ОЗНАКОМЛЕНИЕ СО СВОЙСТВАМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА С R – , L –, С – ЭЛЕМЕНТАМИ

Цель работы: получить навыки измерения и расчета сопротивлений и мощностей в цепи синусоидального тока; приобрести навыки сборки электрической схемы.

1. Общие сведения.

 

Схемы замещения элементов электрических цепей синусоидального тока (математические модели электрических цепей) составляются с помощью условных обозначений R–, L–, С– элементов. Параметры этих элементов:

- резистивный элемент с активным сопротивлением R, Ом, или активной проводимостью G = 1/R, Cм;

- индуктивный элемент с индуктивностью L, Гн, и реактивным индуктивным сопротивлением XL = 2πƒL, Ом или реактивной индуктивной проводимостью BL = 1/XL, См;

- емкостный элемент с емкостью С, Ф, и реактивным емкостным сопротивлением XC =1/2πƒC, Ом или реактивной емкостной проводимостью BC = 1/XC См.

Цепь с резистивным элементом.

Элементы электрической цепи, обладающие только активным сопротивлением R, называют резисторами (реостат, лампа накаливания). Пусть к зажимам цепи с активным сопротивлением R (рис.1) приложено напряжение

 

u = Umахsinωt.

 

Рис. 1. Электрическая цепь с резистивным элементом

 

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для мгновенного значения напряжения u = Ri, т. е.

где Imах = Umах/R или I = U/R.

 

Из вышеприведенного видно, что вектора напряжения и тока в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе, что показано на векторной и временной диаграммах (рис. 2 , рис.3).

Сдвиг по фазе между напряжением и током цепи равен

 

φ = ju - ji = 0° - 0° = 0°

 

Комплексные напряжение и ток цепи с резистивнымэлементом:

= ej0; φu = 0°;

İ = Iej0; φi = 0° .

Тогда комплексное сопротивление цепи равно

Z = /İ = Uej0/Ie j0= R,

т. е.комплексное сопротивление цепи с резистивным элементом равно положительному вещественному числу, модуль которого равен R

Векторная (на комплексной плоскости) и временные диаграммы приведены на рис. 2 и 3.

 

Рис. 2. Векторная диаграмма Рис. 3. Временная диаграмма

цепи с R-элементом цепи с R-элементом

 

Векторная диаграмма – это совокупность векторов, изображающих на плоскости синусоидально изменяющиеся с одной и той же частотой величины (напряжения, токи). Каждый вектор вычерчивается на комплексной плоскости с учетом его величины, начальной фазы, отсчитываемый от оси + 1.

Мощность цепи:

p = ui = UmахsinωtImахsinωt = UmахImахsin2ωt = UI(1 – cos2ωt),

 

т. к. напряжение и ток совпадают по фазе и мгновенное значение мощности всегда положительно. Таким образом, в цепи с резистивным элементом вся потребляемая электрическая энергия преобразуется в тепловую или другие виды энергии. Так как cosφ = 1, то среднее значение мощности за период равно активной мощности.

Р = UI = RI2,

 

где Р – активная мощность цепи, Вт, кВт, мВт.

Полная мощность цепи с R-элементом равна активной мощности, которая характеризует интенсивность передачи электроэнергии от источника к приемнику и ее преобразование в другие виды энергии. Это активный необратимый процесс. Временная диаграмма мощности цепи приведена на рис.3.

В комплексной форме полная мощность:

, ВА

Активная мощность измеряется ваттметром РW = UI = RI2, ток – амперметром, а напряжение – вольтметром. Таким образом, активное сопротивление цепи, содержащей только резистивный элемент, можно определить по показаниям амперметра и вольтметра или по показаниям ваттметра и амперметра.

 

R = UR/I, P = PW.

 

Цепь с емкостным элементом.

Конденсатор – это элемент электрической цепи, обладающий емкостью. Конденсатор состоит из двух пластин с большой поверхностью, выполненных из проводникового материала и разделенных диэлектриком. Емкость конденсатора определяет тот электрический заряд, который накапливается на пластинах при разности потенциалов между ними в 1 В.

При подаче на конденсатор синусоидального напряжения в силу того, что напряжение непрерывно меняется по значению и направлению, меняется и заряд на пластинах конденсатора. Это изменение заряда и связанное с ним движение электронов и есть электрический ток в цепи.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника питания и конденсатора емкостью С.

 

 

Рис. 4. Электрическая цепь с С-элементом

 

Пусть напряжение источника питания u = Uмахsinωt. Под действием напряжения в цепи возникает ток i и на каждой пластине конденсатора скапливается заряд Q = Cuc, где uс - падение напряжения на конденсаторе.

По второго закона Кирхгофа для цепи имеем u = uc.

Следовательно, ток в цепи, представляющий собой изменение заряда во времени равен:

 

i = dQ/dt = ωCUmахcosωt = ωCUmахsin(ωt + π/2) = Imахsin(ωt + π/2),

 

где амплитуда тока Imах = ωCUmах = Umах/(1/ωC).

Таким образом, в цепи с конденсатором ток опережает напряжение на угол π/2 и изменяется по синусоидальному закону.

Величина 1/ωC имеет размерность сопротивления, с/Ф = сВ/Кл = = сВ/сА = Ом). Это емкостное сопротивление

 

Xс = 1/ωC = 1/2πfC = Uc/I

 

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и емкости конденсатора.

Комплексные напряжение и ток цепи

= Uej0; ψu = 0º;

İ = Ie j90; ψi = + 90º;

Сдвиг по фазе между напряжением и током

φ = ψu - ψi = 0º - 90º = - 90º.

Комплексное сопротивление цепи

Z = /İ = Uej0/Iej90 = Хсe-j90 = -jXс.

Таким образом, комплексное сопротивление цепи с С-элементом равно отрицательному мнимому числу. Модуль комплексного сопротивления

Мощность цепи:

 

Р = ui = UmахsinωtImахsin(ωt + 90°) = UIsin2ωt,

т. е. мгновенная мощность имеет только переменную составляющую. В первую и третью части периода, когда ток совпадает по направлению с напряжением, мощность положительна и энергия передается от источника питания к цепи, а во вторую и четвертую четверти периода энергия запасается в электрическом поле конденсатора.

Таким образом, через четверть периода мощность меняет знак. Такая энергия обмена энергией между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией характеризуетсяреактивной мощностью Qс, равной амплитуде мгновенного значения мощности Qс = UI = - XсI2, где Qс – реактивная мощность цепи, вар, квар, мвар.

Полная мощность цепи с С-элементом равна реактивной мощности.

В комплексной форме полная мощность:

S = = Sejφ = UIcos90° - jUIsin90° = - jUI, ВА

Изменение мощности цепи с С-элементом, а также временные и векторная ( на комплексной плоскости) диаграммы напряжения и тока представлены на рис. 5,6.

I

Рис. 5. Временная диаграмма Рис.6. Векторная диаграмма

цепи с С-элементом цепи с С-элементом

 

В цепи с С- элементом ёмкостное сопротивление Хс и реактивная мощность Qc определяются по показаниям вольтметра Uc и амперметра Iа и равны :

 

Хс = Uc/ Iа ,Ом; Qc = Uc Iа вар.

 

источнике питания , . Комплексное сопротивление цепи , XL = 2πƒL, R = 0, φ = arctg(XL/R) = 90˚, XL/0 = ∞, arctg ∞ = 90°. Ток цепи İL= /Z L = Ue j 0/XLe+j 90˚ = (U/XL) e –j 90˚ = = IL e –j 90. Мощность цепи S = QL= XLIL2 , P = 0. Коэффициент мощности cos φ = 0 , φ = + 90º.  
Цепь с индуктивным элементом.

Трансформаторы, электрические двигатели, дроссели, кроме активного сопротивления обладают индуктивным сопротивлением. Индуктивностью обладают все проводники с током. В ряде случаев она мала и ею пренебрегают, но значительна там, где обмотки катушек состоят из большого числа витков провода.

Индуктивность возрастает, если магнитный поток замыкается по пути с малым магнитным сопротивлением (например, по стальному сердечнику).

Рассмотрим цепь с идеальной катушкой индуктивности с постоянной индуктивностью L, у которой активное сопротивление Rк = 0.

 

Рис. 7.Электрическая цепь с индуктивным элементом

 

Пусть к цепи с приложено напряжение u = Umахsinωt. Под действием напряжения в цепи возникает ток i, который создает магнитный поток Ф. Согласно закону электромагнитной индукции магнитный поток Ф индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции

 

еL = - wdФ/dt = - Ldi/dt,

где w - число витков катушки.

Знак «минус» согласно принципу электромагнитной индукции (закон Ленца) указывает на то, что еL всегда имеет такое направление, при котором она препятствует изменению магнитного потока или тока в цепи.

На рисунке показаны условные положительные направления напряжения u, тока i, ЭДС самоиндукции eL на элементе с индуктивностью L. Условное положительное направление ЭДС еL выбирают из условия, что ее действительное направление в любой момент времени противоположно напряжению на катушке uL.

По II ЗК имеем u - uL = 0, а с учетом того, что uL = - еL, получаем

u = eL = 0

 

Тогда

 

Umах sinωt – Ldi/dt = 0, или di/dt = Umахsinωt/L.

 

При решении этого уравнения получаем выражение для тока в цепи:

 

i = (Umах/L)sinωtdt = - Umахcosωt/ωL = Umахsin (ωt- π/2)/ωL =

= Imахsin(ωt - π/2).

 

Таким образом, в цепи с индуктивностью ток отстает от напряжения на угол π/2 и изменяется по синусоидальному закону.

Величина ωL имеет размерность сопротивления, Гн/с = В·с/А·с = = Ом.

Это индуктивное сопротивление XL = ωL = 2πfL.

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте и индуктивности. Тогда:

 

Imах= Umах/XL, или I = U /XL.

 

Так как ЭДС самоиндукции численно равна напряжению на элементе с индуктивностью, то XLI = U = ЕL

Следовательно, индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током i и ЭДС самоиндукции eL.

Комплексные напряжение и ток цепи

= Ue j0, ψu = 0o;

İ = Ie -j90, ψi = - 90o.

Сдвиг по фазе между напряжением и током

φ = 0° – (-90° ) = +90o

Комплексное сопротивление цепи

Z = /İ = Ue j0/Ie -j90 = XLej90 = jXL.

Таким образом, комплексное сопротивление цепи с L-элементом равно положительному мнимому числу.

Модуль комплексного сопротивления

Z = XL

Мощность цепи с L-элементом:

р = ui = Umахsinωt - Imахsin(ωt - 90°) = - UIsin2ωt.

 

т. е. мгновенная мощность имеет только переменную составляющую. В первую и третью части периода ток направлен от цепи к источнику питания, а во вторую и четвертую – от источника питания к цепи. Таким образом, через четверть периода мощность меняет знак. Такая энергия обмена между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена энергией характеризуется реактивной мощностью QL = UI.

Реактивная мощность цепи QL = ULI = XLI2, вар, квар, мвар.

Полная мощность цепи в комплексной форме:

S = = Sejφ = UIcos90° + jUIsin90° = jUI, ВА

Временная и векторная (на комплексной плоскости) диаграммы цепи с идеальной индуктивностью а также изменение мощности представлены на рисунках 8 и 9.

Рис.8. Временная диаграмма Рис.9. Векторная диаграмма

 

Цепь с реальной индуктивной катушкой.

Схема замещения реальной индуктивной катушки содержит R и L – элементы (рис.9).

 

Рис.9. Схема цепи с R и L - элементами

 

Комплексное сопротивление цепи

Zэкв = R + jXL = zejφ

φ = arctqXL/R

Ток цепи

İ = /Zэкв. .

Напряжения участков цепи :

= R İ; UL = jXL İ

Векторная диаграмма цепи с реальной индуктивной катушкой представлена на рис.10.

İ

Рис.10.Векторная диаграмма цепи с реальной индуктивной катушкой; ψi = 45º