Образ математики как науки: философский аспект
Вопрос о непосредственном предмете математики остается в компетенции самой математики, ибо сама математика решает вопрос, как и для чего создавать математические объекты. Однако этот вопрос тесно связан с вопросом о предмете математики в реальной действительности, который касается отношения математики как отрасли познания к действительному миру и поэтому является гносеологической проблемой. Последняя проблема относится к компетенции философии математики независимо от того, кто ею занимается – философы или математики.
Содержательная математика непосредственным своим предметом имеет системы математических объектов, в объективной действительности не существующих. Это давало повод в качестве философского основания математики принимать принцип идеалистической философии о первичности идеального и строить идеалистическую философию математики. Исходя из тезиса о первичности идеального, в идеалистической философии математики утверждается, что идеальные объекты существуют независимо от материального мира, до него и даже его порождают. Стало быть, предмет математики не связан с объективной действительностью. Поэтому в идеалистической философии дается отрицательное решение вопроса о связи математики с объективной действительностью.
Для выявления специфики математики как науки необходимо сравнить предмет математики и других наук, а также методы, применяемые в математике, с методами других наук. При этом нужно всегда иметь в виду, что и предмет математики, и те методы, которыми она оперирует, постоянно изменялись.
Ф. Энгельс определял математику как науку о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира. Это определение направлено, прежде всего, против идеализма, считающего объектом математики «чистое мышление» и «его продукты» (математические понятия, аксиомы, формулы и т.п.). Ф. Энгельс указывает, что математика отражает определенные стороны действительного мира (пространственные формы и количественные отношения), имеет вполне реальное материальное происхождение. Вместе с тем, материал, изучаемый ею, принимает чрезвычайно абстрактную форму. Поэтому определение Ф. Энгельса не следует понимать так, что математика занимается их посредственным эмпирическим изучением их физических пространственных форм и количественных отношений. При подобном понимании она потеряла бы свою самостоятельность и превратилась бы в часть физики.
В истории математики имели место не только рационализм и априоризм, отрывавшие математические понятия и аксиомы от реальной действительности, но и ползучий эмпиризм. Последний, будучи неспособен понять природу математических абстракций и роль логических доказательств в математике, пытался положить в основу геометрии маленькие шарики вместо точек, тонкие проволоки вместо прямых и пластинки жести вместо плоскостей («Геометрия действительности» Ельмелева и Манна), сводил задачи математики к непосредственному изучению физического времени (арифметика) и физического пространства (геометрия), признавал лишь одну «реальную» геометрию и алгебру, отвергал неэвклидовы и многомерные геометрии, различные алгебры и т.д., рассматривая их как ложные теории, занимающиеся фикциями.
Математика изучает пространственные формы и количественные отношения в их «чистом», идеализированном виде, абстрагируясь от конкретных физических объектов и большинства их свойств. Как мы видели выше, современная математика уже не ограничивается «классическими» объектами (точки, прямые и т.д.); она стала изучать любые отношения между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств. Эти свойства выражены в аксиомах, положенных в основание теории. Такой подход к изучению отношений между объектами, связанный с аксиоматическим методом в современном его понимании, позволил математике выйти за рамки изучения только пространственных форм и количественных отношений.
Было бы, например, грубой натяжкой утверждать, что неэвклидовы или многомерные геометрии занимаются изучением только пространственных форм физического мира, а теория групп или функциональный анализ – изучением количественных отношений. Поэтому большинство математиков и определяют в последнее время математику как науку о всех возможных пространственных формах и количественных отношениях действительного мира, а также о формах и отношениях, которые подобны первым или вторым.
На первый взгляд действительно кажется странным, что выводы, сделанные по определенным законам и правилам логики из высказывания о взаимоотношениях между «призрачными» предметами геометрии, всегда подтверждаются в повседневном опыте и в технической практике. Эти «призрачные» объекты как бы подчиняют себе материальную природу. Но в действительности здесь нет ничего странного. Рассмотрим следующий пример. Пусть перед нами земельный участок, огороженный забором. При вычислении площади этого участка и его планировке мы делаем на бумаге определенные геометрические расчеты, в которых вместо забора фигурирует замкнутая линия, а вместо земельного участка – кусок плоскости. Спрашивается, на каком основании мы подменяем материальные предметы геометрическими понятиями? Дело в том, что для нашей цели (вычисление площади) не имеет значения, из чего сделан забор, какую он имеет высоту и ширину, а также что собой представляет земельный участок (ровный он или покрыт буграми, черноземный или глинистый). От всего этого можно отвлечься. Те же свойства, которые важны для измерения площади участка – свойства, связанные с протяженностью забора, - мы сохраняем в поле зрения. Ими как раз и являются свойства линии в геометрическом смысле слова. Мы получили, следовательно, идеальный объект – линию без ширины. Рассматривая геометрическую линию, мы имеем в виду и забор, но только с одной точки зрения, с точки зрения его одномерной протяженности, не интересуясь в данном случае его шириной.
Все геометрические понятия и положения отражают свойства материальных предметов и законы материального мира. Их «идеальный» характер, - пишет Рашевский, означает просто отвлечение (абстракцию) от несущественных в данной связи свойств материальных вещей, и в частности рассмотрение их лишь с известной степенью точности. Это отвлечение и позволяет выступить наружу в чистом виде тем общим и глубоким свойствам материальных вещей, которые мы называем свойствами протяженности и изучаем в геометрии. Законы геометрий обязательны для природы потому и постольку, поскольку они из нее извлечены.
Математика оперирует исключительно идеальными объектами, находящимися на различных уровнях абстракции. Многие из них связаны с материальной действительностью лишь через ряд опосредований, т.е. через другие идеальные объекты, которые им исторически предшествовали. Такая многоступенчатость математических абстракций и знаменует собой высокий уровень математического мышления. Отбрасывая в процессе абстрагирования частные и специфические признаки предметов, переходя от чувственных форм отражения действительности к рациональным, от конкретного к абстрактному, люди не только не обедняют свое знание о предмете, а, наоборот, обогащают его. «Мышление, - писал В.И. Ленин, - восходя от конкретного к абстрактному, не отходит – если оно правильное – от истины, а подходит к ней. Абстракция материи, закона природы, абстракция стоимости и т.д., одним словом все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее».
Абстрагирование позволяет человеку освободиться от непосредственной связи с изучаемым предметом (как в нашем примере с измерением земельного участка), оперировать умственными моделями предметов – понятиями (например, понятиями геометрической точки, прямой и т.д.) как действительными предметами, путем сопоставления понятий приобретать новые знания о предметах, делать умозаключения.
Прогресс теоретического познания неразрывно связан с образованием все более и более глубоких абстракций, с осмысливанием связей между ними, с разработкой методов оперирования ими, с применением их к решению практических задач.
Идеальными объектами оперируют и другие науки. Так, кинетическая теория газов использует понятие идеального газа, хотя ни один газ таковым в действительности не является; квантовая механика рассматривает элементарные частицы как точки или капли, хотя заведомо известно, что они не являются ни тем, ни другим. Однако, если другие (естественные) науки оперируют идеальными объектами, представляющими собой отвлечение лишь от одного или нескольких свойств (например, от формы, величины или структуры) при сохранении всех других, то математика пользуется такими идеальными объектами, которые возникают при отвлечении от всех свойств материальных предметов, кроме количественных и им подобных отношений, пространственных и им подобных форм. Эта специфическая особенность математики – оперирование идеальными объектами особой природы – связана не только с особенностями непосредственного отражения действительности (когда такое отражение имеет место), но и с внутренними потребностями развития математики, с ее абстрактно-логическим характером. Многие идеальные объекты введены в математику с целью добиться определенной степени обобщения и логического совершенства ее теорий. Такими идеальными объектами, например, явились мнимая двойная точка и бесконечности, введенные Стирлингом в 1717 г., мнимые числа, с помощью которых достигнута всеобщность в применении привила: уравнение степени имеет корней – и т.д.
Исключительно высокая степень абстрактности математических понятий, их отвлеченность почти от всех свойств материальных предметов, позволяет применять математику к самым разнообразным объектам природы и общества. Равенство 2 + 5 = 7 может означать и общую сумму рублей, имеющихся у двух людей, и количество станков в двух мастерских, и количество опытов, проделанных двумя учеными. Абстрактность математики делает успешным применение ее методов в естественных, технических и общественных науках, но эта же абстрактность обусловливает недостаточность одних математических методов для изучения действительности.
Другая, очень важная особенность математики, отличающая ее от естественных и технических наук, связана с использованием ею логических доказательств. Никакие эмпирические доказательства в математике в расчет не принимаются. Наблюдение и эксперимент исключаются из арсенала ее научных методов. Вот что пишут по этому поводу известный математик Р. Курант и его ученик Роббинс: “Подтверждение общего закона на конечном числе случаев (как бы это число ни было велико) никоим образом не представляет собой доказательства в математическом смысле, даже, если не известно ни одного исключения. При таких обстоятельствах рассматриваемое утверждение, или “закон”, есть не что иное, как вполне разумная гипотеза, которую могут видоизменить результаты будущих экспериментов. В математике “закон” может считаться доказанным только тогда, когда он выведен как неизбежное логическое следствие из предпосылок, признаваемых справедливыми”.
Наглядным подтверждением этих слов может служить решение проблемы существования несоизмеримых отрезков. Можно ли установить без логического доказательства несоизмеримость отрезков? Оказывается, нельзя. Ведь практические измерения всегда производятся с определенной степенью точности, и поэтому в пределах этой точности (или, как говорят, практически) все отрезки соизмеримы. Торжеством дедуктивного метода в математике было чисто логическое доказательство несоизмеримости стороны и диагонали квадрата, произведенное в школе Пифагора. Что доказательство, проводимое методом от противного, опирается на теорему Пифагора и одну арифметическую теорему, известную древним (квадрат нечетного числа есть число нечетное).
Применение математики к решению конкретных проблем других наук и практики в конечном итоге обусловлено материальным единством мира, взаимосвязью количественных и качественных, абстрактных и конкретных, формальных и содержательных аспектов. Математика исследует количественные отношения действительного мира, которые соответствуют качественно разнообразным областям действительности. С другой стороны, сами количественные отношения (формы) качественно разнообразны, что требует привлечения для их адекватного описания все новых математических теорий. Таким образом, единство, взаимосвязь и целостность, существующие в объективном мире, находят свое воплощение в единстве и разнообразии математического знания.
Качественное разнообразие явлений действительности, их взаимосвязь и единство находят свое косвенное выражение и в математических теориях и дисциплинах. Так, например, элементарная математика изучает количественные отношения между постоянными величинами. Переход к исследованию переменных величин привел к созданию математического анализа. Современную математику можно определить как науку о количественно-структурных отношениях самой разнообразной природы. В рамках математики каждого периода можно выделить соответствующие дисциплины и разделы, например арифметику и геометрию, алгебру и анализ, топологию и теорию множеств и т.д. Нередко приходится встречаться с двумя основными ошибками при рассмотрении качественного разнообразия математических теорий. Первая из них состоит в том, что за разнообразием не видят единства и связи между теориями. Своеобразным проявлением такой ошибки служат встречающиеся иногда утверждения о том, будто бы современная математика стала изучать качественные особенности предметов и процессов. Справедливо замечая коренные изменения, происшедшие в математике нашего времени, авторы подобных заявлений забывают, что современная математика, как и вся прежняя, абстрагируется от конкретного содержания своих объектов, что между изучением величин и более абстрактных математических объектов (форм или структур) существуют как тесная связь, так и глубокое различие. Другая ошибка состоит в игнорировании качественного различия между количественными отношениями, изучаемыми разными математическими теориями. В ее основе лежит забвение того положения, что качественные различия присущи самим количественным отношениям. Правильный, научный подход к данному вопросу состоит в диалектическом рассмотрении отношения не только между математикой и другими науками, но и между самими математическими теориями. Такое рассмотрение учитывает как связь, единство теорий и научных дисциплин, так и различие между ними.