Переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу. Переведення цілих чисел. Щоб перевести ціле число з однієї системи числення з основою d1 в іншу з основою d2 необхідно послідовно ділити це число і одержувані

Переведення цілих чисел. Щоб перевести ціле число з однієї системи числення з основою d1 в іншу з основою d2 необхідно послідовно ділити це число і одержувані частки на на основу d2 нової системи до тих пір, поки не вийде частки менше основи d2. Остання основа – старша цифра числа в новій системі числення з основою d2, а наступні за нею цифри – це залишки від розподілу, записувані в послідовності, зворотній їх отриманню.

Примітка: При виконанні переведення чисел з однієї системи числення в іншу всі необхідні арифметичні дії виконуються в тій системі числення, в якій записано число, що переводиться.

Переведення правильних дробів. Для того щоб перекласти правильний дріб з системи числення d1 у систему з основою d2, необхідно послідовно множити дріб і дробові частини з’явившихся добутків на основу d2 нової системи числення. Правильний дріб у новій системі числення з основою d2 формується у вигляді цілих частин з’явившихся добутків починаючи з першого.

При переведенні правильних дробів з однієї системи числення у другу можна отримати дріб у вигляді нескінченного або розходного ряду. Процес переведення можна закінчити, якщо з’явиться дробова частина, яка має у всіх розрядах нулі, або буде досягнута задана точність переведення, тобто отримана потрібна кількість розрядів результату.

Якщо точність переведення дорівнює d2-q, то після q множень на d2 то виходять усі найдені цілі частини у порядку їх знаходження. Знайдений запис буде представлять дрібну частину числа у новій системі числення.

Переведення мішаних чисел. При переведенні мішаних чисел з одної системи числення у другу, необхідно у нову систему перекласти окремо його цілу та дробову частини по правилам переведення цілих чисел та правильних дробів, а потім два результати об’єднати в одне мішане число нової системи числення.

Переведення чисел з вісімкової системи числення у двійкову і навпаки. Для переведення числа з вісімкової системі числення у двійкову необхідно кожну цифру числа записати трьохрозрядним двійковим числом (триадою). Так як цифра вісім є степеню двійки (8=23), то вісімково-двійковий код співпадає з двійковим.

Для переведення числа з двійкової системи числення у вісімкову необхідно розбити це число вправо та вліво від коми на груми по три розряди – тріади і уявити кожну групу цифру у вісімковій системі числення. Крайні неповні тріади доповнюють нулями.

Переведення чисел з шістнадцяткової системи числення у двійкову та навпаки. Для переведення числа з шістнадцяткової системи числення у двійкову необхідно кожну цифру цього числа замінити тетрадою – чотирьохрозрядним двійковим числом. Так як шістнадцять є степеню двійки (16=24), то шістнадцятирічно-двійковий код співпадає з двійковим кодом.

Для переведення числа з двійкової системи числення у шістнадцяткову, необхідно розбити це число вправо і вліво від коми на тетради та представити кожну тетраду цифрою у шістнадцятковій системі числення.

Переведення чисел з десяткової системи числення в двійкову з проміжним переведенням у вісімкову або шістнадцяткову систему. Для переведення чисел з десяткової системи числення у двійкову зручно використовувати проміжне переведення у вісімкову або шістнадцяткову систему по загальним правилам, а потім знайдене вісімкове або шістнадцяткове число записати у двійковій системі числення.

Переведення двійково-десяткових чисел у двійкові та навпаки здійснюється згідно розглянутим вище правилам ділення цілої та множення дробової частини числа. Переведення чисел з двійково-десяткової системи числення у двійкову здійснюється діленням цілої та множенням дробової частини числа на основу (2)10=(0010)2.

Приклад 1.10. Записати число (0001 0011, 0111 0101)2-10 у двійковій системі числення.

0001 0011      
0001 0010    
 
 
   
       

 


 

0111 0101
напрям читання

x 0010
0101 0000
  x 0010
0000 0000

Тобто, шукане число буде мати такий вигляд:

(0001 0011, 0111 0101)2-10=(1101,11)2.

У даному прикладі десяткові числа зображалися тетрадами. Правила дії над ними не змінилися. Перехід чисел із двійкової системи числення до двійково-десяткової здійснюється діленням цілої та множенням дробової частин числа на основу (10)10=(1010)2.

Приклад 1.1. Записати число (11011010, 10101)2 у двійково-десятковій системі числення.

 
1010 .
1110 .
1010 .  
напрям читання
10010 .

    
1010 .    
1000 .    

 

0,10101 0,10010 0,1010
x 1010 x 1010 X 1010
0110,10010 0101,1010 0110,0100

напрям читання

Отже, шукане число буде мати такий вид:

(11011010,10101)2=(0010 0001 1000, 0110 0101 0110)2-10.

 

Порядок виконання роботи

 

1. Повторіть основні теоретичні положення щодо виконання лабораторної роботи. Виконайте вправи:

а) Запис ДДК є скороченням _____.

Б) Найбільш загальним записом двійково-десяткового коду є ДДК _____ (5421, 8421).

В) Записати наступні десяткові числа в ДДК 8421: а) 39; б) 65; в) 40; г) 17; д) 82; е) 99.

Г) Записати наступні двійково-десяткові числа в десятковому коді: а) 1000 0000; б) 0000 0001; в) 1001 0010 г) 0111 0110; д) 0100 0011; е) 0101 0101.

 

2. Застосуйте отриманні знання та навички до розв’язку задач згідно особистому варіанту.

3. Після виконання індивідуальних завдань здійсніть перевірку правильності виконаних дій засобами калькулятора «Інженерний» стандартного офісного пакету Microsoft Windows.

Продемонструйте викладачу результати виконаної роботи.

Звіт повинен містити записи порядку розв’язування виконаних завдань.

4. Підготуйте звіт відповідно встановленого зразку.

Контрольні запитання.

10. Поясніть необхідність застосування в обчислювальній техніці двійково-десяткової системи числення.

11. Охарактеризуйте особливості кодування десяткових чисел прямим кодом 8-4-2-1 та кодом з надлишком 6.

12. Яким чином здійснюється переведення двійково-десяткових чисел у двійкові та навпаки?

13. Дайте означення триаді і тетраді.

14. Сформулюйте алгоритми переведення чисел з однієї системи числення в іншу.

 

Література.

Основна.

1. Нешумова К.А. Электронные вычислительные машины и системы. Учеб. для техникумов спец. ЭВТ.-2-е изд., доп. И перераб.-М.: Высш. шк., 1989.-366 с.: ил.

 


 

Тема: Виконання арифметичних дій в різних системах числення. Узагальнення та систематизація відомостей про системи числення.
Мета роботи: Зміст роботи: Організаційні та методичні вказівки: Набуття практичних навичок виконання арифметичних дій у системах числення, що застосовують в ЕОМ. Закріплення навичок користування можливостями калькулятора «Інженерний» стандартного офісного пакету MW для виконання арифметичних дій у системах числення з основою 2, 8, 16. Повторення та систематизація теоретичних відомостей про арифметичні дії у системах числення з основою 2, 8, 16 та кодування від’ємних чисел. Застосування засобів Microsoft Windows для виконання арифметичних дій у двійковій, вісімковій та шістнадцятковій системах числення. Лабораторну роботу проводять після вивчення розділу “Системи числення.” з підгрупою студентів в два етапи: 1. Підготовчий етап: Актуалізація опорних знань з теми “Системи числення. ” Повторення порядку виконання операцій над числами засобами калькулятора «Інженерний» стандартного офісного пакету MW. 2. Виконавчий етап: Виконання індивідуальних завдань. Перевірка правильності виконання дій за допомогою калькулятора «Інженерний» стандартного офісного пакету MW.
Технічне забезпечення: Персональний комп’ютер, дискета.
Програмне забезпечення: Windows XP, Microsoft Excel.
Час: 80 хвилин.  

Лабораторна робота № 7

Розглянемо, як іменуються числа в різних системах числення.

У десятковій системі числення використовуються наступні найменування для чисел і їх розрядів: одиниця, десяток, сотня, тисяча, мільйон, мільярд. У дванадцятковій системі числення також існують особливі назви для деяких розрядів чисел: одиниця, дюжина (одиниця другого розряду), гросс (одиниця третього розряду), фут (одиниця четвертого розряду). Кожен наступний розряд в 12 разів більше попереднього. Наприклад, число 276512 читається такі 2 фута, 7 гроссів, 6 дюжин і 5 одиниць.

Проте в більшості систем числення, з якими мають справу в кібернетиці, немає спеціальних назв для чисел і їх розрядів. Ми умовимося вимовляти найменування числа, називаючи підряд його цифри і основу системи числення.

Приклади

1. 23114 -— читається: два три один один в системі з основою чотири.

2. 16328 — читається: один шість три два в системі з основою вісім.

3. 100112 — читається: один нуль нуль один один в системі з основою два.

У позиційних системах числення для запису будь-якого числа може бути використане тільки строго певна кількість введених цифр. У десятковій позиційній системі таких цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Якщо основа позиційної системи числення рівна q, то для запису будь-яких цілих і дробових чисел в цій системі числення досить q цифр, включаючи нуль.

Якщо q < 10, то ми умовимося використовувати вже відомі нам перші q цифр, вживаних в десятковій системі числення, а саме:

0, 1, 2, ..,, q-2, q-1.

Якщо q > 10, то як цифри використовуватимемо всі цифри десяткової системи і необхідну кількість нових цифр. Про те, які значки використовуватимуться як додаткові цифри, слід умовитися спеціально.

Виконайте вправи:

1. Перевірити, чи вірна наступна рівність:

а) 336 = 2110; у) 379= 2913; д) 456 = 110102;

б) 123 = 1012; г) 578 = 1425; е) 1327 = 6611.

2. Записати по два числа, попередні щодо кожного з
даних і наступні за ним:

а) 2223; у) 10005; д) 30106;

б) 6107; г) 101002; є) АА01А11.

3. Знайти х і у з умов:

а) 23х= 32у; у) 24 х = 42 у; д) 144 х = 441 у;

6)51х = 15у; г) 23 х = 21 у; е)А9 х = 9А у.

4. Знайти основу системи числення з умов:

а) 4710 = 142 х у) 202 х = 13010; д) 89710 = 3ЕС х;

б) 103 х = 1910; г) 197110 = А0В х; е) 199010 = ВА1 х.

5. Як зміниться величина числа 3245, якщо:

а) до нього приписати справа нуль; два нулі;

б) до нього приписати зліва 3;

в) між цифрами 2 і 4 вписати цифру 0;

г) між цифрами 3 і 2 вписати цифру 1?

6. У спадаючій послідовності чисел деякі числа пропущені. Чому рівна основа системи числення? Впишіть пропущені числа в клітки наступного ряду:

                               
   
 
   
 
             
 

 


7. Дане число 25638. У цьому числі викреслюється цифра «5» і
замість неї вписується цифра «0». Стверджується, що нове число
на 320 десяткових одиниць менше даного. Чи так це? Чому?

8. Довести, що число 144q, є повним квадратом; число
1ЗЗ1q є повним кубом. При яких q справедливі ці твердження?

Складання і множення багатозначних чисел в недесяткових позиційних системах здійснюється за правилами складання і множення багатозначних десяткових чисел з обов'язковим обліком таблиць складання і множення цифр в даній системі. Таблиці складання і множення в десятковій арифметиці ми пам'ятаємо напам'ять, в інших же арифметиках ми заздалегідь складатимемо таблиці.

От як, наприклад, виглядають таблиці складання в системах з основами q = 3 (табл. 1), q = 2 (табл. 2) і q = 5 (табл. 3) відповідно:

+
+

Таблиця 1 Таблиця 2 Таблиця 3

+

 

 

Приклади

1. q=3;

2. q=2;

3. q=5;

Виконайте дії:

1. Скласти таблицю складання в системі числення з основою:

а) q=6; б) q=16;

2. Обчислити:

а) 2347+1237; е) 7DA016+18CB16;

б) 3015+1235+10025; ж) 10012+1112+10102;

в) 2034+13014+114; з) 1279+3169+4589;

г) 327658+75768; и) 35AF16+4D0E16;

д) АВ12+ВА12; к)110012+101112+10012

 

3. У яких системах числення одержані результати складання?

а) б) в) г)

4. У якій системі числення проводилося підсумовування?

а) б) в)

5. Скласти таблицю множення в системі числення з основою:

а) q=9; б) q=8;

6. Обчислити:

а) ; г) ; ж) ;

б) ; д) ; з) ;

в) ; е) ; і) ;

к) ;

7. У якій системі числення виконувалося множення?

а) б)

8. Обчислити:

а) ;

б) ;

в) ;

9. Відомо, що 23В>23А і 56В – 1 =56А, а також 179+1=17А. Використовуючи ці відомості, заповнити порожні клітки в наступних рядах:

10. Записати в багаточленній формі наступні числа:

а) в) д)

б) г) е)

11. Яке з даних чисел збільшитися в 16 разів при перенесення коми управо на два знаки: 2,124; 11,24; 7810; 78416; 7,328?

12. Визначити, у якій системі числення проводилося складання?

а) б)