Теорема 3. Теорема о двух милиционерах
Пусть 
, 
, причем начиная с
некоторого номера 
, 
. Тогда 
.
Доказательство:
Так как последовательности 
и 
сходятся, то имеет место соотношение (**), т.е. 
и 
. Пусть 
. Тогда начиная с номера 
. Отсюда получим 
, или 
, т.е. .
П. 6 Принцип компактности и принцип полноты
Определение 1.Пусть - некоторая последовательность. Рассмотрим последовательность 
натуральных чисел такую, что 
. Тогда последовательность 
называют подпоследовательностью последовательности . Если последовательность сходится, то ее предел называют частичнымпределом последовательности .
Пример. Рассмотрим последовательность . Тогда является подпоследовательностью последовательности .
Теорема 1. Если последовательность сходится к , то любая ее подпоследовательность сходится к .
Доказательство:
Пусть , тогда имеет место соотношение (**), т.е. начиная с некоторого номера 
. Так как члены подпоследовательно-
сти являются членами последовательности , то при 
имеем 
. Следовательно, 
. +
Ясно, что можно привести примеры последовательностей, которые расходятся, но их подпоследовательности являются сходящимися.
Пример. Последовательность является расходящейся, но одна ее подпоследовательность сходится к , а другая подпоследовательность сходится к .
Теорема 2. Теорема Больцано-Вейерштрасса - принцип компактности.
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство:
Пусть последовательность ограничена, т.е. . Следовательно, множество ограничено. По принципу ТВГ и ТНГ имеем . Построим ССС следующим образом.
Разделим отрезок пополам. Тогда, по крайней мере, в одном из полученных интервалов содержится бесконечное число членов последовательности . Пусть является таковым. Далее, отрезок поделим пополам и выберем тот из полученных, который содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его и т.д. В результате получим СВС : , причем длина -го отрезка равна .
Назовем 
самый крайний левый член последовательности, который уже попадает в интервал 
. Далее, назовем 
самый крайний левый член последовательности, который уже попадает в интервал 
при условии, что 
, и т.д. получим некоторую подпоследовательность , причем 
.
В соответствии с теоремой Кантора о существовании и единственности точки 
, принадлежащей всем ССС сразу, имеем 
и 
. То по теореме о двух милиционерах подпоследовательность 
. +
Пример. Рассмотрим последовательность 
. В последовательности можно выделить подпоследовательности 
и 
, которые сходятся к 0 и 1 соответственно.
Определение 2.Последовательность называется фундаментальной, если выполняется соотношение (***): 
.
Другими словами, модуль разности между сколь угодно далекими членами последовательности может быть сколь угодно мал, если эти члены достаточно далеко.