Расчет источника гармонических колебаний

ВВЕДЕНИЕ

Цель курсовой работы — закрепить теоретический материал, научить студентов приемам и методам познавательной деятельности, умению обобщать и вырабатывать навыки творческого мышления и самостоятельной работы.

Для расчета цепей, построения графиков и оформления отчета целесообразно применять персональные ЭВМ (ПЭВМ). При этом можно пользоваться готовыми программами систем инженерных и научных расчетов типа MATLAB, MATHCAD, MICROCAP и другими или самостоятельно написанными, что способствует закреплению навыков работы с вычислительной техникой. Умение правильно использовать компьютер становится важным показателем работы специалиста. Отсутствие у студента доступа к ЭВМ не является причиной невыполнения курсовой работы или отдельных ее пунктов.

ОПИСАНИЕ СХЕМЫ

Предметом курсовой работы является исследование электрической цепи, структурная и функциональная схемы которой
показаны на рис. 1 и 2 соответственно. Схемы активного двухполюсника — источника гармонических колебаний (ИГК), четырехполюсника и параметры их элементов выдаются преподавателем по вариантам в виде раздаточного материала.

Схема источника гармонических колебаний состоит из источников ЭДС и тока одинаковой частоты и пассивных элементов разного характера, соединенных определенным образом (см. рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Роль первичной обмотки линейного трансформатора (ТР) выполняет одна из индуктивностей Ln, входящих в состав источника. При этом последовательно с индуктивностью не должен быть включен источник тока, и ток в этой ветви не равен нулю, например L3 на рис. 2. Если в схеме нет такой индуктивности, то ее нужно создать, включив в любую ветвь без источника тока индуктивность 100 мГн и емкость 10 мкФ. Установившийся режим в схеме источника от этого не нарушится. Линейный (воздушный) трансформатор имеет две вторичные обмотки L8 и L9.

Напряжение u1 вторичной обмотки L8 ТР подается на вход повторителя, собранного на операционном усилителе (ОУ) DA1. Ориентировочные параметры такого усилителя следующие: Rвх 0,5 мОм, Rвых 100 Ом, 0 5104, fв=20 мГц , где 0 — коэффициент усиления по напряжению, а fв — верхняя рабочая частота. Часто такой ОУ используется не для получения усилительного эффекта, а для предания электрическим цепям особых свойств, получить которые без него сложно или невозможно. Для работы ОУ к нему необходимо подвести постоянное питающее напряжение U = 10...15 В. Цепи питания на схемах обычно не изображают.

В большинстве практических расчетов характеристики ОУ идеализируют. При этом считают, что входная проводимость и выходное сопротивление равны нулю, а коэффициент усиления имеет бесконечно большое значение. Выходное напряжение повторителя u3 = u1, мощность входного сигнала равна нулю, а мощность выходного может принимать любое значение в зависимости от нагрузки — это не противоречит закону сохранения энергии, так как она обеспечивается источником питающего напряжения ОУ.

Напряжение u2 со вторичной обмотки L9 ТР подается на инвертирующий вход компаратора — порогового элемента, преобразующего гармоническое (синусоидальное) колебание в разнополярные импульсы прямоугольной формы: U4 = 10 В при u2 0, U4 = –10 В при u2 > 0. Компаратор собран на ОУ DA2 с разомкнутой отрицательной обратной связью (ООС). В цепи без ООС коэффициент усиления ОУ оказывается чрезвычайно большим и синусоидальный сигнал преобразуется в прямоугольный. Следует обратить внимание, что напряжения u1 и u2 находятся в противофазе, а напряжению u3 0 соответствует U4 = 10 В.

Токи во вторичных обмотках трансформатора ТР для идеальных ОУ (Rвх ) равны нулю, поэтому нагрузка трансформатора никакого влияния на активный двухполюсник не оказывает.

Переключатель Кл позволяет подключить заданную схему четырехполюсника либо к выходу повторителя, либо к выходу компаратора. Переключение из одного положения в другое происходит мгновенно. В исходном (начальном) состоянии переключатель Кл находится в положении 1 (см. рис. 2). Изменение положения переключателя вызывает в схеме четырехполюсника изменение режима работы и возникновение переходного процесса.

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА

В учебном пособии не ставится задача проведения расчета какого-либо варианта курсовой работы. Рассматриваются отдельные фрагменты выполнения работы на примерах, позволяющих составить общее представление о характере и объеме необходимых расчетов.

Расчет источника гармонических колебаний

Пример 1. Рассчитать источник гармонических колебаний (см. п. 1.1) по схеме рис. 2, если заданы следующие исходные данные: iJ1 = sin(103 t + 270) A, e2 = 600 sin(103 t + 225) B, E3 = 500 + j500 B, R1 = 0 Ом, C2 = 20/3 мкФ, R3 = 150 Ом, L3 = 100 мГн, R4 = 100 Ом, C5 = 10 мкФ, L6 = 100 мГн, R7 = 20 Ом.

Решение. Предварительная подготовка схемы к расчету заключается в выборе положительных направлений токов в ветвях и их обозначении. Кроме того, необходимо обозначить все узлы схемы буквенными или цифровыми индексами. Для перехода к комплексной схеме замещения (рис. 3) все независимые источники нужно представить в комплексной форме (в виде комплексных амплитуд или комплексных действующих значений) и рассчитать комплексные сопротивления всех ветвей схемы. Так, комплексные действующие значения источников будут равны:
iJ1 J1 = 4exp( j270) = – j4, e2 E2 = exp ( j225) = –300
– j300, а комплексные сопротивления при w = 103 c–1: Z1 = R1 = 30, Z2 = –jXC2 = –j/(wC2) = –j150, Z3 = R3 + jXL3 = R3 + jwL3 = 150 + j100, Z4 = R4 = 100, Z5 = –jXC5 = –j/(C5) = –j100, Z6 = jXL6 = jwL6 = j100, Z7 = R7 = 20, где — символ соответствия между оригиналом и изображением функции.

 

Рис.3

 

Рис.4

 

Пример 1. Рассчитать ток I3 в первичной обмотке трансформатора (см. рис. 2) методом эквивалентного источника.

Данный метод расчета основан на теореме об эквивалентном источнике (источнике напряжения или тока) [1–4]. В соответствии с этой теоремой ток в любой ветви m–n сколь угодно сложной электрической цепи (рис. 6, а) не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником энергии, который может быть представлен последовательной (источником напряжения — рис.

6, б) или параллельной (источником тока — рис. 6, в) схемой замещения.

ЭДС идеального источника напряжения в последовательной схеме замещения должна быть равна напряжению на разомкнутых зажимах m–n схемы; ток идеального источника тока в параллельной схеме замещения равен току, протекающему между зажимами m–n, замкнутыми накоротко; внутреннее сопротивление и внутренняя проводимость эквивалентного источника должны быть равны соответственно входному сопротивлению и входной проводимости пассивной электрической цепи (источники замещены их внутренним сопротивлением) со стороны разомкнутых зажимов m–n. Эта теорема лежит в основе метода эквивалентного источника.

Решение. Расчет неизвестного тока I3 для исходной схемы (см. рис. 3) выполним методом, например, эквивалентного источника напряжения. Найдем параметры E ЭГ и Z вн, учитывая, что обмотка трансформатора с индуктивностью L3 =100 мГн включена между точками а–е.

А. Схема для определения EЭГ показана на рис. 5. Направление напряжения Uae xxсовпадает с направлением неизвестного тока I3. Из уравнения, составленного по методу контурных токов,

I11(Z 4 + Z 5 + Z 6) – I 22 Z 6 = 0 при условии, что I 22 = J 1 = –j4, определяем токи

I11 = 4, I4 = I 11 = 4, I2 = I 22 = –j4. Теперь из уравнения Uae xx + I4 Z4 + I2 Z2 = E 2 + E 3, составленного согласно второму закону Кирхгофа для правого контура, находим EЭГ = Uae xx= 400 + j400.

Рис. 5 Рис. 6

Б. Схема для определения внутреннего сопротивления генератора Z вн = Z ае вх показана на рис. 6 - здесь источники замещены их внутренним сопротивлением:

Z вн = R3 + R2 + Z 4 (Z 5 + Z 6) / (Z 4 + Z 5 + Z 6) = 150 – j150.

На основании метода эквивалентного источника напряжения определяем:

I 3 = E ЭГ/(Z вн + ZL3) = (400 + j200)/(150 – j150 + j100) = 2 + j2.

 

Запишем мгновенные значения тока i3 и напряжения uL3(t) на индуктивности L3, представляющей собой первичную обмотку трансформатора. Комплексной амплитуде тока I3m= (2+j2)==4exp(j45) соответствует мгновенное значение тока i(t)= 4 sin(103t + 45). Комплексному действующему значению напряжения UL3=I3jXL3=(2+j2)(j100)= –200+j200=200 exp( j45) соответствует мгновенное значение напряжения uL3(t) = 400sin(103t + 135). Кривые мгновенных значений токов i(t) или i(wt), напряжений u(t) или u(wt), построенные в декартовой системе координат (рис. 7), называются волновыми или временными диаграммами.

Рис. 7

Определим значения взаимных индуктивностей М38 и М39, необходимых для получения на вторичных обмотках линейного трансформатора заданных значений U1 и U2 (см. рис. 2). Пусть требуется получить напряжения

U1 = 5 B, U2 = 10 B. Так как U1 == Xm38 I3 = M38 I3, а I3 = 2 , то M38 = U1 /(I3) = 5/(103 2 ) = 1,25 = 1,77 мГн. При рассчитанном значении взаимной индуктивности комплексное значение напряжения на входных зажимах повторителя напряжения U1 = jM38 I3 = j103 1,25 10–3 (2 + j2) = 5exp ( j135). (Для проверки правильности записи равенства для U1 необходимо задаться направлением тока I8 в L8, записать уравнение для U1 с учетом магнитных связей, а затем принять I8 = 0, так как ОУ считается идеальным.) Мгновенное значение напряжения u1 = 5 sin (103t + j135). Заданный коэффициент связи позволяет определить значение индуктивности L8 вторичной обмотки трансформатора. Так как k38 = M38 / , то, например, при k38 = 0,5 L8 = M 238 / / (k 238 L3) = (1,25 10–3)2 / (0,5210010–3) = 0,125 мГн. Аналогично: M39 = U2 / (I3) = 10 / (1032 ) = 2,5 = 2,54 мГн, при k39 = 0,5 L9 = M 239 / (k 239L3) = (2,5 10–3)2 / (0,5210010–3) = 0,5 мГн, U2 = – jM39 I3 = – j103 2,5 10–3(2 + j2) =

=10 exp(–j45) u2 = 10 sin (103t – j45). Напряжение u2 на индуктивности L9 находится в противофазе с напряжением u1 на L8 (см. схему включения обмоток ТР на рис. 2).

Расчет четырехполюсника

Пример 2. Для схемы рис. 8 рассчитать токи и напряжения методом входного сопротивления, построить их векторные диаграммы. В схеме заданы: u вх = 40 sin(103t +/2) B, R1 = XC1 =
= XC2 = R3 = XL3 = 10 Ом.

Решение. Обозначим точки соединения элементов схемы и токи. Выберем условно положительные направления токов в соответствии с рис. 9. Ток в неразветвленной части схемы I1 = U вх / Z вх, где Z вх — комплексное входное сопротивление схемы, Z вх = R1 – jXC1 + [–j XC2(R3 + j XL3)] / [R3 + j(XL3 – XC2)] = 10 –j10 + [–j10(10 + j10)] / [10 + j(10 –10)] = (20 – j20) Ом.

Комплексное действующее значение входного напряжения Uвх = j40 B. Общий ток I1 = j40/(20 – j20) = –1 + j = exp135. Токи в параллельных ветвях выразим через ток I1: I2 = I1Z3 / (Z2 + Z3) =

=(–1 + j)(10 + j10) / (–j10 + 10 + j10) = – 2 = 2exp( j), I3 = I1Z2 / (Z2 + Z3) = (–1 + j)(–j10) / 10 = 1 + j = = exp( j/4).

Построим векторную диаграмму — совокупность векторов токов или напряжений на комплексной плоскости с учетом их взаимной ориентации по фазе. Ток в неразветвленной части схемы равен геометрической сумме токов I 1 = I 2 + I 3. Векторная диаграмма токов с учетом выбранного масштаба mI = 0,5 A/см представлена на рис.9, а.

Для построения векторной диаграммы напряжений рассчитаем напряжения на отдельных элементах (участках) схемы (см. рис. 8). Направления напряжений принимаем совпадающими с направлением токов в соответствующих элементах. Рассчитаем падение напряжения на элементах схемы: UR1 = Ued =

=R1 I1= 10 и совпадает по фазе с током I1; UC1 = Udc = XC1 I1 = 10 , но отстает по фазе от тока I1 на угол p/2; UR3 = Ucb = R3I3 = 10 и совпадает по фазе с током I3; UL3 = 14,1 и опережает по фазе ток I3 на угол /2; напряжение Uca = XC2 I2 = 20 и отстает по фазе от тока I2 на угол /2.

Рис. 8 Рис. 9

Геометрическая сумма UR1 + UC1 + UR3 + UL3 = Uвх = Uea, а сумма UR3 + UL3 равна по модулю падению напряжения на емкости С2 — Uca. Кроме того, эта векторная сумма равна выходному напряжению четырехполюсника.

Векторная диаграмма напряжений показана на рис.9, б (mU = 8 B/см). Мгновенные значения тока i1 и выходного напряжения uвых: I1 = exp( j3 /4) i1 = 2 sin(103t + 3/4), Uвых = j20 uвых =
= 20 sin(103t + p/2). !4283 ?> D075 <564C 2KE>4=K< 8 2E>дным напряжениями

j = y2KE – y2E = p/2 _ p/2 = 0, 0 >B=>H5=85 459Aтвующих значений Uвых / Uвх = 20/40 = 0,5.