роста неформализованной полностью математической теории
1) Начальная, простая предположение , догадка.
2) Доказательство ( грубый мысленный эксперимент или аргумент , разлагающий простое предположение , догадку на субпредположения или леммы ).
3) " Глобальные" контрапримеры ( контрапримеры по отношению к простой догадке).
4) Пересмотр доказательства: " лемма - виновница " по отношению к которой контрапример является " локальным ", контрапримером опровергается. Она может оставаться незамеченной или же неверно узнанной . Эта лемма представляется в явном виде и встраивается в начальное предположение как условие. Теорема – усовершенствованное предположение – превосходит начальную догадку путем выработки нового понятия в процессе доказательства, что выступает её новым важнейшим качеством
Эти четыре стадии составляют важное ядро анализа доказательства. Однако зачастую за ними следуют еще другие стандартные шаги.
5) Происходит исследование других теорем на предмет того получены ли они , при помощи вновь открытой лемма или встречаются ли в них новое понятие, порожденное доказательством. Это понятие может лежать на перекрестке различных доказательств и, таким образом, оно оказывается ключевым.
6) Изучаются ранее полученные следствия из первоначального ( опровергнутого ) предположения .
7) Контрапримеры начинают рассматриваться как новые примеры . Тем самым открываются новые области исследований ."
*Развитие науки, – это последовательная смена НИП, могущих какое-то время сосуществовать или конкурировать друг с другом .
*Она включает в себя “жесткое ядро”, “защитный пояс” и систему методологических правил (“эвристик”).
“Жесткое ядро” -это совокупность утверждений, которые в рамках данной исследовательской программы принимаются (в результате конвенции) как неопровержимые.
“Защитный пояс” – совокупность вспомогательных теорий и гипотез, инвариантом которых является “жесткого ядра” с аномалиями и контрпримерами.
“Эвристики” – методологические правила. одни из которых говорят, каких путей исследования следует избегать (отрицательные эвристики), а другие, каким путем следовать (позитивные эвристики) в рамках данной НИП.
Позитивная эвристика состоит из правил, способствующих позитивному развитию программы, Они являются движущей силой развития этих программ, способны стимулировать выдвижение вспомогательных гипотез, расширяющих эмпирическое и энергетическое содержание программы. Негативная эвристика состоит из методологических решений, ограничивающих множество возможных путей исследования.
Целью науки, с точки зрения Лакатоса, является защита "жесткого ядра", а не познание действительного мира.
проблеме научного формализма. И. Лакатос пишет, что в истории мысли часто случается, что при появлении нового мощного метода быстро выдвигается на авансцену изучение задач, которые этим методом должны быть решены, в то время как все остальные игнорируются, даже забываются, а изучением его пренебрегают. Он утверждает, что именно это как будто произошло в нашем столетии в области философии математики в результате ее стремительного развития.
Предмет математики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами, доказательства - некоторыми последовательностями хорошо известных формул, определения - "сокращенными выражениями, которые "теоретически необязательны, но зато типографически удобны".
Школу математической философии, которая стремится отождествить математику с ее математической абстракцией (а философию математики - с метаматематикой), И. Лакатос называет "формалистской" школой.
Т.е. философию математики следует заменить метаматематикой.
Формализм, по мнению И. Лакатоса, отделяет историю математики от философии математики, собственно говоря, истории математики не существует. Формализм отрицает статус математики для большей части того, что обычно понималось как входящее в математику, и ничего не может сказать об ее "развитии". "Ни один из "критических" периодов математических теорий не может быть допущен в формалистическое небо, где математические теории пребывают как серафимы, очищенные от всех пятен земной недостоверности. Однако формалисты обычно оставляют открытым небольшой черный ход для падших ангелов; если для каких-нибудь "смесей математики и чего-то другого" окажется возможным построить формальные системы, "которые в некотором смысле включают их", то они могут быть тогда допущены".
Как пишет И. Лакатос, при таких условиях Ньютону пришлось бы прождать четыре века. Здесь И. Лакатос упоминает парадоксальное затруднение математика: по формалистским или даже по дедуктивистским стандартам он не является честным математиком.При современном господстве формализма И. Лакатос перефразирует Канта: история математики, лишившись руководства философии, сделалась слепой, тогда как философия математики, повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям истории математики, сделалась пустой.
По мнению Лакатоса, "формализм" предоставляет крепость логической позитивистской философии. Если следовать логическому позитивизму, то утверждение имеет смысл только, если оно является "тавтологическим" или эмпирическим. Так как содержательная математика не является ни "тавтологической" ни эмпирической, то она должна быть бессмысленной, она - чистый вздор.
И. Лакатос в выражении «методология науки», употребляет слово "методология" в смысле, близком к "эвристике" и к "логике открытия", или "ситуационной логике" Поппера. Изъятие термина "методология математики" для использования в качестве синонима "метаматематику" имеет формалистический привкус. Это показывает, что в формалистской философии математики нет настоящего места для методологии как логики открытия. Формалисты считают, что математика тождественна формализованной математике.
Он утверждает, что в формализованной теории можно открыть два ряда вещей:
1. можно открыть решение задач, которые машина, которая представляет собой конечный список правил или конечное описание процедуры в нашем интуитивном понимании алгоритма при подходящей программе может решить за конечное время. Но ни один математик не заинтересован в том, что бы следить за этим скучным механическим "методом", предписываемый процедурами такого решения.
2. можно найти решения задач вроде: будет ли теоремой или нет некоторая формула теории, в которой не установлены возможность окончательного решения, где можно руководствоваться только "методом" неуправляемой интуиции и удачи.
По мнению И. Лакатоса, для живой математики непригодна эта мрачная альтернатива машинного рационализма и иррационального отгадывания вслепую. Исследователь неформальной математики дает творческим математикам богатую ситуационную логику, которая не будет ни механической, ни иррациональной, но которая никак не может получить признания и поощрения формалистской философии.
Но все-таки он признает, что история математики и логика математического открытия, т.е. филогенез и онтогенез математической мысли, не могут быть развиты без критицизма и окончательного отказа от формализма.
Формалистическая философия математики имеет очень глубокие корни. Она представляет последнее звено в длинной цепи догматических философий математики. Более двух тысяч лет идет спор между догматиками и скептиками. Догматики утверждают, что силой нашего человеческого интеллекта и чувств, или только одних чувств, мы можем достичь истины и узнать, что мы ее достигли. Скептики, утверждают, что мы совершенно не можем достичь истины, или что если даже сможем ее достичь, то не сможем знать, что мы ее достигли. В этом споре математика была гордой крепостью догматизма. Большая часть скептиков примирилась с неприступностью этой крепости догматической теории познания. И. Лакатос утверждает, что бросить этому вызов - давно уже стало необходимым.
29. А. Пуанкаре о математическом открытии, о роли конвенции и интуиции в математике.
Конвенционали́зм (лат. conventio соглашение) — субъективно-идеалистическая философская концепция, согласно которой в основе математических и естественнонаучных теорий лежат произвольные соглашения (условности, определения, конвенции между учёными), выбор которых регулируется лишь соображениями удобства, целесообразности и т. п.
Основоположник конвенционали́зма — Пуанкаре.
Согласно Пуанкаре, основные положения любой научной теории не являются ни синтетическими истинами a priori, ни отражением реальности a posteriori. В связи с появлением неевклидовых геометрий он охарактеризовал системы аксиом различных математических теорий как соглашения, которые находятся вне поля истины или ложности. Предпочтение одной системы аксиом другой обусловлено принципом удобства. Единственное ограничение на их произвольный выбор состоит в требовании непротиворечивости.
При появлении более эффективных конвенций старые отвергаются.
След-но, все непротиворечивые научные (а также философские) теории в равной степени приемлемы и ни одна из них не может быть признана абсолютно истинной. Роль конвенций часто не осознается.
Следует различать два типа конвенций: индивидуальные (внутренние), которые можно рассматривать как скрытые определения, и социальные (внешние), которые имеют нормативный надындивидуальный характер.
Развитие математической логики в 1930-х привело к усилению позиций конвенционали́зма.
С формально-логической точки зрения для мира объектов возможны отличные системы классификаций. Так, согласно "принципу терпимости" Карнапа, в основе данной научной теории может находиться любой "языковой каркас", то есть любая совокупность правил синтаксиса. "Принять мир вещей значит лишь принять определенную форму языка". "Языковые формы" следует использовать с учетом их полезности, при этом вопросы, которые касаются реальности системы объектов данной теории, по выражению Карнапа, оказываются сугубо внешними принятому "языковому каркасу".
Более крайней позицией явился "радикальный конвенционали́зм" Айдукевича, в соответствии с утверждением которого, отображение объектов в науке зависит от выбора понятийного аппарата (терминологии), причем этот выбор осуществляется свободно. К. Айдукевич предложил т. наз. радикальный конвенционализм, согласно которому в научной теории вообще нет неконвенциональных элементов.
К. Поппер считал, что конвенционален выбор базисных (опытных) предложений теории. Конвенционализм следует отличать от инструментализма: первый представляет из себя эпистемологически позитивную идею (теории являются конвенциями), а второй - эпистемологически негативную (теории не являются ни истинными ни ложными).
30. Непротиворечивость в математике и ее критерии.
Проблема обоснования математического знания сводится к решению двух вопросов, а именно к обоснованию строгости (законченности) математических доказательств и к обоснованию непротиворечивости математических теорий, составляющих фундамент математической науки, прежде всего таких теорий, как арифметика и теория множеств.
И. Лакатос :идеально строгих доказательств не существует.
Никакое понятие, по его мнению, не свободно от интуиции опыта, которые несовершенны и могут проявить себя в виде скрытых лемм или парадоксов на некотором этапе развития математической теории.
априористская теория познания: Исходные понятия математики, данные в аподиктической очевидности, не могут содержать дефектов, и математическое доказательство, сведенное к системе аподиктически очевидных шагов, должно быть признано в качестве абсолютно надежного.
непротиворечивости. Эта проблема была поставлена под влиянием парадоксов, обнаружившихся в теории множеств и математической логике в начале XX в. Необходимо было:
*найти общие причины этого явления и указать минимальные ограничения для устранения парадоксов.
*сформулировать общие требования к математической теории, гарантирующие ее непротиворечивость.
Б. Рассел и Э. Цермело указали необходимые ограничения для аксиом логики и теории множеств, устраняющие все известные парадоксы.
Метод, предложенный Расселом, состоял в разделении математических объектов по уровням абстрактности и в соответствующем ограничении области определения логических функций.
А как в будущем? М?
В начале XX в. были намечены три программы обоснования математики: логицизм, интуиционизм и формализм.
1. логицизма Г. Фреге. до появления парадоксов.
Задача: - свести понятия математики к понятиям логики и представить принципы математических теорий в качестве общезначимых логических истин.
Решение: А. Уайтхед и Б. Рассел: при условии истинности аксиомы выбора и аксиомы бесконечности редукция математической теории к логике может рассматриваться как строгое доказательство ее абсолютной непротиворечивости, гарантированности ее от противоречий любого вида.
Но: К. Гедель доказал почти все математические теории, включая арифметику, если допустить их непротиворечивость, не являются полными. Неполнота математической теории означает, что она содержит в себе положения, истинные при некоторой интерпретации, но вместе с тем логически недоказуемые в теории.
=( элементарные логические исчисления в принципе недостаточны для адекватного представления арифметики и более сложных математических теорий как систем, не обладающих свойством полноты.
=( исследования Гёделя показали бесперспективность логицизма как программы обоснования математики.
2. Программа интуиционизма, Л. Брауэр,
Задача: редукции математики к исходным представлениям арифметики, рассматривая последние в качестве необходимых и далее неразложимых интуиции сознания.
Решение: *ограничил обычную логику математического рассуждения, изъяв из нее закон исключенного третьего и ряд других употребимых схем вывода.
*В качестве правильных и безусловно строгих принимались только конструктивные рассуждения, которые связывали любое утвердительное суждение об объекте с его предъявлением в качестве конструкции.
*Понятие актуального бесконечного множества полностью исключалось из математики как противоречивое по своей сущности.
*Все допустимые математические объекты, должны быть построены на основе натуральных чисел и интуитивно ясных операций с ними.
Многие считали конструктивная математика не может содержать противоречий. вопрос о обосновании был бы решен положительно, если быв ему удалось свести большую часть мат-ки к арифметике.
Но: Сам Брауэр : основные понятия математического анализа и даже некоторые принципы алгебры не поддаются такого рода конструктивному представлению.
+Последователи построили интуиционистский анализ и интуиционистскую теорию множеств, Интуиционистская программа обоснования математики оказалась, несостоятельной вследствие своей узости.
3. формалистская Д. Гильбертом.
аксиомы сводимости и аксиомы бесконечности -- гипотезы.
подходом Брауэра, который, по его мнению, является разрушительным для математики.
* принцип финитизма, оперирование с бесконечным может быть сделано надежным только через конечное.
если Брауэр хотел устранить актуальную бесконечность из математики вообще, то Гильберт считал возможным сохранить его в тех пределах, в которых оно допускает финитное обоснование.
полную формализацию теории, представлении ее аксиом в виде не имеющих содержания строчек символов. Математическая теория тем самым превращается в объект, подчиненный чисто внешним (формальным) манипуляциям, основанным исключительно на структуре ее формул.
В плане классификации очевидностей можно сказать, что формализация представляет собой редукцию всех типов математической очевидности к предметной и логической очевидности. Формализованная теория предполагает содержательную метатеорию, которая включает в себя описание структуры формализма, общие принципы логики и специальные правила преобразования (принцип индукции и т.п.), допустимые для действий в рамках формализованной теории. Специфика формалистского подхода состоит в том, что заключение о непротиворечивости реальной математической теории предполагается вывести из непротиворечивости ее формализованного аналога.
Ряд требований к метатеории - принципы гильбертовского финитизма. Метатеория является:
1) синтаксической -имеет дело с синтаксисом теории,но не с содержанием
2) содержательной, поскольку она относится к конкретному формализму как к своему единственному предмету и в своих внелогических предпосылках не выходит за пределы описания его самоочевидных свойств;
3) финитной, не имеет дела с актуальной бесконечностью;
4) конструктивной - утверждение о существовании должно быть подтверждено процедурой построения.
Программа Гильберта была поставлена под сомнение теоремой Гёделя о непротиворечивости. Согласно этой теореме, если некоторая теория непротиворечива и неполна, то доказательство ее непротиворечивости не может быть получено средствами, формализованными в этой теории.
Иными словами, мы не можем доказать непротиворечивость арифметики, не прибегая к некоторым средствам, выходящим за пределы арифметики.
Провал программ обоснования математики привел к устойчивому скептицизму относительно возможностей разрешения этой проблемы вообще.
4. Современные концепции обоснования:
обосновывается в конечном итоге только из опыта и не имеет никаких оснований для утверждения своей полной надежности.
в гносеологической реабилитации логических средств, запрещенных в рассмотренных программах
обоснования математики. требования могут быть существенно смягчены без ущерба для строгости метатеоретического рассуждения.
можем отказаться от требования конструктивности метатеоретических рассуждений. Можно
настаивать лишь на требованиях содержательности и конкретности
метаязыка, которые представляются действительно существенными. Анализ показывает, что такая либерализация метатеории, будучи теоретически оправданной, привела бы к строгому обоснованию арифметики, математического анализа и существенной части теории множеств.
вывод: проблема обоснования математики в настоящее время пока не может считаться решенной ни в положительном, ни в отрицательном смысле и есть все основания полагать, что возможности ее положительного решения не так ограничены, как это представляют себе скептики, опирающиеся исключительно на факт провала традиционных программ обоснования. У нас нет абсолютных запретов на появление других более успешных программ, которые будут исходить из более адекватных представлений о природе математического мышления и об условиях его строгости. Мы должны хорошо осознавать то обстоятельство, что наше продвижение к строгому
обоснованию математики зависит от нашего понимания природы математического мышления, которое находится в процессе постоянного совершенствования.