Оптической разностью хода волн. 2 страница
В качестве иллюстрации на рис. 19.14 изображена векторная диаграмма, соответствующая дифракционной решетке, состоящей из шести щелей: E1 Е2 и т. д. — векторы напряженности электрической составляющей электромагнитных волн от первой, второй и т. д. щелей. Возникающие при интерференции пять добавочных минимумов (сумма векторов равна нулю) наблюдаются при разности фаз волн, приходящих от соседних щелей, в 
(а), 
(б), 180° (в), 
(г) и 
(д).
Так, можно убедиться, что между центральным и каждым первым главным максимумами имеется N - 1 добавочных минимумов, удовлетворяющих условию
(19.31)
Рис. 19.14
.
Особо отметим роль минимумов от одной щели. В направлении, отвечающем условию (19.27), каждая щель дает минимум, поэтому минимум от одной щели сохранится и для всей решетки. Если для некоторого направления одновременно выполняются условия минимума для щели (19.27) и главного максимума решетки (19.29), то соответствующий главный максимум не возникнет. Обычно стараются использовать главные максимумы, которые размещаются между первыми минимумами от одной щели, т. е. в интервале
(19.33)
При падении на дифракционную решетку белого или иного немонохроматического света каждый главный максимум, кроме центрального, окажется разложенным в спектр [см. (19.29)]. В этом случае k указывает порядок спектра.
Таким образом, решетка является спектральным прибором, поэтому для нее существенны характеристики, которые позволяют оценивать возможность различения (разрешения) спектральных линий.
Одна из таких характеристик — угловая дисперсия — определяет угловую ширину спектра. Она численно равна угловому рас-
Рис. 19.16
стоянию da между двумя линиями спектра, длины волн которых различаются на единицу 
Дифференцируя (19.29) и используя только положительные значения величин, получаем
Из последних двух равенств имеем
(19.34)
Так как обычно используют небольшие углы дифракции, то
. Угловая дисперсия D тем выше, чем больше порядок 
спектра и чем меньше постоянная с дифракционной решетки.
Возможность различать близкие спектральные линии зависит не 1?олько от ширины спектра, или угловой дисперсии, но и от ширины Спектральных линий, которые могут накладываться друг на друга.
Принято считать, что если между двумя дифракционными максимумами одинаковой интенсивности находится область, где суммарная интенсивность составляет 80% от максимальной, то спектральные линии, которым соответствуют эти максимумы, уже разрешаются. При этом, согласно Дж. У. Рэлею, максимум одной линии совпадает с ближайшим минимумом другой, что и считает 
ся критерием разрешения. На рис. 19.17 изображены зависимости интенсивности / отдельных линий от длины волны (сплошная кривая) и их суммарная интенсивность (штриховая кривая). Из рисунков легко увидеть неразре-шенность двух линий (а) и предельную разре-шенность (б), когда максимум одной линии совпадает с ближайшим минимумом другой.
Разрешение спектральных линий количественно оценивается разрешающей способностью, равной отношению длины волны к наименьшему интервалу длин волн, которые еще могут быть разрешены:
(19.35)
Так, если имеются две близкие линии с длинами волн 
, то (19.35) можно приближенно записать в виде
. (19.36)
Условие главного максимума для первой волны
С ним совпадает ближайший минимум для второй волны, условие которого 
Приравнивая правые части последних двух равенств, имеем
откуда [с учетом (19.36)] 
Итак, разрешающая способность дифракционной решетки тем больше, чем больше порядок 
спектра и число N штрихов.
Рассмотрим пример. В спектре, полученном от дифракционной решетки с числом щелей N = 10 000, имеются две линии вблизи длины волны 
= 600 нм. При какой наименьшей разности длин волн 
эти линии различаются в спектре третьего порядка (k = 3)?
Для ответа на этот вопрос приравняем (19.35) и (19.37), 
,Откуда 
Подставляя числовые значения в эту формулу, находим 
= 600 нм(3* 10 000) = 0,02 нм.
Так, например, различимы в спектре линии с длинами волн 600,00 и 600,02 нм и не различимы линии с длинами волн 600,00 и 600,01 нм.
Выведем формулу дифракционной решетки для наклонного падения когерентных лучей (рис. 19.18, 
— угол падения). Условия формирования дифракционной картины (линза, экран в фокальной плоскости) те же, что и при нормальном падении.
Проведем перпендикуляры А'В к падающим лучам и АВ' ко вторичным волнам, идущим под углом 
к перпендикуляру, восставленному к плоскости решетки. Из рис. 19.18 видно, что к положению А'В лучи имеют одинаковую фазу, от АВ' и далее разность фаз лучей сохраняется. Следовательно, разность хода есть
d= ВВ'-АА. (19.38)
Из DАА'В имеем АА' = АВ sin (3 = с sin р. Из DВВ'А находим ВВ' = АВ sin a = = с sin а. Подставляя выражения для АА' и ВВ' в (19.38) и учитывая условие для главных максимумов, имеем
с (sin а - sin Р) = + kX. (19.39)
Центральный главный максимум соответствует направлению падающих лучей (а = b).
Наряду с прозрачными дифракционными решетками используют отражательные, у которых штрихи нанесены на металлическую поверхность. Наблюдение при этом ведется в отраженном свете. Отражательные дифракционные решетки, изготовленные на вогнутой поверхности, способны образовывать дифракционную картину без линзы.
В современных дифракционных решетках максимальное число штрихов составляет более 2000 на 1 мм, а длина решетки более 300 мм, что дает значение N около миллиона.
______________________
1 Из формулы (19.29) видно, что максимальное значение 
не может превышать величины c/l.
§ 19.7. Основы рентгеноструктурного анализа
Основная формула дифракционной решетки (19.29) может быть использована не только для определения длины волны, но и для решения обратной задачи — нахождения постоянной дифракционной решетки по известной длине волны. Такая скромная применительно к обычной дифракционной решетке задача подводит к практически важному вопросу — измерению параметров кристаллической решетки посредством дифракции рентгеновских лучей, что является содержанием рентгеноструктурного анализа.
CF — перпендикуляры к падающим и отраженным лучам соответственно. Разность хода отраженных лучей 1’ и 2'
 |
(19.41)
где t — межплоскостноерасстояние.
Максимумы интерференции при отражении возникают в случае, когда разность хода равна целому числу длин волн:
(19.42)
Это условие Брэгга—Вульфа.
При падении монохроматического рентгеновского излучения на кристалл под разными углами наибольшее отражение (максимум) будет для углов, отвечающих условию (19.42). При регистрации под определенным углом скольжения пучка рентгеновского излучения со сплошным спектром максимум дифракции будет выполняться для длин волн, удовлетворяющих условию Брэгга—Вульфа.
П. Дебаем и П. Шеррером был предложен метод рентгено-структурного анализа, основанный на дифракции монохроматических рентгеновских лучей в поликристаллических телах (обычно спрессованные порошки). Среди множества кристаллитов всегда найдутся такие, для которых одинаковы 
и k, причем эти величины соответствуют формуле Брэгга—Вульфа. Отраженный луч 2 (максимум) составит угол 
с падающим рентгеновским лучом 1 (рис. 19.20, а). Так как условие (19.42) одинаково для многих кристаллов, по-разному ориентированных, то дифрагированные рентгеновские лучи образуют в пространстве конус, вершина которого лежит в исследуемом образце, а угол раствора равен 
(рис. 19.20, б). Другой совокупности величии 
и k, удовлетворяющих условию (19.42), будет соответствовать другой конус. На фотопленке рентгеновские лучи образуют рентгенограмму (дебае-грамму) в виде окружностей или дуг (рис. 19.21 а, б).
Дифракцию рентгеновских лучей наблюдают также при рассеянии их аморфными твердыми телами, жидкостями и газами. В этом случае на рентгенограмме получаются широкие и размытые кольца.
В настоящее время широко применяют рентгеноструктурный анализ биологических молекул и систем: на рис. 19.22 показаны рентгенограммы белков. Этим методом Дж. Уотсон и Ф. Крик установили структуру ДНК и были удостоены Нобелевской премии (1962). Использование дифракции рентгеновских лучей от кристаллов для исследования их спектрального состава относится к области рентгеновской спектроскопии.
§ 19.8. Понятие о голографии и ее возможном применении в медицине
Голография1 — метод записи и восстановления волнового поля, основанный на интерференции и дифракции волн.
Идея голографии была впервые высказана Д. Габором в 1948 г., однако ее практическое использование оказалось возможным после появления лазеров.
Изложение основ голографии уместно начать сравнением с фотографией. При фотографировании на фотопленке фиксируется интенсивность световых волн, отраженных предметом. Изображение в этом случае является совокупностью темных и светлых точек. Фазы рассеиваемых волн не регистрируются, и таким образом пропадает значительная часть информации о предмете.
Голография позволяет регистрировать и воспроизводить более полную информацию об объекте с учетом амплитуд и фаз волн, рассеянных предметом. Регистрация фазы возможна вследствие интерференции волн. С этой целью на светофиксирующую поверхность посылают две когерентные волны: опорную, идущую непосредственно от источника света или зеркал, которые используют как вспомогательные устройства, и сигнальную, которая появляется при рассеянии (отражении) части опорной волны предметом и содержит соответствующую информацию о нем.
Интерференционную картину, образованную сложением сигнальной и опорной волн и зафиксированную на светочувствительной пластинке, называют голограммой. Для восстановления изображения голограмму освещают той же опорной волной.
Покажем на некоторых примерах, как получается голограмма и восстанавливается изображение.
Голограмма плоской волны.В этом случае на голограмме фиксируется плоская сигнальная волна /, попадающая под углом ах на фотопластинку Ф (рис. 19.23, а).
Опорная волна // падает нормально, поэтому во всех точках фотопластинки одновременно ее фаза одинакова. Фазы сигнальной волны вследствие ее наклонного падения различны в разных точках светочувствительного слоя. Из этого следует, что разность фаз между лучами опорной и сигнальной волн зависит от места встречи этих лучей на фотопластинке и, согласно условиям максимумов и минимумов интерференции, полученная голограмма будет состоять из темных и светлых полос.
Пусть АВ (рис. 19.23, б) соответствует расстоянию между центрами ближайших темных или светлых интерференционных полос. > Это означает, что фазы точек А и В в сигнальной волне отличаются на 
. Построим нор-i маль АС к ее лучам (фронт волны). Очевидно, что фазы точек А и С одинаковы. Различие
фаз точек В и С на 
означает, что 
Из прямоугольного 
имеем
(19.43)
Итак, в этом примере голограмма подобна дифракционной решетке, так как на светочувствительной поверхности зарегистрированы.
Направив на голограмму опорную волну II (рис. 19.24), осуществим дифракцию (см. § 19.6). Согласно (19.29), первые главные максимумы (k = 1) соответствуют направлениям
(19.44)
Подставив в это выражение АВ из (19.43) вместо с, имеем
(19.45)
откуда
(19.46)
Из (19.46) видно, что направление волны I’ (рис. 19.24), дифрагированной под углом 
, соответствует сигнальной: так восстанавливают волну, отраженную (рассеянную) предметом. Волна I" и волны остальных главных максимумов (на рисунке не показаны) также воспроизводят информацию, зафиксированную в голограмме.
Голограмма точки.Одна часть опорной волны II попадает на точечный объект А (рис. 19.25, а) и рассеивается от него
в виде сферической сигнальной волны /, другая часть плоским зеркалом 3 направляется на фотопластинку Ф, где эти волны и интерферируют. Источником излучения является лазер Л. На рис. 19.25, б схематически изображена полученная голограмма.
Хотя в данном примере сигнальная волна является сферической, можно с некоторым приближением применить формулу (19.43) и заметить, что по мере увеличения угла а1 (см. рис. 19.23, а) уменьшается расстояние АВ между соседними полосами. Нижние дуги на голограмме (рис. 19.25, б) расположены более тесно.
Если вырезать из голограммы узкую полоску, показанную штриховыми линиями на рис. 19.25, б, то она будет подобна узкой дифракционной решетке, постоянная которой уменьшается в направлении оси X. На такой решетке отклонение вторичных волн, соответствующих первому главному максимуму, возрастает по мере увеличения координаты X щели [см. (19.29)]: с становится меньше, |sin a| — больше.
Таким образом, при восстановлении изображения плоской опорной волной дифрагированные волны уже не будут плоскими. На рис. 19.26 показаны волна /', формирующая мнимое изображение А' точки А, и волна I", создающая действительное изображение А".
Так как рассеянные предметом волны попадают совместно с опорной волной во все точки голограммы, то все ее участки содержат информацию о предмете, и для восстановления изображения не обязательно использовать полностью всю голограмму. Следует, однако, заметить, что качество восстановленного изображения тем хуже, чем меньшую часть голограммы для этого применяют. Из рис. 19.26 видно, что мнимое и действительное изображения образуются и в том случае, если восстановление осуществляют,
например, нижней половиной голограммы, однако изображение при этом формируется меньшим количеством лучей.
Любой предмет является совокупностью точек, поэтому рассуждения, приведенные для одной точки, могут быть обобщены и на голографирование любого предмета. Голографические изображения объемны, и их зрительное восприятие ничем не отличается от восприятия
соответствующих предметов2: ясное видение разных точек изображения осуществляется посредством аккомодации глаза (см. § 21.4); при изменении точки зрения изменяется перспектива, одни детали изображения могут заслонять другие.
При восстановлении изображения можно изменить длину опорной волны. Так, например, голограмму, образованную невидимыми электромагнитными волнами (ультрафиолетовыми, инфракрасными и рентгеновскими), можно восстановить видимым светом. Так как условия отражения и поглощения электромагнитных волн телами зависят, в частности, от длины волны, то эта особенность голографии позволяет использовать ее как метод внутривидения, или интроскопии3.
Особо интересные и важные перспективы открываются в связи с ультразвуковой голографией. Получив голограмму в ультразвуковых механических волнах, можно восстановить ее видимым светом. Ультразвуковая голография в перспективе может быть использована в медицине для рассматривания внутренних органов человека с диагностической целью. Учитывая большую информативность этого метода и существенно меньший вред ультразвука по сравнению с рентгеновским излучением, можно ожидать, что в будущем ультразвуковая голографическая интроскопия заменит традиционную рентгенодиагностику.
Еще одно медико-биологическое приложение голографии связано с голографическим микроскопом. Один из первых способов построения голографического микроскопа основан на том, что изображение предмета получается увеличенным, если голограмму, записанную с плоской опорной волной, осветить расходящейся сферической волной.
В развитие голографии внес вклад советский физик Ю. Н. Де-нисюк, разработавший метод цветной голографии.
Сейчас трудно оценить все возможности применения голографии: кино, телевидение, запоминающие устройства и т. д. Несомненно лишь, что голография является одним из величайших изобретений XX в.
1 Голография (греч.) — полная запись.
2 Некоторое отличие обусловлено одноцветностью изображения, которое неизбежно при записи и восстановлении монохроматической волной.
3 Intro (лат.) — внутри и skopeo (лат.) — смотрю. Ризуальное наблюдение объектов, явлений и процессов в оптически непрозрачных телах и средах, а также в условиях плохой видимости
.
ГЛАВА 20
Поляризация света
В главе рассматриваются методы получения упорядоченной ориентации электрического и магнитного векторов в световых волнах и некоторые свойства таких волн.
§ 20.1. Свет естественный и поляризованный. Закон Малюса
Электромагнитнаю волну, в которой векторы 
и, следовательно, векторы 
лежат во вполне определенных плоскостях, называют плоскополяризованной.
Плоскость, проходящая через электрический вектор 
и направление распространения электромагнитной волны, является плоскостью поляризации.
Плоскополяризованную волну излучает отдельный атом. В естественном свете, идущем от Солнца, накаленной нити лампы, газоразрядной трубки, пламени и т. п., складываются неупорядоченные излучения множества атомов, поэтому направление 
не выдерживается в одной плоскости. Такой свет можно рассматривать как наложение плоскополяризованных волн с хаотической ориентацией плоскостей колебаний, электрические векторы ориентированы по всевозможным перпендикулярным лучу направлениям. На рис. 20.1 показаны в некоторый момент времени се 
чение луча О и хаотическая ориентация векторов 
в плоскости, перпендикулярной лучу.
Если выбрать две любые взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через луч естественного света, и спроецировать векторы 
на эти плоскости, то в среднем эти проекции будут одинаковыми. Поэтому луч естественного света удобно изображать как прямую, на которой расположено одинаковое число тех и других проекций в виде стрелок и точек (рис. 20.2, а). Таким образом, прямая с черточками (рис. 20.$, б) или точками (рис. 20.2, в) обозначает луч плоскополяризованного света.
Луч света, состоящего из неполяризованной и поляризованной составляющих и называемого частично поляризованным, условно показан на рис. 20.2, г, д, причем соотношение числа стрелок и точек условно иллюстрирует степень поляризации, т. е. долю интенсивности поляризованной составляющей относительно полной интенсивности света.
Устройство, позволяющее получать поляризованный свет из естественного, называют поляризатором. Он пропускает только составляющую вектора 
на некоторую плоскость — главную плоскость поляризатора, которая содержит световой вектор 
и направление распространения света. При этом из поляризатора выходит поляризованный свет1, интенсивность которого равна половине интенсивности падающего естественного (неполяризованного) света. При вращении поляризатора относительно луча естественного света поворачивается плоскость колебаний вышедшего плоскополяризованного света, но интенсивность его не изменяется. Поляризатор можно использовать для анализа поляризованного света, тогда его называют анализатором.
Если плоскополяризованный свет с амплитудой электрического вектора 
падает на анализатор, то он пропустит только составляющую, равную
(20.1)
где 
— угол между главными плоскостями поляризатора Р и анализатора А (рис. 20.3).
Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды колебаний [см. (14.60)], то из (20.1) получаем
(20.2)
Как видно из закона Малюса, при повороте анализатора относительно луча падающего плоскополяризованного света интенсивность вышедшего света изменяется от нуля до 10. Если при повороте анализатора вокруг падающего луча как оси вращения интенсивность прошедшего света не изменяется, то свет может быть естественным1; если при этом интенсивность изменяется по закону (20.2), то падающий свет — плоскополяризованный.
Термин «поляризация света» имеет два смысла. Во-первых, под этим понимают свойство света, характеризующееся пространственно-временной упорядоченностью ориентации электрического и магнитного векторов. Во-вторых, поляризацией света называют процесс получения поляризованного света.
1 Возможное поглощение света поляризатором здесь и далее не учитывается.
где Io — интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор, / — интенсивность света, вышедшего из анализатора. Уравнение (20.2) выражает закон Малюса.
§ 20.2. Поляризация света при отражении и преломлении на границе двух диэлектриков
При отражении от границы двух диэлектриков естественный свет частично поляризуется(рис. 20.4).
Вотраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения, а в преломленном — параллельные ей.
Если угол падения удовлетворяет условию
(20.3)
то отраженный монохроматический луч полностью поляризован (рис. 20.5). Соотношение (20.3) выражает закон Брюстера.Здесь
