Сформулируйте теорему Айткена о коэффициентах обобщенного МНК
МНК-оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии, чьи случайные ошибки подвержены явлениям гетероскедастичности или автокорреляции, не будут удовлетворять теореме Гаусса-Маркова. Свойствами состоятельности и несмещённости МНК-оценки будут обладать, однако свойство эффективности в этом случае утрачивается.
Для вычисления оценок неизвестных коэффициентов модели регрессии с гетероскедастичными или коррелированными случайными ошибками используется обобщённый метод наименьших квадратов. Оценки, полученные с помощью данного метода, будут удовлетворять условиям состоятельности, несмещённости и эффективности.
В основе нормальной линейной модели регрессии среди прочих лежат условия о некоррелированности и гомоскедастичности случайных ошибок:
1) дисперсия случайной ошибки модели регрессии является величиной, постоянной для всех наблюдений:
2) случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой, т. е. ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю:
Определение. Обобщённой линейной моделью регрессии называется модель, для которой нарушаются условия о гомоскедастичности и некоррелированности случайных ошибок.
Таким образом, обобщённая линейная модель регрессии характеризуется неоднородностью дисперсий случайных ошибок:
D(?i)? D(?j)?G2?const, где i?j,
и наличием автокорреляции случайных ошибок:
Cov(?i,?j)?E(?i,?j)?0 (i?j).
Матричный вид обобщённой линейной модели регрессии:
Y=X* ?+?,
где X – неслучайная матрица факторных переменных;
? – случайная ошибка модели регрессии с нулевым математическим ожиданием E(?)=0 и дисперсией G2(?):
?~N(0;G2?),
? – ковариационная матрица случайных ошибок обобщённой модели регрессии.
Для нормальной линейной модели регрессии дисперсия случайной ошибки определялась на основе условия гомоскедастичности:
где G2=const – дисперсия случайной ошибки модели регрессии ?;
In – единичная матрица размерности n*n.
Для обобщённой модели регрессии ковариационная матрица случайных ошибок строится на основе условия непостоянства дисперсий остатков модели регрессии (гетероскедастичности) D(?i)? D(?j)?G2?const:
Отличие между нормальной линейной моделью регрессии и обобщенной линейной моделью регрессии заключается в матрице ковариаций случайных ошибок модели.
Теорема Айткена. В классе линейных несмещённых оценок неизвестных коэффициентов обобщённой модели регрессии оценка
будет иметь наименьшую ковариационную матрицу.
Общая формула для расчёта матрицы ковариаций ОМНК-оценок коэффициентов обобщенной модели регрессии имеет вид:
Величина G2(?) оценивается по формуле:
Однако значение G2(?) не следует трактовать как дисперсию случайной ошибки модели регрессии.
Коэффициент детерминации не используется при оценке качества обобщённой линейной модели регрессии, потому что он не отвечает требованиям, предъявляемым к обычному множественному коэффициенту детерминации.
Проверка гипотез о значимости коэффициентов обобщенной линейной модели регрессии и модели регрессии в целом осуществляется с помощью тех же статистических критериев, что и в случае нормальной линейной модели регрессии.
45. Каковы основные принципы прогнозирования экономических процессов?
Объективность и познаваемость социально-экономических процессов служат теоретическим фундаментом прогнозирования. Основанное на качественном и количественном анализе реальных социально-экономических процессов, выявлении объективных условий, факторов и тенденций их развития, прогнозирование базируется как на общенаучных, так и специфических подходах и основополагающих принципах,. В числе общих подходов выделяют следующие.
Исторический подход заключается в рассмотрении каждого явления и процесса во взаимосвязи его исторических форм. В процессе прогнозирования следует исходить из того, что современное состояние исследуемого объекта есть закономерный результат его предшествующего развития, а будущее — закономерный результат его развития в прошлом и настоящем.
Комплексный подход предполагает рассмотрение объекта исследования в его связи и зависимости с другими процессами и явлениями. Например, исследуя экономический объект, мы рассматриваем его во взаимосвязи с демографическими, научно-техническими, социальными, экологическими и другими процессами. В комплексном подходе выделяют генетический (исследовательский) и нормативный (целевой) подходы.
При генетическом (исследовательском) подходе, исходя из существующего положения вещей и выявленных тенденций развития, прогнозируют возможные результаты; становятся ясными последствия, к которым приведет тот или иной вариант развития. Генетический подход позволяет отразить устойчивые тенденции, присущие объекту прогнозирования и придающих его развитию инерционный характер. Любое предвидимое явление или процесс имеет истоки в настоящем и в прошлом, свое происхождение, генезис. И будущее, как бы оно ни было отлично от прошлого и настоящего, всегда с ними связано, оно формируется из уже известных элементов, хотя и в иных соотношениях, в системе новых связей.
У нормативного (целевого) подхода другая природа: он отражает, возможность управления прогнозируемыми процессами, исходя из целей социально-экономического развития. Цель развития подается нормативно, т.е. в виде определенного нормативного состояния, и исследуются способы ее достижения.
На первый взгляд целевой и генетический подходы кажутся взаимоисключающими вследствие их противоположной направленности. Но это не так. Они дополняют друг друга: исследуя будущее, мы всегда предполагаем какую-то цель, а задаваясь определенной целью, мы в общих чертах предусматриваем способы ее осуществления, исходя из сложившихся в прошлом и настоящем тенденций. А это делает невозможным использование на практике только генетического либо чисто нормативного подхода. Ибо если выдвигаемая цель никак не связана со складывающимися тенденциями, то не могут быть обоснованы и пути ее достижения, а в этом случае прогноз теряет всякие научные основания. И наоборот – если предвидение отражает лишь сложившиеся тенденции, то исчезает возможность оценить перспективы их развития и необоснованно игнорируется возможность управления ими. Но соотношение между генетическим и нормативным подходами может изменяться в пользу одного и другого. Это зависит от периода и специфики объекта прогнозирования. При прогнозировании с длительным периодом упреждения расширяется сфера применения нормативного подхода, так как связь между перспективой развития и сложившимися тенденциями ослабевает. При небольших периодах упреждения чаще используются генетические подходы.
От специфики объекта прогнозирования зависит возможность его регулирования. Если прогнозируемые процессы мало управляемы (например, демографические), то использование генетического подхода расширяется. При высокой степени управляемости объекта (например, динамика, структура производства), шире применяется нормативный подход. Использование генетического или нормативного подхода предопределяет выбор метода прогнозирования (см. гл. 5), а их сочетание позволяет всесторонне изучить проблему и выработать комплексный подход.
Основополагающим принципом прогнозирования является принцип системности. Он предполагает исследование количественных и качественных закономерностей в экономических системах, построение такой логической цепочки исследования, на которой процесс выработки и обоснования любого решения отталкивается от определения общей цели системы и подчиняет достижению этой цели деятельность всех подсистем. При этом данная система рассматривается как часть более крупной системы, и в то же время сама состоит из подсистем. Например, народное хозяйство, с одной стороны, рассматривается как единый объект исследований, а с другой – как совокупность относительно самостоятельных объектов.
Системный подход предполагает создание системы показателей, методов, моделей, которые соответствовали бы содержанию каждого отдельного относительно самостоятельного объекта и одновременно позволяли бы построить целостную картину возможного развития народного хозяйства. При таких требованиях возникают трудности методологического характера: построение целостной картины, требующей унифицированных моделей и информационного банка данных вступает в противоречие с прогнозными блоками – отдельными экономическими объектами, имеющими свою специфику и требующими максимального приближения к их внутренним особенностям. Это затрудняет получение единого и внутренне согласованного прогноза, обедняет его экономическое содержание. Для устранения противоречий используется «блочный» принцип построения комплексного прогноза.
Принцип адекватности предполагает, что методы и модели разработки прогнозов рассчитаны, в первую очередь, на выявление и количественное измерение устойчивых тенденций и взаимосвязей в развитии народного хозяйства и создание теоретического аналога реальных экономических процессов с их полной и точной имитацией. Адекватность означает максимальное приближение теоретической модели к устойчивым тенденциям развития, учет вероятностного, стохастического характера реальных процессов и оценку вероятности реализации выявленных тенденций. При использовании принципа адекватности методы и модели прогнозирования должны быть проверены на способность имитировать уже сложившиеся процессы и явления, т.е. они должны быть не только инструментом предвидения, но и инструментом познания.
При переходе от имитации процессов и тенденций к предвидению их развития необходимо определение возможных путей их развития, т.е. построение альтернативных вариантов развития прогнозируемого объекта. Принцип альтернатив-ности прогнозирования связан с возможностью развития народного хозяйства и его отдельных звеньев по разным траекториям, при разных взаимосвязях и структурных отношениях, т.е. он исходит из предположения о возможности качественно различных вариантов развития прогнозируемого объекта.
Главное при использовании этого принципа – отделить варианты развития осуществимые от неосуществимых при сложившихся и предвидимых условиях. Здесь необходима градация альтернатив по вероятности их практической реализации. При этом каждой альтернативе может сопутствовать комплекс проблем, что потребует изучения и определения дополнительных условий, выполнение которых позволит оценить возможность реализации данной альтернативы. На формирование альтернатив влияют и конкретные цели развития прогнозируемого объекта. В этом случае начинает работать принцип целенаправленности.
Принцип целенаправленности придает активный характер прогнозированию: прогноз не сводится к предвидению, а включает цели, которые предстоит достигнуть в экономике путем активных государственных действий. Этот принцип сопряжен с нормативным подходом и вытекает из него.
Названные принципы прогнозирования являются главными (хотя и не исчерпывающими) и лежат в основе конкретных методов и моделей прогнозирования. Они взаимосвязаны, их выборочное использование невозможно. При разработке научно-обоснованных прогнозов эти принципы следует рассматривать как единое целое.
53. Какие проблемы возникают при наличии автокорреляции остатков временного ряда?
Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда.
Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой.