаний: решение задач.

Формы контроля самостоятельной работы студентов: ответы на вопросы, проверка решения задач, заданных на дом.

 


 

 

Варианты контрольных работ

Вариант 1