Определитель и обратная матрица
Они легко вычисляются методом исключения. В самом деле, вычитание строки из строки не изменяет значение определителя. Значит, в процессе исключения элементов (3.3), (3.4) абсолютная величина определителя не изменяется, а знак может измениться из-за перестановки строк. Определитель же треугольной матрицы (3.5) равен произведению диагональных элементов. Поэтому он вычисляется по формуле
(3.8)
где знак зависит от того, чётной или нечётной была суммарная перестановка строк.
Перейдём к вычислению обратной матрицы. Обозначим её элементы через aim. Тогда соотношение AA – 1 = E можно записать так:
(3.9)
Видно, что если рассматривать l-тый столбец обратной матрицы как вектор, то он является решением линейной системы (3.9) с матрицей А и специальной правой частью (в которой на l-том месте стоит единица, а на остальных – нули).
Таким образом, для обращения матрицы необходимо решить n систем линейных уравнений с n неизвестными с одинаковой матрицей А и разными правыми частями. Приведение матрицы А к треугольному виду по формулам (3.4), (3.5) выполняется при этом только один раз. В дальнейшем при помощи чисел cmk по формуле (3.4) преобразуются все правые части, и для каждой правой части делается обратный ход.
Задание № 5
В ниже приведённых задачах требуется оценить обусловленность матрицы системы линейных алгебраических уравнений, решить систему, вычислить определитель матрицы и обратную матрицу.
Для сокращения записи в задачах приводится только матрица коэффициентов А и столбец свободных членов b, записанный иногда в строчку. В задачах, содержащих параметр, матрица коэффициентов получается в результате сложения матриц D и kC, где k – параметр, изменяющийся по некоторому закону.
Вариант А
1. 
| Вариант | ||||||
| k |
2. 
| Вариант | ||||||
| k |
3. 
| Вариант | ||||||
| k |
4. 
| Вариант | ||||||
| k | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 |
Вариант Б
1. 
| Вариант | ||||||
| k |
2. 
| Вариант | ||||||
| k | 0,02 | 0,04 | 0,06 | 0,08 | 0,10 | 0,12 |
3. 
| Вариант | ||||||
| k |
4. 
| Вариант | ||||||
| k | 1,5 | 3,5 | 5,5 | 7,5 | 9,5 | 11,5 |
Системы нелинейных уравнений
В общем случае, методы решения систем нелинейных уравнений можно рассматривать как своеобразное обобщение методов решения одного нелинейного уравнения. Эти методы подробно излагаются в литературе по численным методам и здесь не рассматриваются.
Метод простых итераций
Систему нелинейных уравнений можно кратко записать в векторном виде
f(x) =0, (3.10)
или более подробно в координатном представлении
fk(x1, x2, ¼ , xn) = 0, 1£ k £ n. (3.11)
Такие системы решают практически только итерационными методами. Нулевое приближение в случае двух переменных можно найти графически: построить на плоскости (х1, х2) кривые f1(x1, x2) =0 и f2(x1, x2) = 0 и найти точки их пересечения. Для трёх или более переменных (а также для комплексных корней) удовлетворительных способов подбора нулевых приближений нет.
В методе простых итераций, называемом также методом последовательных приближений, нелинейная система (3.11) заменяется эквивалентной системой х = j(х). Выбирается некоторое нулевое приближение х(0) и дальнейшие приближения отыскиваются по формуле
x(n+1) = j(x(n)) (3.12)
или
(3,12,a)
Описанный выше в самой общей форме метод в литературе часто называют методом одновременных смещений или методом Якоби. Его сходимость можно улучшить, используя метод последовательных смещений или метод Гаусса – Зейделя. Отличие этого метода от предыдущего состоит в том, что только что найденные новые приближения в (k – 1)-ой точке (и всех предыдущих) используются для отыскания нового приближения в последующих точках (или для последующих переменных). Основным уравнением метода последовательных смещений является выражение
(3.13)
Метод Ньютона
Пусть известно некоторое приближение х(s) к корню 
Запишем исходную систему (3.10) в виде f(x(s) + D x) = 0, где D х = 
Разлагая эти уравнения в ряды и ограничиваясь первыми дифференциалами, т.е. линеаризуя функцию, получим
(3.14)
Эта система уравнений линейна относительно приращений 
Все коэффициенты этой системы выражаются через последнее приближение x(s). Решив эту систему (например, методом исключения), найдём новое приближение x(s+1) = x(s) + D x(s).
Методы спуска
Рассмотрим функцию F(x) = 
образованную из исходной системы уравнений. Она неотрицательна и обращается в нуль в том и только в том случае, когда f(x) = 0. Таким образом, решение исходной системы уравнений (5.10) будет одновременно и минимумом скалярной функции многих переменных Ф(х).
Замечание 1. – В принципе, все вышеописанные методы решения систем нелинейных уравнений неявно "задействованы" в командах и функциях распространённых ныне математических пакетов. Правда, ни в документации этих пакетов, ни в литературе не указывается, для какого порядка систем "работоспособны" эти функции. Поскольку при их использовании необходимо задавать нулевые приближения, то, по-видимому, число уравнений системы не должно быть слишком велико.
Замечание 2. – Для систем уравнений невысокого порядка удобны пакеты Mathcad, Mapleи Mathematica. Рассмотрим использование первого из них на следующем примере.
Пусть требуется решить следующую систему уравнений
Начальные приближения найдём графически. Для этого в соответствии с правилами Mathcadсформируем матрицы значений функций, образующих уравнения системы, и построим соответствующие контурные графики:
f(x, y) : = cos(0.4×y + x2) + x2 + y2 – 1.6 g(x, y) : = 1.5×x2 - 
i:= 0..100 j:= 0..100 xi := 0.02×i yj := - 1 + 0.02×j Fi, j := f(xi, yj)
Gi, j := g(xi, yj)
Как видно из сопоставления контурных линий, приведённых на последующем рисунке и соответствующих нулевому значению функций, эти линии пересекаются в двух точках: (х » 1, у » 0,45) и (х » 0,8, у » - 0,3). Используя эти приближения, воспользуемся совокупностью команд Given и Find:
x : = 1.0 y : = 0.45
Given
cos(0.4×y + x2) + x2 + y2 =1.6
1.5×x2 - 
Для второго решения аналогично имеем
x : = 0.8 y : = - 0.25
Given
cos(0.4×y + x2) + x2 + y2 =1.6
1.5×x2 -
В рамках Mapleсистема нелинейных уравнений решается при помощи команды fsolve({eqn1, eqn2, …}, {v1, v2, …}, options), где аргумент optionsиспользуется для указания примерных интервалов расположения корней. По сравнению с Mathcadданный пакет имеет то преимущество, что позволяет совмещать контурные графики и, тем самым, более точно устанавливать нулевые приближённые решения.
Для данного примера использование пакета Mapleбудет выглядеть так:
> restart; with(plots):
> v1 := contourplot(cos(0.4*y+x^2)+x^2+y^2-1.6, x=0..2,y= - 1.0..1.0, grid = [15, 15],
contours = [-0.5, 0, 0.5], numpoints = 1600, colour = blue):
> v2 := contourplot(1.5*x^2-y^2/0.36-1., x=0..2, y= - 1.0..1.0, grid = [15, 15],
contours = [-0.5, 0, 0.5], numpoints = 1600, colour = red):
> plots[display]([v1, v2]);
Результат этих действий показан на вышеприведённом рисунке. Конечно, здесь также имеется вполне определённый недостаток, связанный с тем, что графика Maple"не признаёт" координатной сетки. Тем не менее, рисунок очень нагляден, особенно если учесть, что значения контурных линий возрастает слева направо.
Дальнейшая процедура использования пакета вполне определена:
> fsolve({cos(0.4*y+x^2)+x^2+y^2-1.6=0, 1.5*x^2-y^2/0.36-1.=0}, {x, y},
x=1.0 . . 1.2, y=0.4 . . 0.5);
{x = 1.038629238, y = .4717259527}
> fsolve({cos(0.4*y+x^2)+x^2+y^2-1.6=0, 1.5*x^2-y^2/0.36-1.=0}, {x, y},
x=0.8 . . 1.2);
{x = .8745654831, y = - .2302758856}
Пример3.1. Решить систему уравнений
Начальное приближение найти графически.
Из первого уравнения следует, что 0.6 £ x2 + y2 £ 2.6. Поэтому график g(x, y) достаточно построить для значений x Î [0.82, 1.4]. Кривую g(x, y) на этом промежутке построим по следующим точкам:
| x | 0.82 | 1.0 | 1.1 | 1.2 | 1.3 | 1.4 |
| y | 0.0 | 0.42 | 0.54 | 0.65 | 0.74 | 0.83 |
Введём обозначение
0.4y + x2 = q. (a)
Тогда из первого уравнения следует
cos(q) + x2 + y2 –1.6 = 0. (b)
Как видно из таблицы, нас интересуют значения q лишь в промежутке 0.6 < q < 2.3. Разрешим равенства (а) и (b) относительно x и y:
Придавая q различные значения, получим ряд точек на кривой f(x, y) = 0:
| q | 1.0 | 1.1 | 1.2 | 1.3 |
| x | 0.89 | 0.94 | 1.00 | 1.05 |
| y | 0.52 | 0.50 | 0.48 | 0.47 |
По данным таблиц строим график:
Из графика видно, что начальное приближение составляет: x0 = 1.04, y0 = 0.47. Полученное приближенное решение уточним по методу Ньютона
где
Все вычисления вносим в две таблицы, где dx и dy обозначают соответственно 
и 
.
| Основная таблица | Вспомогательная таблица | ||||
| x | 1.04 | 1.03864 | x | 1.04 | 1.03864 |
| y | 0.47 | 0.47173 | y | 0.47 | 0.47173 |
| f | - 0.00084 | 0.00000 | 0.4y | 0.188 | 0.18869 |
| g | 0.00879 | 0.00002 | x2 | 1.0816 | 1.07877 |
| fx' | 0.09364 | 0.09483 | a = 0.4y + x2 | 1.2696 | 1.26746 |
| fy' | 0.55801 | 0.56172 | cos(a) | 0.29666 | 0.29870 |
| gx' | 3.12 | 3.11592 | 1.5 x2 | 1.6224 | 1.61816 |
| gy' | - 2.61111 | - 2.62072 | y2 | 0.2209 | 0.22253 |
| Dx | 0.00271 | 0.00001 | y2/0.36 | 0.61361 | 0.61814 |
| Dy | - 0.00344 | 0.00000 | 2 x | 2.08 | 2.07728 |
| D | - 1.98549 | - 1.99889 | -2 x×sin(a) | - 1.98636 | - 1.98245 |
| dx | 0.00136 | 0.00000 | - 0.4×sin(a) | - 0.38119 | - 0.38174 |
| dy | - 0.00173 | 0.00000 |
Ответ: x = 1.03864; y = 0.47173.
Этот ответ полностью совпадает с приведённым выше первым решением, однако второе решение при таком подходе не выявляется. Необходимо строить полный график функций, а не его отдельные линии.
Задание № 6
Разработать алгоритм решения методом Ньютона системы двух нелинейных уравнений, составить программу реализации алгоритма (допускается любой язык программирования) и получить решения с точностью до пяти знаков после запятой. Начальные приближения найти графически.
Проверить точность решения, используя любой из вышеупомянутых пакетов.
Вариант А
| Вариант | Система уравнений | а | k |
| sin(x + ky) – x + y2 = 0 (y +0.1)2 + x2 = a | 0,6 | - 0,5 | |
| - " - | 0,7 | - 0,4 | |
| - " - | 0,8 | - 0,3 | |
| - " - | 0,9 | - 0,2 | |
| - " - | 1,0 | - 0,1 | |
| - " - | 1,1 | 0,0 | |
| tg(x – y + k) – xy = 0 ax2 +2y2 = 1 | 0,5 | 0,2 | |
| - " - | 0,6 | 0,1 | |
| - " - | 0,7 | 0,0 | |
| - " - | 0,8 | - 0,1 | |
| - " - | 0,9 | - 0,2 | |
| - " - | 1,0 | - 0,3 | |
cos(x2 + y2) – x + y = a
| 0,0 | 0,4 | |
| - " - | 0,1 | 0,6 | |
| - " - | 0,2 | 0,8 | |
| - " - | 0,3 | 1,0 | |
| - " - | 0,4 | 1,2 | |
| - " - | 0,5 | 1,4 | |
| ex + y – x2 + y = k (x +0,5)2 + y2 = a | 1,0 | 2,0 | |
| - " - | 1,2 | 2,2 | |
| - " - | 1,4 | 2,4 | |
| - " - | 1,6 | 2,6 | |
| - " - | 1,8 | 2,8 | |
| - " - | 2,0 | 3,0 |
Вариант Б
| Вариант | Система уравнений | а | k |
| th(x2 – y) – k(x + y) = 0 (x – 0,2)2 – ay2 = 1,5 | 0,44 | ||
| - " - | 0,46 | ||
| - " - | 0,48 | ||
| - " - | 0,50 | ||
| - " - | 0,52 | ||
| - " - | 0,54 | ||
ekx + y – xy = 1,4
| 0,7 | - 0,10 | |
| - " - | 0,8 | - 0,15 | |
| - " - | 0,9 | - 0,20 | |
| - " - | 1,0 | - 0,25 | |
| - " - | 1,1 | - 0,30 | |
| - " - | 1,2 | -0,35 | |
| tg(ax + y) – axy = 0,3 x2 + y2 = k | - 1,2 | 1,3 | |
| - " - | - 1,0 | 1,5 | |
| - " - | - 0,8 | 1,7 | |
| - " - | - 0,6 | 1,9 | |
| - " - | - 0,4 | 2,1 | |
| - " - | - 0,2 | 2,3 | |
cos(ky + x2) + x2 + y2 = 1,6
1,5(x + 0,1) - 
| 0,6 | 0,6 | |
| - " - | 0,8 | 0,7 | |
| - " - | 1,0 | 0,8 | |
| - " - | 1,2 | 0,9 | |
| - " - | 1,4 | 1,0 | |
| - " - | 1,6 | 1,1 |