Обробка результатів вимірювань
А.1 Основні положення теорії похибок
Якими б точними не були прибори, досконалими методи вимірювань, під час вимірювання фізичної величини x (часу, довжини тощо) неможливо отримати точне, “істинне значення” величини 
.
Якщо позначити 
результат деякого і-го вимірювання величини x, то величину
(А.1)
називають абсолютною похибкою даного вимірювання. Для характеристики точності вимірювання вводять також поняття відносної похибки
. (А.2)
Завдання, яке постає перед теорією похибок, – це визначення похибок вимірювання фізичних величин.
Вимірювання поділяються на прямі та непрямі. Прямим називають вимірювання, завдяки якому значення величини знаходять безпосередньо з показань прибору. Прикладами прямих вимірювань є: вимірювання температури за допомогою термометра; довжини – штангенциркулем тощо.
При непрямих вимірюваннях значення фізичної величини знаходять завдяки відомій залежності цієї величини від величин, які можуть бути виміряні шляхом прямих вимірювань. Наприклад, густину тіла – за його масою та розмірами тощо.
Найважливіший клас похибок – випадкові похибки. Ці похибки обумовлені недосконалістю наших органів чуття, а тому не можуть бути усунуті.
А.2 Розрахунок випадкових похибок для прямих вимірювань
Припустимо, вимірюючи багато разів деяку фізичну величину, наприклад, час, за який тіло проходить одну й ту саму відстань S отримали ряд значень 
, 
, 
... 
, тоді за приймають середнє арифметичне
, (А.3)
яке при 
має співпадати з .
Найважливіше завдання теорії похибок – знаходження інтервалу значень фізичної величини, в середині якого з деякою ймовірністю (яку називають довірчою ймовірністю) знаходиться величина
. (А.4)
Цей інтервал значень величини x називають довірчим інтервалом. Якщо, наприклад, ми гарантуємо, що вимірюючи один раз величину x за даною методикою, отримуємо результат, який знаходиться в межах даного інтервалу (А.4) з імовірністю 95%, то довірча ймовірність 
дорівнюватиме 
.
Для обґрунтування методу обчислення похибок треба встановити закон, якому підпорядковуються випадкові відхилення величини, яка вимірюється. Ми тільки вкажемо основну ідею, яка полягає в припущенні (що є виправданим): невеликі відхилення 
від є більш ймовірними, ніж великі. На цій ідеї базується нормальний закон розподілу – закон Гаусса. Але цей закон справедливий для великої кількості вимірювань n.
В інженерній практиці базуються на розподілі Стьюдента. Для кожної довірчої ймовірності Р можна обчислити таке число 
(коефіцієнт Стьюдента), для якого випадкова величина x, яка підпорядковується розподілу Стьюдента, знаходитиметься в межах
, (А.5)
де величина 
– середньоквадратичне відхилення результату вимірювань
, (А.6)
дe n – кількість вимірювань.
Отже 
. Коефіцієнти Стьюдента для різної кількості вимірювань наведено в табл. А.1.
Таблиця А.1 – Залежність коефіцієнта Стьюдента від кількості вимірювань
| n | ||||||
|
| 12,7 | 4,3 | 3,2 | 2,8 | 2,0 | 2,0 |
А.3 Розрахунок випадкових похибок для непрямих вимірювань
При непрямих вимірюваннях значення фізичної величини F визначається за формулою
, (А.7)
де 
– фізичні величини, які вимірюються прямо.
Абсолютна похибка 
непрямих вимірювань визначається за формулою
, (А.8)
де 
– частинна похідна функції F за змінною 
(при її обчисленні інші змінні вважаються сталими величинами); 
– абсолютна похибка вимірювання величини .
Результат непрямого вимірювання (кінцевий результат у звіті) подається у вигляді
, (А.9)
де 
– значення функції F від середніх значень змінних 
.
Приклад. Обчислення випадкової похибки під час розрахунку густини ρ твердого тіла циліндричної форми
,
де m – маса тіла; d – діаметр циліндра; h – висота циліндра.
В даному випадку 
. Згідно з (А.8)
,
де
;
;
.
А.4 Правила заокруглювання результатів обчислень
1. В результаті обчислень абсолютної похибки вимірювань фізичної величини треба залишати лише першу значущу цифру.
2. В середньому значенні величини остання значуща цифра має бути одного й того порядку, що й перша значуща цифра похибки.
Приклад. Під час обчислення прискорення земного тяжіння g були отримані результати:
м/с2; 
м/с2.
Відповідно до формули (А.9) та правил (1) і (2) відповідь має такий вигляд:
м/с2.
Додаток Б