Уравнения Лагранжа 2-го рода
Обобщенные координата и обобщенные скорости
Рис 3.15
Рассмотрим плоскую систему с двумя степенями свободы, состоящую из двух стержней, связанных шарнирно с опорой и друг с другом в точках О и А (рис.3.15). Состояние этой механической системы определяется положением ее звеньев в плоскости движения. При этом можно найти несколько способов для описания положения звеньев системы.
1. Положение звена ОА определяется углом φ отклоненияот вертикального положения равновесия, звена АВ – разностью ψ в ориентационных углах этих звеньев. Положение произвольной точки К механической системы определяется координатами xk и yk, причем
2. Положение звена ОА определяется длиной S1 дуги АА' окружности радиуса l1, положение звена АВ – длиной S2 дуги ВВ' окружности радиуса l2, причем 
Тогда
3. Положение звена ОА определяется площадью G1 сектора АОА', положение АВ – площадью G2 сектора ВАВ', причем 
. Тогда
4. Положение звена ОА определяется координатой yА шарнира А, а звена АВ – углом ψ. Выразим 
. Тогда, используя теорему Пифагора, легко показать
В приведенных примерах были выбраны следующие параметры, определяющие положение точек системы:
- углы φ и ψ с размерностью (рад) в 1-м способе;
- длины дуг S1 и S2 с размерностью (м) во 2-м способе;
- площади секторов G1 и G2 с размерностью (м2) во 3-м способе;
- координата yА и угол ψ с размерностями (м) и (рад) в 4-м способе.
Введем определение понятия «обобщенные координаты».
Обобщенные координаты – это независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые однозначно определяют ее положение.
Обозначим обобщенные координаты буквой q. Тогда положение системы, имеющей s степеней свободы, будет определяться независимыми обобщенными координатами q1, q2, …, qs. Элементарные возможные приращения этих координат, или вариации обобщенных координат обозначаются - δq1, δq2,…, δqs.
Таким образом, зная по величинам обобщенных координат состояние системы, можно найти положение любой ее точки, т, е. свести описание системы с n точками к описанию s ее обобщенных координат:
 .
| (3.91) |
Производные от обобщенных координат по времени ( 
, где i=1,2,…,s) называются обобщенными скоростями системы: 
.
Обобщенные силы
Введем также (без вывода) определении новой величины - «обобщенной силы»:
Обобщенная сила Qi– это коэффициент при вариации i-й обобщенной координаты δqi в выражении для элементарной работы всех действующих на систему сил. Сама работа сил оценивается из условия, что вариации (приращения) остальных (кроме i-ой) обобщенных координат равны нулю.
| (3.92) |
Здесь в выражении для обобщенной работы (3.92) суммирование выполняется по всем n приложенным силам, индекс i в работе 
= 
и возможных перемещениях 
указывает, что их надо вычислять, сообщив системе вариацию δqi только i-й обобщенной координаты.
Обобщенная сила Qi в общем случае не является силой в обычном понимании этого слова. Ее размерность зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты 
и, в соответствии с (3.92) равна размерности работы, деленной на размерность обобщенной координаты. Так, в приведенных выше примерах выбора обобщенных координат для двухзвенного маятника в 1-м способе размерности обобщенных сил – Дж/рад, во 2-м – Дж/м=Н, в 3-м – Дж/м2=Н/м и т.д..
Отметим, что для систем с идеальными связями (3.81) в выражении (3.92) присутствуют только активные силы. Обобщенная сила для систем с идеальными связями вычисляется, как:
 .
| (3.93) |
Подсчет обобщенной силы упрощается, если рассматривается система потенциальных сил. Формула для обобщенных сил у потенциальной системы имеет вид:
 .
| (3.94) |
Формулировка уравнений Лагранжа 2-го рода
Рассматривая общее уравнения динамики (3.90) в обобщенных координатах, можно прийти к системе дифференциальных уравнений, описывающих изменение во времени обобщенных координат механической системы. Они называются уравнениями Лагранжа 2-го рода по имени французского математика и механика Жозефа Луи Лагранжа (1763–1813 г.г.), почетного члена Петербургской академии наук с 1776 г., рис.3.16.
Рис.3.16
 .
| (3.95) |
Уравнения Лагранжа 2-го рода (3.95) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах. Число этих уравнений равно числу обобщенных координат, или числу степеней свободы системы. В эти уравнения входят: кинетическая энергия (Т) системы, обобщенные силы ( 
), обобщенные координаты ( ) и обобщенные скорости ( 
), частные производные по обобщенным координатам ( 
), частные производные по обобщенным скоростям ( 
).
Для случая потенциальных сил уравнения Лагранжа 2-го рода с учетом (3.94) приобретут вид:
| (3.96) |
Введем функцию Лагранжа, или «Лагранжиан»: L = T – Π. Тогда, исходя из того, что потенциальная энергия не зависит от обобщенной скорости ( 
), уравнения (3.96) записываются короче:
| (3.97) |
Решая уравнения Лагранжа 2-го рода, находят временные функции для обобщенных координат 
, используя которых, можно получить закон движения для точек механической системы (3.91)
и тем самым решить основную задачу динамики механической системы.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1. Что такое обобщённые координаты и обобщённые скорости механической системы?
2. Какая величина называется обобщённой силой? Какую размерность имеет обобщённая сила?
3. Напишите уравнение Лагранжа в общем виде и в случае потенциальных сил.
[7] В дальнейшем будем считать, что все наложенные на систему связи стационарны и каждый раз это условие оговаривать не будем
[8] Осью вращения здесь является ось z.