Методические указания к выполнению лабораторной работы № 1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
"Казанский национальный исследовательский технический университет
Им. А. Н. Туполева-КАИ
(КНИТУ-КАИ)
НАБЕРЕЖНОЧЕЛНИНСКИЙ ФИЛИАЛ
Методические указания к выполнению
лабораторных работ
по дисциплине «Теория автоматического управления»
Набережные Челны
2011 г.
СОДЕРЖАНИЕ:
1. Лабораторная работа № 1. Исследование временных и частотных характеристик линейных САУ.
2. Лабораторная работа № 2. Исследование устойчивости линейных САУ.
3. Лабораторная работа № 3. Исследование показателей качества линейных САУ.
Приложение 1. Краткое руководство по применению MATLAB System и SIMULINK.
Список литературы
Лабораторная работа № 1
ИССЛЕДОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ И ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ЛИНЕЙНЫХ САУ
Цель работы: изучение основных характеристик и параметров линейных систем автоматического управления (САУ).
Теоретическая часть
Линейной САУ называется динамическая система, поведение которой во времени описывается линейным дифференциальным уравнением n-степени:
an∙y(n) + a(n-1)∙y(n-1) + … + a1∙y(1) + a0∙y = bm∙x(m) + b(m-1)∙x(m-1) + … + b1∙x(1) + b0∙x,
где a0, b0, … , an, bn – постоянные коэффициенты уравнения;
y – регулируемая переменная (выходная функция САУ);
х – входная переменная (функция) САУ;
y(i) = diy(t) / dti – i-я производная функции у, (i = 1, … , n);
xj = djx(t) / dtj – j-я производная функции x (j = 1, … , m).
Так, например, подлежащие исследованию две линейные САУ описываются следующими дифференциальными уравнениями, соответственно, второй и третьей степени:
1) а2∙у(2) + а1∙у(1) = b0∙x;
2) a3∙y(3) + а2∙у(2) = b0∙x.
Представленные выше уравнения запишем в стандартной форме записи этих уравнений:
1) Т22∙у(2) + Т1∙у(1) = К∙x;
2) Т33∙y(3) + Т22∙у(2) = К∙x,
где К = b0 – статический коэффициент усиления САУ;
Т33 = а3, Т22 = а2, Т1 = а1 – постоянные времени САУ, характеризующие ее динамические свойства.
Дифференциальные уравнения можно представить в операторной форме путем замены в них знака производной d/dt оператором Лапласа р:
1) Т22∙р2∙у + Т1∙р∙у = [(Т2∙р)2 + Т1∙р]∙ у = К∙x;
2) Т33∙р3∙у + Т22∙р2∙у = [(Т3∙р)3 + (Т2∙р)2]∙у = К∙x.
Отношение выходной величины у к входной переменной x в операторной форме есть передаточная функция W(p) САУ:
1) W(p) = y / x = К / [(Т2∙р)2 + Т1∙р];
2) W(p) = y / x = К / [(Т3∙р)3 + (Т2∙р)2].
Для формализованного описания динамических свойств САУ наряду с дифференциальными уравнениями и передаточной функцией W(p)используются следующие способы:
временные функции, характеризующие изменение во времени выходного сигнала определенного вида;
частотные характеристики, устанавливающие зависимость между амплитудой и фазой входного и выходного гармонических сигналов при изменении частоты входного сигнала.
К временным характеристикам динамических звеньев относят переходную и весовую функции.
Переходная функция h(t) определяет характер изменения во времени выходного сигнала звена, если входной сигнал является единичной ступенчатой функцией x(t) = 1(t): y(t) = h(t)∙1(t) = h(t).
Весовая функция g(t) (импульсная переходная функция) определяет характер изменения во времени выходного сигнала звена, если входной сигнал является импульсной функцией x(t) = δ(t) = 1′(t), которая представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, т.е. ее кривая на плоскости охватывает площадь, равную 1:
y(t) = g(t)∙δ(t) = g(t)∙1′(t)
Весовая функция является производной от переходной функции. Следовательно, переходную функцию h(t) можно определить путем аналитического и графоаналитического интегрирования весовой функции g(t):
g(t) = dh(t)/dt; h(t) = ∫ g(t) ∙ dt.
Изображением весовой функции L[g(t)], т.е. представлением ее в операторной форме, является передаточная функция W(p):
1) L[g(t)] = W(p) = K / [(T2∙р)2 + Т1∙р];
2) L[g(t)] = W(p) = К / [(Т3∙р)3 + (Т2∙р)2].
С целью упрощения нахождения оригинала L-1[W(p)] функции g(t), представленной в операторной форме, относительно сложное изображение W(p) можно разложить на сумму изображений более простых функций в виде элементарных дробей, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов:
1) 
;
2) 
.
Приведя правую часть полученных выражений к общему знаменателю, получим:
1) 
;
2) 
.
Так знаменатели левой и правой частей выражений равны, то, соответственно, равны и их числители, т.е.:
1) 
;
2) 
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях оператора Лапласа р левой и правой частей полученных формул:
1) К = А∙Т1; 0 = А∙Т22 + В;
2) К = В∙Т22; 0 = А∙Т22 + В∙Т33; 0 = А∙Т33 + С.
Решая систему уравнений (1) и (2), получим:
1) А = К / Т1; В = - А∙Т22 = - К∙Т22 / Т1;
2) В = К / Т22; А = - В∙Т33 / Т22 = - К∙Т33 / (Т22)2;
С = - А∙Т33 = К∙(Т33 / Т22)2.
Подставляя значения коэффициентов А, В и С в соответствующие исходные формулы, получим:
1) 
=
= 
;
2) 
=
= 
= 
.
Оригиналы изображений элементарных функций имеют следующий вид:
.
Заменяя в формулах 1) и 2) соответствующие изображения элементарных функций на их оригиналы, получим следующие выражения для весовых функций линейных САУ:
1) g(t) = 
; 2) g(t) = 
.
Так как переходная функция h(t) есть интеграл от весовой функции g(t), то найти ее можно либо путем непосредственного интегрирования функции g(t), либо путем нахождения сначала изображения L[h(t)] функции h(t), а затем ее оригинала. Изображение переходной функции можно получить путем умножения передаточной функции (изображения L[g(t)] весовой функции) на передаточную функцию идеального интегрирующего звена со статическим коэффициентом усиления, равным 1. Рассмотрим в качестве примера САУ с передаточной функцией W(p) = К / [(Т2∙р)2 + Т1∙р]:
L[h(t)] = W(p)∙ 
= 
.
Разложим полученное изображение передаточной функции на сумму изображений более простых функций в виде элементарных дробей, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов по аналогии с ранее рассмотренными примерами:
L[h(t)] = 
= 
.
Найдем значения коэффициентов А, В и С:
.
Находим оригиналы элементарных функций:
L-1(1/p) = 1; L-1(1/p2) = t; L-1[(T1 / T22) / (p + T1 / T22)] = [(T1 / T22)∙ 
.
Используя полученные выражения, находим оригинал искомой передаточной функции:
h(t) = 
+ 
+ 
∙ = 
.
Частотные характеристики САУ характеризуют реакцию системы на синусоидальное входное воздействие в установившемся режиме.
К частотным характеристикам относятся:
АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика;
АЧХ – амплитудно-частотная характеристика;
ФЧХ – фазовая частотная характеристика;
ЛАЧХ – логарифмическая АЧХ;
ЛФЧХ – логарифмическая ФЧХ.
АФЧХ представляет собой частотную передаточную функцию W(jω), которая получается путем замены в передаточной функции W(p) оператора Лапласа p на комплексную переменную jω. АФЧХ W(jω) можно представить в виде вектора на комплексной плоскости с координатами [M(ω), N(ω)] или в полярных координатах Н(ω) и φ(ω), которые являются соответственно АЧХ и ФЧХ:
W(jω) = N(ω) + jM(ω) = Н(ω)∙еjφ(ω). (1)
Здесь: Н(ω) – АЧХ, которая представляет собой зависимость значения модуля вектора W(jω) от круговой частоты ω;
φ(ω) – ФЧХ, которая представляет собой зависимость аргумента вектора W(jω) от круговой частоты ω;
N(ω) = Н(ω)∙cosφ(ω) – проекция вектора W(jω) на вещественную ось комплексной плоскости;
M(ω) = Н(ω)∙sinφ(ω) – проекция вектора W(jω) на мнимую ось комплексной плоскости;
При изменении частоты ω от нуля до бесконечности конец вектора W(jω) вычерчивает кривую в комплексной плоскости, которая называется годографом АФЧХ.
Определим в качестве примера частотную передаточную функцию для САУ с передаточной функцией в операторной форме W(p) = К / [(Т2∙р)2 + Т1∙р], которую для удобства дальнейших преобразований представим в виде:
W(p) = К / [(Т2∙р)2 + Т1∙р] = К1 / [(T∙p + 1)∙p],
где К1 = К / Т1; Т = (Т2)2 / Т1.
Произведя замену оператора Лапласа р на комплексную переменную jω, получим:
W(jω) = К1 / [(jωT + 1)∙jω] = 
=
= 
. (2)
Из выражения (2) получаем формулы для нахождения модуля Н(ω) и аргумента φ(ω) вектора АФЧХ, а также его проекций на вещественную N(ω) и мнимую М(ω) оси:
Н(ω) = 
; φ(ω) = - [90o + arctg(ω∙T)];
N(ω) = 
; М(ω) = 
. (3)
Фазовую частотную характеристику φ(ω) можно найти также из следующего соотношения: φ(ω) = arctg[М(ω) / N(ω)] = -[180o - arctg(1/ω∙T )].
Задание к лабораторной работе № 1
1. Используя метод неопределенных коэффициентов, найти аналитические выражения для весовой g(t) и переходной h(t) функций САУ, состоящей из двух последовательно соединенных элементарных динамических звеньев: апериодического и идеального интегрирующего звена.
2. Построить при помощи компьютерной программы MATLAB и вывести на печать графики найденных при выполнении п. 1 задания временных зависимостей g(t) и h(t).
3. Вывести аналитические выражения для частотных характеристик САУ по пункту 1: АФЧХ, АЧХ и ФЧХ.
4. Задаваясь характерными точками на оси частот построить примерные графики полученных при выполнении п. 3 задания частотных зависимостей.
5. При вычислениях следует использовать варианты параметров динамических звеньев, заданные табл. 1, в соответствии с последней цифрой шифра студента.
Примечание: тип 1 соответствует апериодическому звену;
тип 2 соответствует идеальному интегрирующему звену.
6. По результатам выполнения задания необходимо оформить отчет.
Таблица 1
| Тип звена | Параметры звена | Номер варианта | |||||||||
| К1 | 0,5 | 0,2 | 0,1 | 0,4 | |||||||
| Т1 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 0,05 | |
| К2 | 0,8 | 0,4 | 0,5 | 0,5 |
Методические указания к выполнению лабораторной работы № 1
1. Перед выполнением работы ознакомиться с основными определениями и формулами из раздела «Теоретическая часть».
2. Ознакомиться с заданием к лабораторной работе и выполнить п. 1 задания, принимая во внимание, что при последовательном соединении звеньев передаточная функция САУ равна произведению их передаточных функций:
, где К = К1∙К2, Т = Т1.
3. Перед выполнением пункта 2 задания ознакомиться в Приложении с краткими сведениями по использованию базовой программы MATLAB, после чего запустить программу MATLAB и выполнить следующую последовательность действий:
1) задать в окне команд описание передаточной функции САУ W(p) с помощью функции tf (transfer function), параметрами которой являются вектора численных значений коэффициентов числителя и знаменателя передаточной функции. Например, описание передаточной функции W(p) = 10 / (2∙p2 + 0,5∙p) будет выглядеть следующим образом: >> sys = tf ([10], [2 0.5 0]).
При нажатии клавиши Enter на экране монитора в окне команд высветится заданная передаточная функция в виде
,
где s – обозначение оператора Лапласа, принятое в МАТЛАБ.
Временную характеристику САУ g(t) строим с помощью функции impulse:
>> impulse (sys); grid,
где grid – признак отображения сетки графика.
При нажатии клавиши Enter на экране монитора в отдельном окне высветится график искомой весовой функции g(t) в виде, представленном на рис. 1.
Рис. 1 График весовой функции g(t) системы САУ,
описываемой передаточной функцией 
Скопировать с экрана график g(t), предварительно свернув все остальные открытые окна, и сохранить его как документ Word в папке «Мои документы» под произвольным именем.
Временная характеристика h(t) САУ строится с помощью функции step:
>> step(sys); grid.
После нажатия клавиши Enter на экране монитора в отдельном окне высветится график искомой переходной функции h(t) в виде, представленном на рис. 2.
Рис. 2 График переходной функции h(t) системы САУ,
описываемой передаточной функцией
Аналогичным образом скопировать с экрана график h(t), предварительно свернув все остальные открытые окна, и вставить его в свой документ Word.
4. Прежде, чем перейти к выполнению пункта 3 задания, необходимо также скопировать с экрана данные окна команд и вставить их в свой документ Word, а затем закрыть программу МАТЛАБ.
5. Выполнить пункты 3 и 4 задания, используя материалы раздела «Теоретическая часть».
6. Оформить отчет, который должен содержать:
- название и цель работы;
- основные определения и расчетные формулы;
- графики зависимостей g(t) и h(t) с отмеченными на них тремя значениями, рассчитанными предварительно по полученным формулам для значений времени t = T1, 2T1 и 3T1;
- примерные графики частотных зависимостей с отмеченными на них двумя значениям, рассчитанными предварительно по полученным формулам для значений круговой частоты ω = 0 и 1 / Т1;
- выводы.
Лабораторная работа № 2